八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第18章《平行四邊形》講義 第11講菱形及正方形

1、.第11講 菱形、正方形第一部分 知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：菱形的概念和性質(zhì)1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2、根本性質(zhì)： 1邊：菱形的四條邊都相等； 2角：菱形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)； 3對(duì)角線：菱形的對(duì)角線互相垂直平分，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角： 4對(duì)稱性：菱形是軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有兩條； 5面積：S=ab其中a、b分別是菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng). 或 S=底×高。知識(shí)點(diǎn)二：菱形的斷定方法 1有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形; 2四邊都相等的四邊形是菱形; 3對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形; 4對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.知識(shí)點(diǎn)三：正方形的根本概念1、正方

2、形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、根本性質(zhì)： 1邊：正方形四條邊都相等； 2角：正方形的四個(gè)角都相等； 3對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角； 4對(duì)稱性：是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有四條；知識(shí)點(diǎn)四：正方形斷定 1有一組鄰邊相等的矩形是正方形； 2對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形； 3有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； 4對(duì)角線相等的菱形是正方形。第二部分 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、菱形的性質(zhì)例1、菱形的一個(gè)內(nèi)角是120°，一條較短的對(duì)角線的長(zhǎng)為10，那么菱形的周長(zhǎng)是_例2、如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)

3、角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，那么PM+PN的最小值是_例3、菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為12cm，面積為30cm2，那么這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為_cm。例4、如圖，菱形ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，BEAF60°，BAE18°，求CEF的度數(shù)。例5、如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E1證明：四邊形ACDE是平行四邊形；2假設(shè)AC=8，BD=6，求ADE的周長(zhǎng)例6、如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF=BE，CE=CF. 求證：1CFDCEB；

4、2CFE=60°.例7、：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過(guò)M作MECD于點(diǎn)E，1=21、假設(shè)CE=1，求BC的長(zhǎng)；2、求證：AM=DF+ME舉一反三：1、菱形ABCD中，A60o，對(duì)角線BD長(zhǎng)為7cm，那么此菱形周長(zhǎng) cm。2、如圖，在菱形ABCD中，AB=4，線段AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，CND的周長(zhǎng)是10，那么AC的長(zhǎng)為 3、如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，那么DH= A、 B、 C、12 D、24 2 34、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DEAC且DE=OC，  

5、;連接 CE、OE，連接AE交OD于點(diǎn)F1求證：OE=CD   2假設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4， ABC=60°，求AE的長(zhǎng)5、如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DHAB于H，連接OH，求證：DHO=DCO6、如圖，ABC中，ACB=90°，D、E分別是BC、BA的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)在DE延長(zhǎng)線上，且AF=AE. 1求證：四邊形ACEF是平行四邊形； 2假設(shè)四邊形ACEF是菱形，求B的度數(shù).7、：如圖，菱形ABCD中，過(guò)AD的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AB于點(diǎn)M，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F假如FB的長(zhǎng)是，AEM

6、=30°，求菱形ABCD的周長(zhǎng)和面積?？键c(diǎn)2、菱形的斷定例1、在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是 A、假如AB=BC，ACBD，A=90°，那么四邊形ABCD是正方形 B、假如AC=BD，ACBD，那么四邊形ABCD是矩形 C、假如AB=CD，ADBC，那么四邊形ABCD是平行四邊形 D、假如AO=CO，BO=DO，BC=CD，那么四邊形ABCD是菱形例2、如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是 。例3、如圖，分別以直角ABC的斜邊AB，直角邊

7、AC為邊向ABC外作等邊ABD和等邊ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，ACB=90°，BAC=30°給出如下結(jié)論：EFAC；四邊形ADFE為菱形；AD=4AG；FH=BD；其中正確結(jié)論的是 A、 B、 C、 D、 例2 例3例4、如圖,過(guò)平行四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O作互相垂直的兩條直線EG、FH與平行四邊形ABCD各邊分別相交于點(diǎn)E、F、G、H. 求證：四邊形EFGH是菱形。例5、如圖，在RtABC中，B=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=2AB，BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，作AFBC，連接DE并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)F，連接FC 求證

8、：四邊形ADCF是菱形例6、將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D 處，折痕為EF1求證：ABEADF；2連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論例7、如圖，四邊形BFCD為平行四邊形，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn) 1求證：CF=AD； 2假設(shè)ACB=90°，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說(shuō)明理由例8、如圖，在ABCD中，AF平分BAD，交BC于點(diǎn)F，CE平分BCD，交AD于點(diǎn)E1求證：四邊形AFCE是平行四邊形； 2如圖，假設(shè)BEEC，求證：四邊形ABFE是菱形變式訓(xùn)練：1、以下條件能斷定四邊形是菱形的是 A、對(duì)角線相等的四邊形 B、對(duì)角線互相垂直

9、的四邊形 C、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形 D、對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形2、順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH是菱形，應(yīng)添加的條件是 A、ADBC B、AC=BD C、ACBD D、AD=AB3、如圖，兩個(gè)完全一樣的三角尺ABC和DEF在直線l上滑動(dòng)要使四邊形CBFE為菱形，還需添加的一個(gè)條件是 寫出一個(gè)即可4、如圖，在ABC中，ACB=90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，BFCE交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F1求證：四邊形ECBF是平行四邊形；2當(dāng)A=30°時(shí)，求證：四邊形ECBF是菱形5、：如圖，AEBF，AC平分BAD，交BF于點(diǎn)C，BD

10、平分ABC，交AE于點(diǎn)D，連接CD 求證：四邊形ABCD是菱形6、如圖，點(diǎn)E、F分別是ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF 1試判斷四邊形AECF的形狀； 2假設(shè)AE=BE，BAC=90°，求證：四邊形AECF是菱形7、如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且 BE=DF 連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G，連接CF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)H1求證：AOECOF；2假設(shè)AC平分HAG，求證：四邊形AGCH是菱形考點(diǎn)3、正方形性質(zhì)例1、如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，那么線段CN的長(zhǎng)是 A、3cm

11、 B、4cm C、5cm D、6cm例2、如圖，在正方形ABCD中，AD=5，點(diǎn)E、F是正方形ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，且AE=FC=3，BE=DF=4，那么EF的長(zhǎng)為 例1 例2例3、如圖，P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP=BC，那么ACP度數(shù)是 A、45° B、22.5° C、67.5° D、75°例4、如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊三角形CDE，AE、BD交于點(diǎn)F，那么AFB的度數(shù)為 。 例3 例4例5、如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC，垂足為E， PFCD，垂足為F，求證：EFAP例6、：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E

12、在邊CD上，AQBE于點(diǎn)Q，DPAQ于點(diǎn)P 1求證：AP=BQ；2在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)線段，使每對(duì)中較長(zhǎng)線段與較短線段長(zhǎng)度的差等于PQ的長(zhǎng)例7、如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD 求證：1APBDPC ； 2BAP=2PAC舉一反三：1、：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，假設(shè)AE4cm，DF3cm，且OEOF，那么EF的長(zhǎng)為 。2、如圖，正方形ABCD的周長(zhǎng)為28 cm，那么矩形MNGC的周長(zhǎng)是 A、24cm B、14cm C、18cm D、7cm 1 23、一個(gè)正方形和一個(gè)等

13、邊三角形的位置如下圖擺放，點(diǎn)G是BC中點(diǎn)，正方形對(duì)角線EGBC，那么AFE= A、10° B、15° C、20° D、25°4、如圖，在RtABC中，C=90°，BAC=40°，AD是ABC的一條角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AD，AC，BC上，且四邊形CGEF是正方形，那么DEB的度數(shù)為 3 45、四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF，連接AE、AF、EF 1求證：ADEABF；2假設(shè)BC=8，DE=6，求AEF的面積6、如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)G，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，A

14、EF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F1證明：BAE=FEC；2求AEF的面積7、正方形ABCD的中點(diǎn)E為正方形邊上DCB之間任意一點(diǎn)，且滿足DMAE于點(diǎn)M，BNAE于點(diǎn)N 1求證：ABNDAM 2DM，MN，NB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論考點(diǎn)4、正方形斷定例1、在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，CA上，且DECA，DFBA，連接EF，那么以下三種說(shuō)法： 假如EF=AD，那么四邊形AEDF是矩形 假如EFAD，那么四邊形AEDF是菱形 假如ADBC且AB=AC，那么四邊形AEDF是正方形 其中正確的有 A、3個(gè) B、2個(gè) C、1個(gè) D、0個(gè)例2、在四邊形ABC

15、D中，AC、BD相交于O，能斷定這個(gè)四邊形是正方形的是 A、AO=BO=CO=DO，ACBD B、ABCD，AC=BD C、AO=BO，A=C D、AO=CO，BO=DO，AB=BC例3、如圖，在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分別是各內(nèi)角的平分線，E、F、G、H分別為它們的交點(diǎn)求證：四邊形EFGH是正方形例4、如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)1請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀？并說(shuō)明為什么；2假設(shè)使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？例5、如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)E與A，D不重合，G，F(xiàn)，H分別

16、是BE，BC，CE的中點(diǎn)。l證明四邊形EGFH是平行四邊形；2在1的條件下，假設(shè)EFBC，且EF=BC，證明平行四邊形EGFH是正方形。例6、如圖，在ABC中，BAC=90°，AD是中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AFBC交BE的延長(zhǎng)線于F，連接CF。1求證：AD=AF； 2假如AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論舉一反三：1、以下條件之一能使菱形ABCD是正方形的為 ACBD； BAD=90°； AB=BC ；AC=BD A、 B、 C、 D、2、四邊形ABCD，那么以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是 A、假設(shè)ABCD，AB=CD，那么四邊形ABCD是平行四邊形 B、

17、假設(shè)ACBD，AC=BD，那么四邊形ABCD是矩形 C、假設(shè)ACBD，AB=AD，CB=CD那么四邊形ABCD是菱形 D、假設(shè)AB=BC=CD=AD，那么四邊形ABCD是正方形3、平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，給出以下四個(gè)條件：AC平分BCD，ACBD，OA=OC，OB=OC，BAD+BCD=180°，AB=BC從中任選兩個(gè)條件，能使平行四邊形ABCD為正方形的選法有 A、3種 B、6種 C、7種 D、8種4、：如圖，在ABC中，AB=AC，D是的BC邊的中點(diǎn)，DEAC，DFAB，垂足 分別是E、F 1求證：DE=DF； 2只添加一個(gè)條件，使四邊形EDFA是正方形

18、，并給出證明5、如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2。1DG=6，求AE的長(zhǎng)； 2DG=2，求證：四邊形EFGH為正方形第三部分 課堂小測(cè)1、以下命題正確的選項(xiàng)是 A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平行四邊形 B、對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形 C、兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形一定是菱形 D、在兩條對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形2、如圖，四邊形ABCD為矩形紙片把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF假設(shè)CD6，那么AF等于 A、 B、 C、 D、83、如圖，菱形

19、ABCD的邊長(zhǎng)為4，ABC=60°，點(diǎn)E、F分別為AO、AB的中點(diǎn)，那么EF的長(zhǎng)度為 A、4 B、3 C、 D、4、如圖，把菱形ABCD沿AH折疊，使B點(diǎn)落在BC上的E點(diǎn)處，假設(shè)B=70°，那么EDC的大小為 A、10° B、15° C、20° D、30° 2 3 45、四邊形ABCD是平行四邊形，從以下條件：AB=BC，ABC=90°，AC=BD，ACBD，再選兩個(gè)做為補(bǔ)充，使ABCD變?yōu)檎叫蜗旅嫠姆N組 合，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 A、 B、 C、 D、6、要從一張長(zhǎng)為40cm，寬為20cm的矩形紙片中，剪出長(zhǎng)為18cm，寬為12

20、cm的矩形紙片，最多能剪出 張。7、在ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF，沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的AEF和四邊形EBCF可以拼接成平行四邊形EBCP，接切線與拼圖過(guò)程如下圖，按照上述方法，安要求完成以下操作設(shè)計(jì)，并畫出圖形說(shuō)明。1在ABC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成矩形。2在ABC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成菱形。3在ABC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成正方形。8、：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點(diǎn)D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點(diǎn)E，1求證：四邊形ADCE為矩形；2當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一

21、個(gè)正方形？并給出證明ABCDMNE9、如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，直線AE交BD于點(diǎn)M，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，G是EF的中點(diǎn)，連結(jié)CG求證： ABMCBM； CGCM10、如圖，AD是ABC的中線，AEBC，BE交AD于點(diǎn)F，且AF=DF 1求證：四邊形ADCE是平行四邊形2當(dāng)AB、AC之間滿足 時(shí)，四邊形ADCE是矩形；3當(dāng)AB、AC之間滿足 時(shí)，四邊形ADCE是正方形第四部分 進(jìn)步訓(xùn)練1、在菱形ABCD中，ABC=60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF1假設(shè)E是線段AC的中點(diǎn)，如圖1，求證：BE=EF；2假設(shè)E是線段AC

22、或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜測(cè)；并選擇一種情況給予證明2、如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，過(guò)點(diǎn)A作AMBE，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)F.1試說(shuō)明OEOF；2如圖2，假設(shè)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AMBE于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其它條件不變，那么結(jié)論“OEOF還成立嗎?假如成立，請(qǐng)給出說(shuō)明理由；假如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1EMFCODBA 圖2EFOCMDAB3、：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)F也從點(diǎn)D出發(fā)沿DC方向

23、一樣的速度運(yùn)動(dòng)，記運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0t4，AF與BE交于P點(diǎn)1如圖，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AF與BE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 2在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，要使得BPC是等腰三角形，t應(yīng)為何值？請(qǐng)畫出圖形，并求出所有滿足條件的t值4、如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)G與C、D不重合，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE我們探究以下圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系1猜測(cè)圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系； 2將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度a，得到如圖2、如圖3情形請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷1中得到的結(jié)

24、論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷第五部分 課后作業(yè)1、假設(shè)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4cm和6cm，那么它的面積為 A、3cm2 B、6cm2 C、12cm2 D、24cm22、如圖，在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E，假設(shè)BF=12，AB=10，那么AE的長(zhǎng)為 A、16 B、15 C、14 D、133、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且BE=AF，連接CE，BF相交于點(diǎn)G，那么以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是 A、BF=CE B、AFB=ECD C、BFCE D、AFB+BEC=90°4、如圖，在ABCD中，ACBD于點(diǎn)O，假設(shè)增

25、加一個(gè)條件，使得四邊形ABCD是正方形，那么以下條件中，不正確的選項(xiàng)是 A、AC=BD B、AB=BC C、ABC=90° D、AO=BO 2 3 45、如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，B=45°，AE為BC邊上的高，將ABE沿AE所在直線翻折至AGE，那么AGE與四邊形AECD重疊部分的面積是 6、如圖，點(diǎn)F是正方形ABCD邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BF的垂直平分線EM與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)E，與BF相交于點(diǎn)M，連接BE、FE，EM=3，那么EBF的周長(zhǎng)是 。7、如圖，BD是ABC的角平分線，DEBC，交AB于點(diǎn)E，DFAB，交BC于點(diǎn)F，當(dāng)ABC滿足條件 時(shí)，四邊形BEDF是正方形 5 6 78、如圖，平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且是等邊三角形1求證：四邊形是菱形；2假設(shè)，求證：四邊形是正方形ECDBAO9、正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為BD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AE到點(diǎn)N，使AE=EN，連接CN、CE1求證：AE=CE 2求證：CAN為直角三角