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1、第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到,bx 力的方向與運動方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd,上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(例例1.一個單求電場力所作的功 . qOrabrrrd11解解: 當(dāng)單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律庫侖定律電場力為2rqkF 則功的元素為rrqkWdd2所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk說明說明:處的電勢為電場在ar arrqk

2、d2aqk位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) , 在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下, S例例2.體, 求移動過程中氣體壓力所Ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為S 的活塞從點 a 處移動到點 b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxxd由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 m3m5例例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖.Oxx

3、xxd在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為Wdxxgd9故所求功為50Wxxgd9g922xg5 .112( KJ )設(shè)水的密度為05(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 面積為 A 的平板二、液體的側(cè)壓力二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): hgph當(dāng)平板與水面平行時, ApP 當(dāng)平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為小窄條上各點的壓強(qiáng)xgp332Rg例例4. 的液體 , 求桶的一個端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標(biāo)系如圖. 所論半圓的22xRy)0(Rx 利用

4、對稱性 , 側(cè)壓力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為xd方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 說明說明: 當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時,),(xRg小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRgPd)(222奇函數(shù)奇函數(shù)3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd三、三、 引力問題引力問題質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點 , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體物體對質(zhì)點的引力, 則需用積分

5、解決 .例例5. 設(shè)有一長度為 l, 線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M,M該棒對質(zhì)點的引力.解解: 建立坐標(biāo)系如圖.y2l2ld,xxx細(xì)棒上小段對質(zhì)點的引力大小為 dkF xm d22xa 故鉛直分力元素為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在試計算FdxFdyFdxxd利用對稱性利用對稱性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒對質(zhì)點引力的水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的鉛直分力為 My2l2laaxOxFdxFd

6、yFdxxd2lOy2laxxxdx說明說明:amk22) 若考慮質(zhì)點克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當(dāng)細(xì)棒很長時,可視 l 為無窮大 ,此時引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .移到 b (a b) 處時克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd則有22412llmkFaalOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小為22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正負(fù)號3) 當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時, 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 先用元素法求出它的微分表達(dá)式 dQ一般元素的幾何形狀有:扇扇、片片、殼殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之. 1

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