信號與系統(tǒng)復習知識點整理.doc

1、知識第1章 信號與系統(tǒng)的基本概念1.1引言系統(tǒng)是一個廣泛使用的概念，指由多個元件組成的相互作用、相互依存的整體。我們學習過“電路分 析原理”的課程，電路是典型的系統(tǒng)，由電阻、電容、電感和電源等元件組成。我們還熟悉汽車在路面運 動的過程，汽車、路面、空氣組成一個力學系統(tǒng)。更為復雜一些的系統(tǒng)如電力系統(tǒng)，它包括若干發(fā)電廠、 變電站、輸電網(wǎng)和電力用戶等，大的電網(wǎng)可以跨越數(shù)千公里。我們在觀察、分析和描述一個系統(tǒng)時，總要借助于對系統(tǒng)中一些元件狀態(tài)的觀測和分析。例如，在分 析一個電路時，會計算或測量電路中一些位置的電壓和電流隨時間的變化；在分析一個汽車的運動時，會 計算或觀測驅(qū)動力、阻力、位置、速度和加速度

2、等狀態(tài)變量隨時間的變化。系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時間變化的關 系稱為信號，包含了系統(tǒng)變化的信息。很多實際系統(tǒng)的狀態(tài)變量是非電的，我們經(jīng)常使用各種各樣的傳感器，把非電的狀態(tài)變量轉(zhuǎn)換為電的 變量，得到便于測量的電信號。隱去不同信號所代表的具體物理意義，信號就可以抽象為函數(shù)，即變量隨時間變化的關系。信號用函 數(shù)表示，可以是數(shù)學表達式，或是波形，或是數(shù)據(jù)列表。在本課程中，信號和函數(shù)的表述經(jīng)常不加區(qū)分。信號和系統(tǒng)分析的最基本的任務是獲得信號的特點和系統(tǒng)的特性。系統(tǒng)的分析和描述借助于建立系統(tǒng) 輸入信號和輸出信號之間關系，因此信號分析和系統(tǒng)分析是密切相關的。系統(tǒng)的特性千變?nèi)f化，其中最重要的區(qū)別是線性和非線性、時不變和

3、時變。這些區(qū)別導致分析方法的 重要差別。本課程的內(nèi)容限于線性時不變系統(tǒng)。我們最熟悉的信號和系統(tǒng)分析方法是時域分析，即分析信號隨時間變化的波形。例如，對于一個電壓測量系統(tǒng)，要判斷測量的準確度，可以直接分析比較被測的電壓波形vin（t）（測量系統(tǒng)輸入信號）和測量得到的波形Vout （t）（測量系統(tǒng)輸出信號），觀察它們之間的相似程度。為了充分地和規(guī)范地描述測量系統(tǒng)的特性，經(jīng)常給系統(tǒng)輸入一個階躍電壓信號，得到系統(tǒng)的階躍響應，圖1-1是典型的波形，通過階躍響應的電壓上升時間（電壓從10%上升至90%的時間）和過沖（百分比）等特征量，表述測量系統(tǒng)的特性，上升時間和過 沖越小，系統(tǒng)特性越好。其中電壓上升時間

4、反映了系統(tǒng)的響應速度，小的上升時間對應快的響應速度。如果 被測電壓快速變化，而測量系統(tǒng)的響應特性相對較慢，則必然產(chǎn)生較大的測量誤差。信號與系統(tǒng)分析的另一種方法是頻域分析。信號頻域分析的基本原理是把信號分解為不同頻率三角信 號的疊加，觀察信號所包含的各頻率分量的幅值和相位，得到信號的頻譜特性。圖1-2是從時域和頻域觀察一個周期矩形波信號的示意圖，由此可以看到信號頻域和時域的關系。系統(tǒng)的頻域分析是觀察系統(tǒng)對不 同頻率激勵信號的響應，得到系統(tǒng)的頻率響應特性。頻域分析的重要優(yōu)點包括：（1）對信號變化的快慢和系統(tǒng)的響應速度給出定量的描述。例如，當我們要用一個示波器觀察一個信號時，需要了解信號的頻譜特 性

5、和示波器的模擬帶寬，當示波器的模擬帶寬能夠覆蓋被測信號的頻率范圍時，可以保證測量的準確。（2）為線性系統(tǒng)分析提供了一種簡化的方法，在時域分析中需要進行的微分或積分運算，在頻域分析中簡化成 了代數(shù)運算。輸入信號vin(t)0tI+I輸出信號Vout (t)過沖0L一上升時間T圖1-1典型電壓測量系統(tǒng)的輸入和輸出波形圖1-2 周期矩形波信號的時域和頻域信號和系統(tǒng)分析還有復頻域分析的方法，對于連續(xù)信號和系統(tǒng)，基于拉普拉斯變換，稱為S域分析；對于離散信號和系統(tǒng)，基于 Z變換，稱為Z域分析。基于復頻域分析，能夠得到信號和系統(tǒng)響應的特征參數(shù)， 即頻率和衰減，分析系統(tǒng)的頻率響應特性和系統(tǒng)穩(wěn)定性等；復頻域分析

6、也能簡化系統(tǒng)分析，將在時域分析 中需要進行的微分或積分運算簡化為復頻域中的代數(shù)運算。本課程將學習信號和系統(tǒng)分析的基本方法和原理，包括時域分析、頻域分析和復頻域分析。隨著計算 機技術和數(shù)字信號處理技術的發(fā)展和應用，離散信號和離散系統(tǒng)的分析方法具有非常廣泛的實際應用。本課程在深入學習連續(xù)信號和系統(tǒng)的分析方法的基礎上，進一步學習離散信號和系統(tǒng)的分析方法。信號和系統(tǒng)分析的重要工具是信號變換，本課程依據(jù)信號變換方法的內(nèi)在聯(lián)系，將依次介紹連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)（FS）、連續(xù)信號傅里葉變換（FT）、拉普拉斯變換、離散周期信號傅里葉級數(shù)（ DFS、離散時間傅里葉 變換（DTFT、Z變換，以及用于計算機計算的離

7、散傅里葉變換（ DFT和快速傅里葉變換（FFT）O1.2信號的分類1.2.1連續(xù)時間信號和離散時間信號連續(xù)時間信號簡稱為連續(xù)信號，在所討論的信號時間區(qū)間內(nèi)，除了若干不連續(xù)點之外，任意時間都有 確定的信號取值。連續(xù)信號的符號表示為f（t） , t為時間，連續(xù)取值。當需要區(qū)分連續(xù)信號和離散信號時，以下標a表示連續(xù)信號，表示為 fa（t）。圖1-3是一個連續(xù)信號的示意圖。連續(xù)信號可分為非奇異信號和奇異信號。當信號和信號的各階導數(shù)在整個時間區(qū)間都是連續(xù)時，稱為 非奇異信號；當信號或信號的某階導數(shù)存在不連續(xù)點（跳變點）時，稱為奇異信號。注意，如果一個信號 本身是連續(xù)的，但若干次求導以后的導函數(shù)存在不連續(xù)

8、點，則是奇異信號。一個非奇異信號和一個奇異信 號相加或相乘，其結(jié)果通常仍為一個奇異信號。離散時間信號簡稱為離散信號，在所討論的信號時間區(qū)間內(nèi)，信號只在一些離散時間點取值，其他時間無定義。離散信號的符號表示為fd（n）, n為離散點序數(shù)，取整數(shù)值。這里用下標d表示離散信號，以區(qū)分連續(xù)信號和離散信號。圖1-4是一個離散信號的示意圖。注意，在離散點之間，信號無定義，不要理解為信號取零值。離散信號通常來自于對連續(xù)信號的抽樣，并且經(jīng)常是等間隔抽樣。相鄰兩個抽樣點之間的時間間隔稱為抽樣周期或抽樣間隔，用 TS表示；單位時間的抽樣點數(shù)稱為抽樣率，用fs表示，有fs 1/Ts。信號抽樣滿足關系fd（n） fa

9、（nTs） O在離散信號分析中，經(jīng)常隱去時間的概念，因此也稱為離散序列。實際中還經(jīng)常用到模擬信號和數(shù)字信號的概念。所謂模擬信號，信號的時間和幅值都連續(xù)取值。本課程中不區(qū)分模擬信號和連續(xù)信號。所謂數(shù)字信號，信號的時間和幅值都離散取值。實際中的信號抽樣，由于模數(shù)轉(zhuǎn)換器（AZD轉(zhuǎn)換器、的位數(shù)限制，抽樣得到的離散點的信號幅值都是離散的，所以是數(shù)字信號。1.2.2 周期信號和非周期信號周期信號是以一定時間間隔周期重復的信號，無始無終。連續(xù)周期信號滿足關系fa(t)fa(t T)( 1-1)T稱為連續(xù)周期信號的周期。離散周期信號滿足關系fd(n) fd(n N)(1-2)N取正整數(shù)，稱為離散周期信號的周期

10、。1.2.3 能量有限信號和能量無限信號一個連續(xù)信號fa(t)的能量定義為Ea |fa(t)|2dt( 1-3)2當fa(t)為復信號時，fa(t)fa(t)fa(t)。信號fa(t)的能量可理解為：假設 fa(t)是一個電壓信號或電流信號，它作用在一個1 電阻上時所消耗的能量為信號能量。一個離散信號fd( n)的能量定義為Edfd( n)?( 1-4)n2當 fd(n)為復信號時，fd (n)fd (n) fd (n)。對于連續(xù)信號和離散信號，當信號的能量為有限值時稱為能量有限信號，否則稱為能量無限信號。式(1-3 )和式(1-4 )中取信號的絕對值，表示信號能量的定義對復信號也成立。1.3

11、 典型信號1.3.1典型連續(xù)非奇異信號1. 三角信號三角信號有正弦和余弦兩種表示形式，為方便起見，本教材選擇余弦函數(shù)的表示方式。三角信號的一般表達式為f (t) M COS( t )( 1-5)式中M為信號幅值，為角頻率，為初始相位。以后在提到三角信號的初始相位時，均指余弦表示方式1 2 下的初始相位。三角信號的角頻率 、頻率f和周期T滿足關系：T。當三角信號的角頻率0時為直流信號，直流信號是三角信號的一個特例。圖1-5是一個三角信號的典型波形。2. 指數(shù)信號指數(shù)信號的表達式為atf(t) Ae( 1-6)式中A和a均為實數(shù)，A為t 0時的信號幅值，a為衰減系數(shù)，當a 0時，f (t)隨時間增

12、大而增加；當a 0時，f(t)隨時間增大而減小。圖1-6是指數(shù)信號的典型波形。圖1-6 指數(shù)信號波形圖1-5三角信號波形3. 復指數(shù)信號復指數(shù)信號的表達式為(1-7)f (t) Aeat式中A和a既可為實數(shù)也可為復數(shù)，有以下幾種情況。(1)當A和a都為實數(shù)時，f (t)就是一個指數(shù)信號。指數(shù)信號是復指數(shù)信號的一個特例。(2)當A為實數(shù),a為復數(shù)時，設(1-8)aj有f(t)Ae(j )t(1-9)根據(jù)歐拉公式ej tCOSt jsin t(1-10a)e j tCOSt jsin tCOS t -(eje j )2(1-10b)Sint 1 (ej t e j t)2j于是有f(t) Ae C

13、oS t jAe Sin t此時f (t)的實部和虛部都是一個指數(shù)包絡的三角函數(shù)，復數(shù) 當 0時，有f (t) Acos t jAsin t它的實部和虛部都是無衰減的三角函數(shù)。(3)如果A和a都為復數(shù)，設ARjlAeja j則有f(t) Aej e( j tAe t cos( t ) j Ae t sin( t(1-11)a的實部和虛部分別表示衰減系數(shù)和角頻率。(1-12)(1-13)(1-14) )A的模和輻角分別表示指數(shù)包絡三角函數(shù)的幅值和初但借助于復指數(shù)信號，可以表示指數(shù)信其實部和虛部分別是一個指數(shù)包絡的三角函數(shù)，復數(shù) 始相位，復數(shù)a的實部和虛部分別表示衰減系數(shù)和角頻率。復指數(shù)信號是一個

14、抽象的信號，實際中并不存在復指數(shù)信號號、三角信號和指數(shù)包絡三角信號，描述了幅值、衰減、頻率和相位等特征量。4. 三角信號的復指數(shù)表示f (t) M cos(M j( te2M J j e e2AleJ tA2eM J J te e2J t(1-15)(M是實數(shù)，Ai、Ae是復數(shù)。)圖1-7顯示了在復平面上一對共軛復指數(shù)信號疊加為一個實三角信號的關系。在復平面上，共軛復函數(shù)ej t和e_j t是一對旋轉(zhuǎn)的單位向量，向量始端在原點，長度為1 ,分別以 和的角速度旋轉(zhuǎn)。在t 0一個三角信號可以用一對共軛復指數(shù)信號表示，根據(jù)歐拉公式，它們滿足關系t ,兩個單位旋轉(zhuǎn)向量與實軸的夾時，兩個旋轉(zhuǎn)向量的起始位

15、置在正實軸，即初始相位均為零；在任意時間角分別為t和 t。兩個向量在實軸上的投影都是cos t ,在虛軸上的投影分別為JSin t和jsin t。ej t和e_j t始終關于實軸對稱，兩個向量疊加得到向量2cos t ,始終在實軸上變化，是一個實函數(shù)，最 大幅值為2。M -M-式(1-15 )中的共軛復數(shù) A ej和A2e J是復平面上兩個關于實軸為對稱的固定向量，向2 2量始端在原點，長度為 M ,輻角分別為 和2復數(shù)AI和A2與復函數(shù)ejtt和e_j t分別相乘，得Mej e2和Me2j e j t ,它們也是復平面上一對旋轉(zhuǎn)的共軛向量，始端在原點，長度為M ,分別以角速度2旋轉(zhuǎn),初始相位

16、分別為和 。在任意時間t ,兩個向量與實軸的夾角分別為t 和)O這兩個向量在實軸上的投影均為jMSin( t )。兩個向量始終關于實軸對2MCos( t ),在虛軸上的投影分別為jMSin( t2 2稱，疊加得向量 M cos( t ),始終在實軸上變化，最大幅值為由此可見，一對任意幅值和初始相位的共軛復指數(shù)信號的疊加是一個實三角信號。反過來，任意幅值和初始相位的三角信號可分解為兩個復指數(shù)信號的疊加。共軛復數(shù)A1 M和A2的模和輻角2 2對應于三角信號 M cos( t)的幅值和初始相位，單位共軛復函數(shù)ej t和ej t的角頻率對應于三角信號的角頻率。一個實三角信號分解為正、負兩個頻率的復指數(shù)

17、信號的疊加，引出了負頻率的概念，這個負頻率的物理意義表示的還是實際的相同數(shù)值的正頻率。信號的復指數(shù)表示把指數(shù)信號、三角信號和指數(shù)包絡三角信號統(tǒng)一到了同一個形式，同時包含了幅值、衰減、頻率和相位等特征量，給信號和系統(tǒng)分析帶來了很大方便，因此得到了大量使用。5. 抽樣信號抽樣信號的表達式為Sa(t)Slnt(1-16)其波形如圖1-8。在t 0時刻，抽樣信號取值為lntsKH tOAL7S(1-17)抽樣信號滿足以下關系Sa(t)dt (1-18)H u(t)1 0圖1-9單位階躍信號圖1-8抽樣信號波形1.3.2典型奇異信號1. 單位階躍信號單位階躍信號的定義為u(t)u(tto)t t0t t

18、0(1-19)(1-20)圖1-9是單位階躍信號的波形，在t 0處信號跳變。2. 單位沖激信號單位沖激信號的定義為(t)和(t)dt 1(t t。)t t0t t0(t t)dt 1(1-21)(1-22)圖1-10是單位沖激信號的圖形表示。直觀地理解，單位沖激信號具有兩個基本特點：其一，信號在一個無窮小時間區(qū)間里取非零值，其他區(qū)間為零或無窮??；其二，信號波形的凈面積為1。因為信號在無窮小區(qū)間內(nèi)的凈面積是1 ,所以信號的幅值必然是無窮大。4 f (t)I (t)I (t to)0tot圖1-10單位沖激信號圖1-11是用矩形脈沖取極限得單位沖激信號的情況。 壓縮脈沖的寬度，保持其面積不變，則脈

19、沖的高度增加。 矩形脈沖趨于單位沖激脈沖，即1(t) IimO u(t 2) u(t -)抽樣信號取極限也可得到?jīng)_激信號。構(gòu)造信號當k圖1-11單位沖激信號的逼近設矩形脈沖的寬度為 ，面積為1 ,則高度為1/1當矩形脈沖寬度0時，矩形脈沖高度-kkSa(kt),當 kk和 t 0時，有一Sa(kt)(1-23)k和t 0時，有kSa(kt) 0 (此處應用了廣義極限limsinktk0 )?？梢?，當k時，信號波形寬度趨于0 ,幅值趨于，且有kSa(kt)dt 1(1-24 )mHkk-Sa(kt) (t)(1-25 )將任意形狀的信號進行水平壓縮，如果它滿足上述沖激信號的兩個特點，就可以用沖激

20、信號表示。如 果波形的凈面積不是 1 ,而是一個常數(shù) E,則可以用一個強度為E的沖激信號表示，即E (t)。單位沖激函數(shù)具有以下基本特性：(1)與單位階躍函數(shù)的關系(t)du(t)(dttu(t) ( )d(1-26)(1-27)(2)抽樣特性(1-28 )(1-29)(1-3。)f(t) (t)f(0) (t)f(t) (t to)f(to) (t to)f (t) (t)dt f (0)f(t) (t to)dt f(to)(3) 奇偶特性(t) (t)(4) 尺度特性(at)(t)(1-31 )Ial以下幾個例子可以幫助理解沖激信號的物理意義。例1-1 在圖1-12中，一個直流電源對電容

21、充電，當開關K在t o時刻關合時，電容在瞬間被充電至電壓E。設電容C的初始電壓為o,則電容的電荷隨時間的變化為q(t) CEu(t)( 1-32)充電電流是電荷變化的導函數(shù)i(t)CE (t)( 1-33)dt它是一個強度為 CE的沖激信號。實際電路中不可避免地有電感和電阻，充電時間不可能為無窮小，充電電流幅值也達不到無窮大，但在充電電流持續(xù)時間很短、電流幅值很大的情況下，可用沖激信號近似表示。例1-2 在圖1-13中，一個質(zhì)量為 M的剛性球處于靜止狀態(tài)，在t o時刻被另一剛性球撞擊，開始以速度V運動，因為撞擊時間很短，則被撞剛性球的速度變化為v(t)Vu(t)(1-34 )其加速度為dv(t

22、) XZ ZiXa(t)V (t)(1-35 )dt其所受到的撞擊力為f (t) Ma(t) MV (t)( 1-36)被撞擊球所受的撞擊力和運動加速度都可以用沖激信號表示。實際中的撞擊時間不可能為無窮小，因此撞擊力也達不到無窮大，但在撞擊時間很短的情況下可以用沖激信號近似表示。C)EM 1M 2-*1X2X圖1-12 直流電源對電容充電圖1-13剛性球碰撞圖1-14 長線上質(zhì)點的線密度例1-3 圖1-14所示是一根長線，在1和X2兩位置有兩個質(zhì)量分別為M1和M2的質(zhì)點，長線其他部分無質(zhì)量。該長線質(zhì)量分布隨X變化的關系為m(X)M 1u(xXI)M 2u(x X2)(1-37 )其質(zhì)量線密度為

23、d(x)dm(x) dxM1(X x1) M 2 (x x2)(1-38 )實際中的質(zhì)點總具有一定的尺寸，在尺寸很小的情況下，質(zhì)量線密度可以用沖激信號表示。3. 單位沖激偶信號單位沖激偶信號的定義為（t） d （ 1-39）dt單位沖激偶信號的基本特性：t(t)dt(t)(1-40)(t)dt 0(1-41 )(t)f(t)dtf(0)(1-42 )(t to)f (t)dtf(to)(1-43)f(t) (t)f(0)(t)f(0) (t)(1-44)1.3.3典型離散信號1.單位樣值信號單位樣值信號的定義為1n 0d（n） C(1-45)0n 01nmd(n m) Onm(1-46)圖1-

24、15是單位樣值信號的波形。 單位樣值信號不是單位沖激信號的抽樣2 單位階躍序列單位階躍序列的定義為1n 0Ud( n)(1-47 )0n 01n mUd(nm)(1-48 )0n m圖1-16是單位階躍序列的波形。 對連續(xù)單位階躍信號進行抽樣，并設定在t 0時刻對單位階躍信號的抽樣值為1 ,則抽樣結(jié)果為單位階躍序列。L d(n)I 1-2 -1 0 12 3n圖1-15 單位樣值信號圖1-16單位階躍序列3 三角序列三角序列的表達式為(1-49 )fd(n) M cos( n )式中M為幅值，為離散角頻率，表示單位離散間隔信號變化的角度(用弧度表示)， 為初始相位。圖1-17是三角序列的波形。

25、當三角序列的離散角頻率為0時，即為直流序列，直流序列是三角序列的特例。fd(n)圖1-17 三角序列三角序列fd( n)MCoS (n)經(jīng)常來自于對連續(xù)三角信號fa(t)M cos( t )的數(shù)值抽樣，如果抽樣周期是TS ,則有fd (n)fa(nTs)M cos( nTs ) M cos( n )(1-50)此時離散角頻率和連續(xù)角頻率的關系為(1-51 )連續(xù)角頻率表示連續(xù)三角信號在單位時間內(nèi)變化的角度，離散角頻率表示離散三角序列在單位離散間隔內(nèi)變化的角度，請注意理解和區(qū)分它們的物理意義。對連續(xù)三角信號fa(t) M cos( t )抽樣得離散三角序列 fd(n) M cos( n ),雖然

26、fa(t)是周 期信號，但fd( n)并不一定是周期信號。設 fa(t)的周期為T,抽樣周期為TS ,則fd( n)的周期性取決于TS 和T的關系。如果存在非零正整數(shù)K1和K2,滿足KiTs,即Ts/TK2/K1為有理數(shù)，則fd(n)為周期序列。如果 K2K1是既約分數(shù)，則fd(n)的周期為N K1。當Ts/T為無理數(shù)時，fd(n)不會周期重 復，為非周期序列。4 指數(shù)序列指數(shù)序列的表達式為fd( n) Arn(1-52)式中A和r均為實數(shù)，A為n 0時的信號幅值，r為離散衰減系數(shù)，當r 1時，fd(n)隨n增大而增加； 當r 1時，fd( n)隨n增大而減小。圖1-18是指數(shù)序列的典型波形。

27、對連續(xù)指數(shù)信號fa(t) Aeat抽樣，可得離散指數(shù)序列fd( n)fa( nTs) AeanTSArn(1-53)其中aTZ、r e S(1-54)表示一個抽樣間隔中的信號衰減。圖1-18 指數(shù)序列波形5 復指數(shù)序列復指數(shù)序列的表達式為(1-55)fd(n) Aean式中A和a可為實數(shù)或復數(shù)。類似于連續(xù)復指數(shù)函數(shù)，隨著A和a取值的不同，fd(n)也有不同的變化。(1)當A和a都為實數(shù)時，有fd( n)Aea nAr(1-56)此為實指數(shù)序列。指數(shù)序列是復指數(shù)序列的一個特例。(2)當A為實數(shù)，a為復數(shù)時，設(1-57)(1-58)其實部和虛部都是指數(shù)包絡的三角序列,復數(shù)a的實部和虛部分別表示了

28、離散信號的衰減和角頻率。當fd (n) Ae( J )n AeneJn Arn cos n jArn Sin n (r 為 e 的 次方)0時，有(1-59)fd(n) ACoS n jAsin其實部和虛部都是三角序列。(3)當A和a都為復數(shù)時,則有jIAeJ(1-60)(1-61 )fd (n)Ae n cos( nA rn cos( nj Ae nSin( n ) j Arn sin( n )其實部和虛部分別是一個指數(shù)包絡的三角序列,復數(shù)A的模和輻角分別表示了指數(shù)包絡三角序列的幅值和初始相位，復數(shù)a的實部和虛部分別表示了衰減和角頻率。借助于離散復指數(shù)信號，可以表示離散指數(shù)信 號、離散三角信

29、號和離散指數(shù)包絡三角信號，描述了幅值、衰減、頻率和相位等特征量。和連續(xù)三角信號類似，一個離散三角序列可以表示為一對共軛的離散復指數(shù)序列的疊加，即fd (n)M cos( nM j( n )T(eM J J n一e e2Aej nA2ee J( nM Je2J n)(1-62)依然可以用類似于圖1-7所示的向量圖表示離散三角序列和離散復指數(shù)序列的關系,差別在于，連續(xù)信號情況下，旋轉(zhuǎn)向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角頻率分別為和；離散信號情況下，旋轉(zhuǎn)向量離散(步進)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角頻率(單位離散間隔步進的角度)分別為1.4信號的運算1.4.1信號的移位、反褶與尺度變化已知信號f (t)，f (t )是對f (t)的

30、移位運算,正號對應于f (t)波形左移時間 ；負號對應于f (t)波形右移時間 。f(at)是對f (t)的尺度運算，當a 1時，f (t)波形在水平方向被壓縮；當0 a 1時，f(t)(1)改寫(1-63)解改寫信號形式，得g( 2t5) g 2(t2.5)。由g(t)做尺度運算，得g(2t),波形如圖1-19(b)所示。對g(2t)做反褶運算，得g(2t),波形如圖1-19(C)所示。再對 g( 2t)右移 25 ,得 g 2(t2.5),波形在水平方向被擴展。f( t)是對f(t)的反褶運算。信號f(at b)同時包含了對信號 f (t)的移位、反褶和尺度運算。具體運算步驟可分解如下:信

31、號形式f(at b) f a(t ba)(2)由f (t)做尺度和反褶運算得 f(at) ；( 3)由f(at)做移位運算得f a(t ba) o在同時包含移位、反褶和尺度運算時，需注意運算步驟，否則會導致錯誤。例1-4已知信號g(t),波形如圖1-19(a)所示。求g( 2t 5)的波形。最終波形如圖1-19(d)所示。g(t)g(t)g( 2t)圖1-19 信號的移位、反褶與尺度信號周期延拓圖 1-201.4.2信號相加和相乘(1-64 )(1-65 )如果f1(t)和f2(t)為周期信號，它們的周期分別為T1和T2 ,那么f (t)f1(t)f2(t)的周期性取決于已知信號f1(t)和f

32、2(t),信號相加運算為f(t) f1(t) f2(t)信號相乘運算為f(t) f1(t)f2(t)K2/K1為有理數(shù),則f(t)T1和T2的關系。如果存在非零正整數(shù) K1和K2,滿足KJ K2T2,即T1 /T2為周期信號。如果 K2/K1是既約分數(shù)，則f(t)的周期為K1T1或K2T2。如果T1.T2為無理數(shù)，則f(t)為非周期信號?？梢钥吹?，周期信號相疊加并不一定是周期信號，只有它們的周期之比為有理數(shù)時，疊加后的信號才保持周期性。143信號的周期延拓已知非周期信號g(t),它的周期延拓為f(t) g(t kT)( 1-66)k其中T為延拓周期。f(t)為周期信號，周期等于延拓周期T。圖1

33、-20為信號周期延拓示意圖，它包括無混疊周期延拓和有混疊周期延拓兩種情況。當信號g(t)非零值的時間有限(簡稱時間有限)，且g(t)非零值的時間小于延拓周期 T時，重復移位的g(t)波形互相不混疊，為無混疊延拓，如圖l-20(b)所示。當信號g(t) 非零值的時間無限(簡稱時間無限)，或者g(t)時間有限，但g(t)非零值的時間大于延拓周期T時，重復移位的g(t)波形互相混疊，為有混疊延拓，如圖1-2O(C)所示。144信號的抽樣所謂抽樣，就是從連續(xù)信號fa(t)中，每隔一定時間間隔抽取一個樣本，通常為等間隔抽樣，抽樣間隔TS也稱抽樣周期。信號抽樣有脈沖抽樣和數(shù)值抽樣兩種方式。脈沖抽樣是用一個

34、周期脈沖信號Sp(t)和被抽樣信號fa(t)相乘，得到抽樣信號fs(t)fa (t)Sp(t),此處下標P表示周期信號，下標 a表示連續(xù)信號，下標S表示脈沖抽樣信號。當抽樣用的周期脈沖信號為矩形 脈沖時，稱為矩形脈沖抽樣，圖1-21為矩形脈沖抽樣的情況。當抽樣用的周期脈沖信號為沖激脈沖時，稱為沖激脈沖抽樣，圖1-22為沖激脈沖抽樣的情況。脈沖抽樣信號fs(t)仍為連續(xù)信號。數(shù)值抽樣是以TS時fd(n)fa(nT$),此處以下標d表示離散信號。圖1-23間間隔抽取連續(xù)信號fa(t)的函數(shù)值，得離散信號為信號數(shù)值抽樣的情況。圖1-21信號矩形脈沖抽樣I fa(t)(b)* k4k(ILJI P(t

35、)ki(I).T(C)S(I)T fS*i-S(t)Lr t i-. JTS 0 TS圖1-22信號沖激脈沖抽樣(b)Ifd( n)fA1-1JTS 0 TS圖1-23信號數(shù)值抽樣1.5 信號的分解信號分解是為了分析信號的方便把一個信號分解為多個(有限個或無限個)較為簡單的信號分量的疊 加。信號分解的概念和方法是信號分析的精髓。常用的信號分解方式有：直流分量和交流分量分解，偶分 量和奇分量分解，實分量和虛分量分解，脈沖分量分解，正交分量分解等。信號脈沖分量分解和正交分解 的概念留待后面詳細介紹。1.5.1直流分量與交流分量任一信號f(t)可分解為直流分量和交流分量之和，即f(t) DfA (t

36、)其中D是直流分量，為信號的平均值1 TD Iimf(t)dtT2TTfA(t)是交流分量，是原信號中去掉直流分量后的部分。在信號直流分量和交流分量分解的方式下，原信號的平均功率等于其直流分量的功率與其交流分量的平均功率之和。(1-67)(1-68)1.5.2 偶分量與奇分量任一信號f (t)可分解為偶分量和奇分量之和，即f(t) fE(t)fo(t)其中fE(t)為偶分量，f(t)為奇分量，且有(1-69)(1-70)(1-71)(1-72)(1-73)fE(t)f(t) f(t).2f(t)f(t) f( t) 2在信號偶分量與奇分量分解的方式下，原信號的平均功率等于其偶分量的平均功率與其

37、奇分量的平均功率之和。1.5.3實部分量與虛部分量任一復信號f(t)可分解為實部信號和虛部信號之和，即f(t)fR(t) jfl(t)其中fR(t)為實部分量，jfl(t)為虛部分量，有fR(t)Re f (t) f(t) f (t) 2f(t)Im f(t) f(t) f (tr.j2f (t)是f (t)的共軛。在信號實部分量和虛部分量分解的方式下，信號平均功率為1T/22P-f (t) dtT T/2 V Z1T/221T/22fR(t)dt f (t)dtTT/ 2RTT/21即原信號的平均功率等于其實部分量的平均功率與其虛部分量的平均功率之和1.7 系統(tǒng)的分類1.7.1 連續(xù)時間系統(tǒng)

38、與離散時間系統(tǒng)當系統(tǒng)的輸入(激勵)信號和輸出(響應)信號都是連續(xù)信號時，稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。我們所熟悉的 電路系統(tǒng)即為連續(xù)時間系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)通常用微分方程或微分方程組來描述。當系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號都是離散信號時，稱為離散時間系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)可以通過一個軟件 程序來實現(xiàn)，在數(shù)字信號處理中大量使用。例如，在數(shù)字電度表中，首先對電壓和電流進行抽樣，得離散 電壓和離散電流信號，然后則通過實時的數(shù)字計算，獲得離散的功率信號和電量信號，還可以分析諧波， 計算諧波功率和電量。離散系統(tǒng)通常用差分方程或差分方程組來描述。存在連續(xù)和離散混合的系統(tǒng)，即一個系統(tǒng)中同時包含連續(xù)信號和離散信號。例如數(shù)字電度表中的

39、模數(shù) (A/D)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，抽樣前的信號是連續(xù)的，抽樣后的信號是離散的。1.7.2 動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng)系統(tǒng)在任意時刻的輸出只取決于同時刻的系統(tǒng)輸入，和系統(tǒng)過去的狀態(tài)無關，則稱為即時系統(tǒng)。如果 系統(tǒng)的輸出不僅取決于同時刻的系統(tǒng)輸入，還取決于系統(tǒng)過去的狀態(tài)，則稱為動態(tài)系統(tǒng)。即時系統(tǒng)不包含記憶元件。例如，對于電路系統(tǒng)，電感和電容能夠儲能，屬于記憶元件，電阻則屬于非記憶元件。因此，一個只包含電源和電阻的系統(tǒng)是即時系統(tǒng)，而包含了電感或電容的系統(tǒng)稱為動態(tài)系統(tǒng)。 動態(tài)系統(tǒng)用微分方程或差分方程描述，即時系統(tǒng)用代數(shù)方程描述。1.7.3 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)需要滿足疊加性和均勻性。所謂疊加性，即多個激勵信號作用于系統(tǒng)時所產(chǎn)生的響應等于每個激勵單獨作用時所產(chǎn)生的響應的疊加。所謂均勻性，即激勵信號變化某個倍數(shù)時，響應也變化相同的倍 數(shù)。當系統(tǒng)為動態(tài)系統(tǒng)時，系統(tǒng)的響應不僅取決于激勵，還取決于系統(tǒng)的儲能，即系統(tǒng)的初始狀態(tài)，系統(tǒng)的響應和激勵之間不可能滿足疊加性和均勻性。因此，嚴格意義上的線性系統(tǒng)不可能是動態(tài)系統(tǒng)，只能是即時系統(tǒng)。在系統(tǒng)分析中，對線性系統(tǒng)的界定不是嚴格意義上的，而是擴展意義上的。擴展意義上的線性系統(tǒng)