微積分試題集

1、微積分試題集一季、計算下列極限：（每題5分，共10分）5.設 f (x)sin bxx3,ax 1sin x4.若x0時,J1 k x2 1與xsinx是等價無窮小，求常數k的值.2xsin , x 0,xx 0,在x 0處連續(xù)，求a,b的值.二、導數與微分：（每題5分，共25分）sin x1 .設 y x ，求 dyx_.22 .求由方程xy ey ex所確定的曲線y y（x）在x 0處的切線方程3.利用微分近似計算，求3/8.024的近似值.2 .14.x sin , x 0,x設 f (x)求 f (x). ln(1 x ) x 05.求曲線f （x）3x35 2一x 的拐點.3三、計算

2、下列各題：（每小題8分，共16分）1 .設某商品的價格P與需求量Q的關系為Q 80 P2,（1）求P4時的需求彈性，并說明其經濟意義.（2）求當價格P為何值時，總收益R最大？并求出此時的需求價格彈性Ed. 一一 F(x)2 .設 F(x)為 f (x)的原函數，且 f (x) L ')，已知 F(1) e2, F(x) 0,求 f(x). .x(1 x)四、證明題：（每小題5分，共10分）1 .當 x 0 時，證明：(1 x)ln(1 x) arctan x.f (x). 2 .設f (x)連續(xù)且lim 8 ,試證明x a是f (x)的極小值點。 x a x a二季、填空題（每小題 4

3、分，本題共20分）函數f(x)ln(x 2)的定義域是32.若函數f (x) xS x k,1,0,在x 0處連續(xù)，則k03 .曲線y 6 在點（1, 1）處的切線方程是4 (sinx) dx35.5 .微分萬程（y ） 4xy y sin x的階數為二、單項選擇題（每小題4分，本題共20分）1.設 f (x1)A. x(x1)C. x(x2)2)(x 1)2.若函數f （x）在點xo處可導,則（）是錯誤的.A .函數f （x）在點x0處有定義B.lim f (x) A,但 A f (x0) x x0C.函數f （x）在點xo處連續(xù)函數f （x）在點xo處可微3.函數y (x2,1）在區(qū)間（2

4、,2）是（A.單調增加C先增后減4.xf (x)dxA.xf (x) f (x)c B.xf(x) cC.12 r-x f (x) c2D.(x1)f (x)dy-x y; dxb. dy xy y dxdyon-xy sinx； dxD.dxx(yx)5.下列微分方程中為可分離變量方程的是（)A.C.三、計算題（本題共 44分，每小題11分）i.計算極限lim6x 85x 42 .設 y 2xsin 3x,求 dy.3 .計算不定積分xcosxdx4.計算定積分e1 5ln x dx1 x四、應用題（本題16分）欲做一個底為正方形，容積為 32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省?微積分

5、初步期末試題選(一)(1)函數 f(x)的定義域是ln(x 2)(2)函數 f(x)244 x 的定義域是ln(x 2)(3)函數 f(x 2)2x 4x 7,貝U f(x) (4)若函數f (x)xsin 1, x 0 Ax在x 0處連續(xù)，則kk, x 02 函數 f(x 1) x 2x,則 f(x) .一，,x2 2x 3(6)函數y 的間斷點是x 11 lim xsin- .x xsin4x(8)右 lim 2 ,則 k .x 0 sin kx2.單項選擇題、x xe e(1)設函數y ,則該函數是().2A.奇函數 B.偶函數C.非奇非偶函數 D .既奇又偶函數(2)下列函數中為奇函數

6、是().a. xsinxx xe e2b. c. ln(x V1 x )22D. x x(3)函數yA x 5 ln(x 5)的定義域為(x 4B x 4 C x 5且 x 0).D2(4)設 f (x 1) x 1 ,則 f (x)()2A. x(x 1) B . xC. x(x 2)D . (x 2)(x 1)微積分初步期末試題選(二)當k ()時，函數f (x)xe 2, xk, x0在x 0處連續(xù).0A. 0 B. 1C. 2D. 3(6)當k ()時，函數f(x)2x 1, xk, xA 0B. 1函數f (x)A. x 1,x 2(1)C . 2 D ,1x 3二的間斷點是()x2

7、 3x 2C. x 1, x 2, x 33.計算題x2 3x 2lim2x 2 x 4(2)3x2 9x2 2x 3(3)6x 85x 41 .填空題(1)曲線f(x)JX 1在(1,2)點的切斜率是(2)曲線f(x) ex在(0,1)點的切線方程是 .已知 f (x) X3 3x ,則 f (3) =(4)已知 f (x) ln x ,貝U f (x)=若 f (x) xe x,則 f (0)2 .單項選擇題(1)若 f (x) e xcosx ,貝 u f (0)=().A. 2B. 1C.-1D.-2設 y lg2 x ,則 dy ().A.-dx b . -1dx C 2xx ln1

8、0(3)設y f(x)是可微函數，貝U df(cos2x)a . 2f (cos2x)dx bf (cos2x) sin 2xd2xc . 2f (cos2x)sin 2xdx df (cos2x)sin 2xd2xsin x d . cosx3(2)設 y sin 4x cos x ,求 y(4)若 f(x) sinx a3,其中 a是常數，則 f (x)().2A - cosx 3a b . sinx 6a c3 .計算題1(1)設 y x2ex ,求 y設y e、小?，求y(4)設 y x& ln cosx ,求 y微積分初步期末試題選（四）1.填空題2(1)函數y 3(x 1)

9、的單調增加區(qū)間是 .2 函數f (x) ax 1在區(qū)間(0,)內單調增加，則a應滿足2 .單項選擇題2(1)函數y (x 1)2在區(qū)間(2,2)是()A.單調增加B .單調減少C.先增后減D .先減后增(2)滿足方程f (x)0的點一定是函數 y £葭)的().A極值點 B.最值點 C .駐點 D.間斷點(3)下列結論中()不正確.A . f (x)在x x0處連續(xù)，則一定在 *0處可微.B . f (x)在x x0處不連續(xù)，則一定在 x0處不可導.C .可導函數的極值點一定發(fā)生在其駐點上.D.函數的極值點一定發(fā)生在不可導點上.(4)下列函數在指定區(qū)間(，)上單調增加的是().x2a

10、 . sinx b . e c . x d . 3 x3 .應用題(1)欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省?3 (2)用鋼板焊接一個谷積為 4m 的正方形的開口水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少?1.填空題(1)若f (x)的一個原函數為ln x2 ,則f (x) 若 f (x)dx sin2x c,則 f(x).若 cosxdx 2(4) dex . (sinx)dx (6)若 f (x)dx F (x) c ,貝U f (2x 3)dx(7)若 f (x)dx F (x) c ,貝U xf (

11、1 x1 2)dx12(8)(sinxcos2x x x)dx .(9)ddxeln(x21)dx0 2x(10)edx=2.單項選擇題（1）下列等式成立的是（）.x .3 dxd3xln3a. d f (x)dx f (x)c f (x)dx f (x) dx(2)以下等式成立的是().1、A lnxdx d(-) b xC. dx d-.x D xB.f (x)dx f (x)D.df (x) f(x)sin xdx d(cosx)(3)xf (x)dx ()A. xf (x) f (x) c B.xf (x) c x x1 e e , dx12 x x1 e e , dx12C.(x3

12、cosx)dx(x2sin x)dx(5)設f (x)是連續(xù)的奇函數，則定積分f(x)dx0A. 0 B. f (x)dx(6)下列無窮積分收斂的是(f(x)dxD.0f-a(x)dxA.0 6nxdxB.-dxxC.3.1dx1 x計算題D.2x .e dx(1)(2x 1)10dx(2).1 sin- -2xdx x2 e xd x2e xln 20 ex(4ex)2dxe1 5lnx ,dxx(6)1 x , xe dx02 xsin xdx0微積分初步期末試題選(五)1.填空題， 1 (1)已知曲線 y f(x)在任意點 x處切線的斜率為_L ,且曲線過(4,5),則該曲線的方程x是

13、.(2)由定積分的幾何意義知，aja2 x2dx=.o(3)微分方程y y, y(0)1的特解為 .(4)微分方程y 3y0的通解為 微分方程(y )3 4xy(4)y7 sin x的階數為2.單項選擇題).(1)在切線余率為2x的積分曲線族中，通過點(1,4 )的曲線為(A. y = x2 + 3 B . y = x2 + 422.C y x 2 D . y x 1(2)下列微分方程中,)是線性微分方程.2A . yx lny yB2 xy y xy eXd. y sin x ye y ln x(3)微分方程y 0的通解為().a . y Cx b . y x C C . y C下列微分方程

14、中為可分離變量方程的是(A.C.dy dx dy dxB.xy sinx；D.dydxdydxxy y ；x(y x)三季10分).選擇題(選出每小題的正確選項，每小題2分，共計11 lim 2" 。 x 0(A ) -(B ) +(C) 0(D)不存在x x2 .當X 0時，f(x)的極限為。X(A ) 0(B )1(C) 23 ,下列極限存在，則成立的是 。f (a x) f (a)(A) lim - f (a)x 0xf(x。t) f(x。t)(C) jim 2f (%)t 0t(D) 不存在(B)limf(tx) f(0) tf (0)x 0 x(D)limf(x) f(a)

15、a xf (a)設f (x)有二階連續(xù)導數，且f (x)f (0) 0,lim 一(-2 1,則f 0 是f(x)的x 0 V(A) 極小值(B )極大值(C )拐點(D)不是極值點也不是拐點5 .若f (x) g (x),則下列各式 成立(A) f (x)(x) 0(B) f(x) (x) C(C) df(x) d (x)d , d(D) f (x)dx (x)dx dxdx二、填空題(每小題3分，共18分)1 .設f(x)在x 0處可導，f(0) 0,且lim f(2x)1,那么曲線y f (x)在原點處的切x 0 sinx線方程是。2 .函數f(x) xj3 x在區(qū)間0, 3上滿足羅爾定

16、理，則定理中的 =13 .設f(x)的一個原函數是，那么f (x)dx 。In x4 .設f (x) xe x,那么2階導函數f (x)在x 點取得極 值。5.設某商品的需求量Q是價格P的函數Q 5 2 ,?,那么在p = 4的水平上，若價格下降1%,需求量將。6 .若 y f (u),u -，且 f (u) - , "dy x 1u dx三、計算題(每小題 6分，共42分)：11、求lim(inx)E x e12 lim (1 x)ex XX一 .一、.一113、設x 時，無分小重 一2，求吊數 a、b、c.ax 2x c 1 bx4、(x 2)、x1dx5、ln(ex 2)dx6

17、、xcosx , 3 dxsin xf (0) x 07、設函數f(x)具有二階導數，且f (0) =0,又g(x) f (x)，求g (x)x 0x四、應用題（8分）1,假設某種商品的需求量 Q是單價P (單位元)的函數：Q=1200-8P;商品的總成本C是需求量Q的函數: C=2500+5Q。(1) 求邊際收益函數和邊際成本函數；(2) 求使銷售利潤最大的商品單價。 2x 1 五、(12分)作函數y 二的圖形(x 1)六、證明題(每題 5分，共計10分)1、設函數f(x)在a,b上連續(xù)，且f (x)在(a,b)內是常數，證明f(x)在a,b上的表達式為,f(x) Ax B,其中A、B為常數

18、。2、設函數f(x)在0,)上可導，且f(x) k 0, f (0)0.證明f(x)在(0,)內僅有一個零點。四季、填空題(每小題 4分，本題共20分)1 . 一1 .函數f(x)的定義域是. 5 x一 12 11m xsin .x x3 .已知 f(x) 2x,則 f (x)=.4 .若 f (x)dx F(x) c,貝 U f (2x 3)dx 5 .微分方程xy (y )4 sin x ex y的階數是二、單項選擇題(每小題 4分，本題共20分)x xe e 1 .設函數 y ,則該函數是().2A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.既奇又偶函數2 .函數f (x)x 3x2 3

19、x 2的間斷點是(A. x 1,x2 B. x 33 .下列結論中()正確.C. x 1,x 2,x 3D.無間斷點A . f (x)在x x0處連續(xù)，則一定在 x0處可微.B .函數的極值點一定發(fā)生在其駐點上 .C . f (x)在x x0處不連續(xù)，則一定在 x0處不可導.D.函數的極值點一定發(fā)生在不可導點上.114 .如果等式f(x)exdxex c,則f (x)111A. B. -C. D.xxx5.下列微分方程中，()是線性微分方程.)12x.2A. yx cos y yb . y y yxC. y xy ln yd . y sin xsin xy ex y ln x三、計算題(本題共

20、 44分，每小題11分)i.計算極限limx 2X2 3x 2x2 42 .設 y e 2x xJX,求 dy.3.計算不定積分sin x% xdxi x4.計算定積分 2xe dx 0四、應用題（本題16分）3用鋼板焊接一個谷積為 4 m 的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問水 箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少?五季、填空題（每小題 4分，本題共20分）-1L函數f(X)的定義域是4 X22 .若 lim sn44 2 ,則 k .x 0 kx3 .已知 f(x) ln x ,貝U f (x) =.4 .若 sinxdx 5 .微分方程xy （y ）

21、4 sin x ex y的階數是、單項選擇題（每小題 4分，本題共20分）1 .設函數y xsinx,則該函數是（）.A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.既奇又偶函數x 1 x 0_2 .當k=（）時，函數f（x），在x 0處連續(xù).k x 0A. 1 B. 2C,1D, 03 .滿足方程f （x）0的點一定是函數 “*）的（ ）。A.極值點 B.最值點C.駐點 D.間斷點a4 .設f(x)是連續(xù)的奇函數，則定積分f(x)dx ()-a00aa. 2 f (x)dx b. f (x)dx c. f (x)dx d . 0-a-a05 .微分方程y y 1的通解是()Cx 1x12a.

22、y e ； b. y Ce 1 ； C. y x C ； d. y - x C3x 2 x2 4三、計算題(本題共 44分，每小題11分)2xl計算極限lim 一x 232 .設 y sin 5x cos x ,求 y-一 (1 x)2 .3 .計算不定積分 ' d dxxx4 .計算je積分一sinxdx0 2四、應用題(本題16分)欲用圍墻圍成面積為 216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的 長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最?。课⒎e分習題集答案一季一、計算下列極限：（每題5分，共25分）1.x arctanxln(1x3)lxm0x arct

23、anxlim2.lim(1x2)1 cosxlim空x2)limx27723.limx 0x tan xlimx 0tanxxtan xlimx 04.0時,解：由于5.設 f (x)limx 0,2tan x2xlimx 02xtan x2 x3xlimx 02sec2x.x limx 0 20。k x2 1與xsin x是等價無窮小，求常數k的值.0時有Jisin bxx3,ax 1sin x解：由左連續(xù)與右連續(xù)分別得f(x)kx2xsinsin bx3 limx 0f(x)limax 1sin x所以得a3。二、導數與微分：（每題5分，共sin1.設 y xdyx.2解：兩邊去對數得ln

24、 yy , 一 cosx ln xy1 . sin x1: kx222 xsin 一xlimx 025分)11 x20,0,limx 0sin x ln x,再求導得x ,整理后得yxsinx0處連續(xù)，求a,b的值.ax ln a ln a ,cosxlnx 1sinxx當x 時有 y2sin2 cos In 一2222-sin -21,所以 dy x dx o2.求由方程xy ey ex所確定的曲線yy(x)在x 0處的切線方程解：易知x 0時有y 0。求導得 y xy ey yex，將x y0代入則有y x o線方程為 y x3.利用微分近似計算，求3 8.024的近似值.解：令 y f

25、(x) 3/x ,則 f(x)1c3 -23% x取Xo0.024,則有3 8.024 3 8dyy dx33E0.0240.002 ,所以3 8.0242.002 o4.設f(x)2 ch 1x sin ,x0,f (x).解：f(x)ln(1x2)limx 0limx 0f(x)xf(0)limx 0xsin1 0,xf(x) f(0)1 2xsin x05.求曲線f (x)解：求導得 f (x)顯然，當x 0時flim2ln(1 x )limx 020,x1 cos x2x1 x253x3的拐點.0,即f(x)12xsin 一 x2x1 cos-x25x310一 x3與 f (x)10一

26、 x3103103(x)不存在；當x 1時f (x)1是潛在拐點。下面考察函數凹凸性的變化，不難看出所以，（0,0）與f (x)f (x) 0f (x) 0f (x) 04一1,-均為曲線的拐點。（每題6分，共24分）sin xcosxx arctan x12 x2 xdv /21 sin 2x2.3.xx令三、計算不定積分:2(sin x cosx), dxsin xcosx(sin xcosx)dx sin x cosx C。xdx2 xsint,arctan x1 x2dx21n(1x2)1,2一 arctan x C。2x2dx1 x2sin2 xdx1 cos2x, dx4. ln(

27、12、x )dx xln(12 ,2x dx1 x21 sin 2t42xln(1 x )1 arcsinx2xln(1 x2)2x2arctan x C 。四、計算下列各題：（每小題8分,共16分）21.設某商品的價格P與需求量Q的關系為Q 80 P ,求P 4時的需求彈性，并說明其經濟意義.(2)求當價格P為何值時，總收益R最大？并求出此時的需求價格彈性PEd Q Q2P2廣2，故 Ed P 480 P2P 4漲（下跌）1% ,則需求量近似減少（增加）（2）我們知道Ed 1時，總收益R最大。2.設F（x）為f （x）的原函數，且f （x）解：因為F（x） 0,所以給定條件等價于-xV1 x

28、2 C。2dx xE320.5,這說明當價格 P 4時，若價格上80 160.5%。由2P2-Vi5 ,所以當價格3280 P解彳導PF(x).x(1 x)f(x)，已知 F(1) e2, F(x) 0,求 f(x).F (x)、x(1 x),兩邊關于x求積分，則In F(x) 2arctan JX C ,從而 F(x) Ce2arctan (C 0)。將 F(1) e /2代入可得1,所以 F(x) e2arctaS,從而 f(x) F (x)x(1 x),2arctan .泛11分五、證明題：(每小題5分，共10分)2.當 x 0 時，證明：(1 x)ln(1 x) arctan x.x2

29、證明：令 f(x) (1 x)ln(1 x) arctan x ,則 f (x)ln(1 x) 2，當 x 0 時顯然有1 xf (x) 0,并且只有在x 0時才有f (x)0 ,所以f(x)在x 0時為增函數。故當x 0時有f(x)f(0)0 ,也就是說當x 0時，(1x)ln(1 x) arctan x。f (x)2.設f (x)連續(xù)且lim 8，試證明xx a x aa是f (x)的極小值點。證明：由 lim -f-(xx a x af (x) f (a) lim x a x點o8 知 lim f (x) 0。 x af (a) f (x)lim a x a x a又f (x)連續(xù)，所以

30、f (a) 0。根據定義有8 0 ，由第二充分條件即可知 xa是f (x)的極小值二季一、填空題(每小題 4分，本題共20分)1 1.-1( 2, 1)( 1,22. 1 3. y - x - 4. Sinx c 5.32 2二、單項選擇題(每小題 4分，本題共20分)1. C2, B 3. D 4. A 5. B三、(本題共44分，每小題11分)解:原式 lim (x4)(x2)lim1211 分x 4 (x4)(x1)x 4 x 132 .解：y2xln 2 3cos3x9 分x 一dy (2 ln 2 3cos3x)dx11 分3 .解：xcosxdx = xsin x sinxdx x

31、sin x cosx cel 51nx4解： dx1 x17(36 1)102四、應用題(本題16分)1 (1 51nx)d(1 51nx) (111分解：設底邊的邊長為x ,高為h ,用材料為y ,由已知22h 32,h32-2 x令y 2x12851nx)2x2 4xh x2 4x 3f x易知1284是函數的極小值點，此時有h32 -4222時用料最省.微積分初步期末試題選(一)1 .填空題(1)答案：x 2且x 3.(2)答案：(2, 1)( 1,2答案：f (x) x2 3(4)答案：k 12 .(5)答案：f (x) x 1(6)答案：x 1(7)答案：1(8)答案：k 22 .單

32、項選擇題(1)答案：B (2)答案：C(3)答案：D(4)答案：C(5) 答案：D(6) 答案：B(7)答案：A3 .計算題2 一-一x 3x 21. (x 2)(x 1)(1) 解：lim2 lim x x2 6x 8 lim -x2 4 x 2(x 2)(x 2)2x 9 (x 3)(x 3) x 3(2) 斛：lim - lim limx x 4 x 5x 4 x22x 3 x 3 (x 3)(x 1) x 3 x 1(3)解:lim»x 4 x 1lim(x 4)(x 2) x 4 (x 4)(x 1)微積分初步期末試題選(二)“1(1)答案：_ 2(2)答案：y x 1(3

33、)答案：f (x) 3x2 3xln3f (3)=27(1 ln3)”.11(4)答案：f (x) f (x)= xx答案：f (x) 2e x xe x, f (0)2 .單項選擇題(1)答案：C(2)答案：B(3)答案：D (4)答案：C3 .計算題(1)解：y11,1-2 一1-2xex x2ex( -2) ex(2x 1)x2222解：y 4cos4x 3cos x( sin x)24cos4x 3sin xcos x解：y e、R ,1 馬2Jx 1 x-1,-1-3 n 1,、3 (4)斛：y x2 ( sin x) x2 tan x2 cosx2微積分初步期末試題選(三)1 .填

34、空題(1)答案：(1,)(2)答案：a 02 .單項選擇題(1)答案：D (2)答案：C (3)答案：B(4)答案:3 .應用題解：設底邊的邊長為 x,高為h,用材料為y ,由已知x2h 108,hB1082 x21084xh x2 4x 2-x4324322x 0 ,解得 x x6是唯一駐點,c 2 43223 x6是函數的極小值點，所以當x 6, h1083用料最省.解：設水箱的底邊長為 x,高為表面積為S ,且有h2所以 S(x) x2 4xh16S (x) 2x162 x令S (x) 0,2,因為本問題存在最小值,且函數的駐點唯一，所以，當 x2, h 1時水箱的面積最小.此時的費用為

35、S(2) 10 40 160 (元)微積分初步期末試題選(四)1.填空題,2(1)答案：一 x(3)答案：sin x c(2)答案：2cos2x(5)答案：sin x c“1 L2、(7)答案：-F(1 x2) c2(9)答案：02(4)答案：e x c,1(6)答案：一F(2x 3) c22(8)答案： 一31(10)答案：一22.單項選擇題(1)答案：C(5)答案：A3.計算題(1)解：(2x 1)10dx.1sin 一解：-2xdxx(2)答案：D(6)答案：D1io-(2x 1)10d(2x 1)1 1 sin dcos- c(3)答案：A(4)答案：A1 (2x 221)11xdx

36、2 e、xdVx 2e、x c x1n 21n 2解：ex(4 ex)2dx(4 ex)2d(4 ex)oo1 X 3 1n211= -(4 ex)31(216 125) 303033(5)；e1 51n x , dx1 e(1 51n x)d(1 51nx)5 112(1 51n x)2101 (36 1)10(6)解:11-x7exxe dx xeooexdx01e ex10解：2 xsin xdx0xcosx/02cosxdx sinx信1微積分初步期末試題選(五)2答案：y 2 J7 1(2) 答案：a-4答案：y ex一 .3x.答案：y ce(5) 答案：42.單項選擇題(1)答案

37、：A (2)答案：D (3)三季答案：C (4) 答案：B選擇題(選出每小題的正確選項，每小題2分，共計 10分)1 . C;2. D;3.B C; 4.A;5.B C._1 x ln2 xdydx、填空題(每小題3分，共18分),11. y -x2.23.24. X=2,極小值 5.上升2%6三、計算題(每小題 6分，共42分)：11、求 1im(ln x)E x e1斛：令 y (ln x)1limln y limln(ln x)lim xlnx =-13 分x 0 x01lnxx 01x1lim y e 1 分x 0，貝U In y ln(ln x)2分1 In x13、 lim (1

38、x)ex XXJ-1解：原式=limx(1 )ex 1Xx1 1 1ex 1 -ex1lim+ Xim(1 e" 2Xx113、設x 時，無分小重 一2，求吊數a、b、c.ax2 2x c 1 bx解：由ax2 2x cbx 1得a=0, b=-2, c取任意實數。3分4解:dx1.11dx - 2 dvx 13 分 1 (x 1). x 12 1 ( . x 1)21arctgVx1 C3 分民ln(ex 2)5、解x-dxexx x xIln(e 2)de e ln(e 2)dxe 2xxx x 1 e 2 eexln(ex 2) - dx2_分2ex 211x xx_e ln(

39、e 2) -x ln(e 2) C221 x x 1(ex)ln(ex 2) -x C2 2xcosx ,1,13 dx-xd -2sin x2sin x2_分1.x2-kcsc xdx 2分2 sin2 x1 x2 sin2 x1 人-ctgx Cx 0xf (0) f(x)7、設函數f(x)具有二階連續(xù)導數，且 f (0) =0,又g(x)求 g (x)xf (x) f (x)解：當x 0時,g (x) 一二一LU ,這時g (x)連續(xù) 2 分xf (x) xf (0) f (x)f (0)1 r 小八當x 0時，g (0) lim 2-lim-一 f (0)3 分x 0 x2 x 0 2

40、x 2xf (x) f (x)02, x 0,所以g (x)x1 分1 .-f (0), x 0.2四、(8分)假設某種商品的需求量Q是單價P (單位元)的函數：Q=1200-8P;商品的總成本 C是需求量Q 的函數：C=2500+5Q。(3) 求邊際收益函數 MR和邊際成本函數 MC ;(4) 求使銷售利潤最大的商品單價。2.解：(1) MR PQ 1200P 8P , MC 5;3 分(2)利潤函數L(P) PQ C 8P2 1240P 8500,1 分155令 L(P) 16P 1240 0得 P=空-, 唯一駐點，又L(p) 16 0,2 分P=155/2時利潤最大。2分 2x1 五、(12分)作函數 y 的圖形(x 1)2答案：(1)定義域是,11, ,x 1是間斷點(2)漸近線因limx2x 1(x 1)20,故y=0為水平漸近線因limx 12x 1(x 1)2，故x=1為垂直漸近線(3)單調性、極值、凹凸及拐點 2x "y 3,令 y 0,得 x=0(x 1) 4x 2y 4,令 y 0,得 x(x 1)再列表x1(,2)121("。)0(0