一、n維向量的概念二、n維向量的表示方法三、向量組的線

1、n一、一、n維向量的概念維向量的概念n二、二、 n維向量的表示方法維向量的表示方法n三、向量組的線性組合三、向量組的線性組合第一節(jié)第一節(jié) 向量組及其線性組合向量組及其線性組合定義定義1 1 . , 21個個分分量量稱稱為為第第個個數(shù)數(shù)第第個個分分量量，個個數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的維維向向量量，這這組組稱稱為為所所組組成成的的數(shù)數(shù)個個有有次次序序的的數(shù)數(shù)iainnnaaanin分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量復(fù)向量. .分量全為實數(shù)的向量稱為分量全為實數(shù)的向量稱為實向量實向量，一、n維向量的概念例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n維實向量

2、維實向量n維復(fù)向量維復(fù)向量第第1個分量個分量第第n個分量個分量第第2個分量個分量),(21nTaaaa naaaa21 二、n維向量的表示方法 維向量寫成一行，稱為維向量寫成一行，稱為行向量行向量，也就是行，也就是行矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： TTTTba,n 維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為列向量列向量，也就是列，也就是列矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： ,ban注意注意.行向量和列向量總被看作是行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量兩個不同的向量； .行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩陣的運算法則矩陣的運算法則進(jìn)行進(jìn)行運算；運算； .當(dāng)

3、沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作作列向量列向量. 1212, ,( , ,)nnnTxRx xxRx xx 221211( , , ,)nnnTxbx a xa xx xxa 叫做叫做 維向量空間維向量空間n叫做叫做 維向量空間維向量空間 中的中的 維超平面維超平面Rnn1 n 當(dāng)當(dāng) n 3 時時, n 維向量維向量可以把有向線段作為幾何線段作為幾何形象形象,但當(dāng)?shù)?dāng) n 3 時時, n 維向量就不再有這種幾何形維向量就不再有這種幾何形象象. 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組所

4、組成的集合叫做向量組例如例如維列向量維列向量個個有有矩陣矩陣mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量組的列向量組稱為矩陣稱為矩陣向量組向量組Aa1a2an三、向量組的線性組合a2ajana1a2ajan維行向量維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)反

5、之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣成一個矩陣.矩矩陣陣構(gòu)構(gòu)成成一一個個組組維維列列向向量量所所組組成成的的向向量量個個nmnmm , 21 矩陣矩陣構(gòu)成一個構(gòu)成一個的向量組的向量組維行向量所組成維行向量所組成個個nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA 結(jié)論：含有限個向量的有序向量組可以與矩結(jié)論：含有限個向量的有序向量組可以與矩陣一一對應(yīng)陣一一對應(yīng). .，組實數(shù)組實數(shù)，對于任何一，對于任何一給定向量組給定向量組mmkkkA,: 2121 定義定義2 2., 21個線性組合的系數(shù)個線性組合的系數(shù)稱為這稱為這，mkkk，稱為向量組的一個稱為向量組的一個向量向量 2

6、211mmkkk 線性組合線性組合mmb 2211，使，使，一組數(shù)一組數(shù)如果存在如果存在和向量和向量給定向量組給定向量組mmbA ,: 2121. 2211有解有解即線性方程組即線性方程組bxxxmm 的線性組合，這時稱的線性組合，這時稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩陣陣，條條件件是是矩矩陣陣線線性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量組組向向量量bBAAbmm 定理定理1 1定義定義3 3 . .,:,: 2121這兩個這兩個能相互線性表示，則稱能相互線性表示，則稱量組量組與

7、向與向若向量組若向量組稱稱線性表示，則線性表示，則向量組向量組組中的每個向量都能由組中的每個向量都能由若若及及設(shè)有兩個向量組設(shè)有兩個向量組BAABBAsm 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示向量組等價向量組等價BA使使在數(shù)在數(shù)存存量量線性表示，即對每個向線性表示，即對每個向能由能由（和和（若記若記,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（從而從而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （(). m sijKk矩矩陣陣稱稱為

8、為這這一一線線性性表表示示的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣矩矩陣陣：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)的的列列向向量量組組線線性性表表示示，矩矩陣陣的的列列向向量量組組能能由由，則則矩矩陣陣若若BACBACnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （ TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的行行向向量量組組線線性性表表示示的的行行向向量量組組能能由由同同時時，ABC,. . 的的行行向向量量組組等等價價的的行行向向量量組組與與于于是是的的行行向向量量組組線線性性表表示示

9、，的的行行向向量量組組能能由由可可知知，由由初初等等變變換換可可逆逆性性的的行行向向量量組組線線性性表表示示組組能能由由的的行行向向量量，即即的的行行向向量量組組的的線線性性組組合合向向量量都都是是的的每每個個行行，則則經(jīng)經(jīng)初初等等行行變變換換變變成成設(shè)設(shè)矩矩陣陣BABAABABBA.的的列列向向量量組組等等價價列列向向量量組組與與的的，則則經(jīng)經(jīng)初初等等列列變變換換變變成成類類似似，若若矩矩陣陣BABA . 價價的的方方程程組組一一定定同同解解這這兩兩個個方方程程組組等等價價，等等能能相相互互線線性性表表示示，就就稱稱與與方方程程組組的的解解；若若方方程程組組的的解解一一定定是是方方程程組組線

10、線性性表表示示，這這時時方方程程組組能能由由方方程程組組稱稱方方程程組組的的線線性性組組合合，就就的的每每個個方方程程都都是是方方程程組組程程組組的的一一個個線線性性組組合合；若若方方一一個個方方程程就就稱稱為為方方程程組組所所得得到到的的的的各各個個方方程程做做線線性性運運算算對對方方程程組組BABAABABAA定理定理2 2向量組向量組B：b1,b2,bl能由向量組能由向量組A：a1, a2, ,am線性表示的充分必要條件是矩陣線性表示的充分必要條件是矩陣A= (a1,a2, ,am)的秩等于矩陣的秩等于矩陣(A,B)=(a1,a2, ,am, b1,b2,bl)的秩，即的秩，即R(A)=

11、R(A,B).推論推論向量組向量組A：a1, a2, ,am與向量組與向量組B：b1,b2,bl等價的充分必要條件是等價的充分必要條件是 R(A)=R(B)=R(A,B),其中其中A和和B是向量組是向量組A和和B所構(gòu)成的矩陣所構(gòu)成的矩陣.例例1 設(shè)設(shè) 12311111210 ,21432301aaab 1ba aa23證明向量 能由,線性表示，并求出表示式.證明：按定理證明：按定理1，證矩陣，證矩陣A=(a1,a2,a3)與與B=(A,b)的的秩相等秩相等.1111121021432301B21314122rrrrrr1111012101210121r10320121,( )( )000000

12、00R AR B可見1a aax b23 由上述行最簡形，可得方程（ , ） =的通解為3232212110cxccc 11(21)ba aaxacaca2323從而得表達(dá)式=（ , ） =(-3c+2)1111 :)()lmmB b bbAaaaR b bbR aaa222s2向量組, , 能由向量組, ,線性表示,則 （, , ,定理定理3 311 :,lmB b bbA a aaKB = AKAXB22向量組, , 能由向量組,線性表示有矩陣 ，使 方程有解 向量組及其線性表示向量組及其線性表示四、小結(jié)作業(yè)：作業(yè)：nP1091；2n一、線性相關(guān)性的概念一、線性相關(guān)性的概念n二、線性相關(guān)性

13、的判定二、線性相關(guān)性的判定第二節(jié)第二節(jié) 向量組的向量組的0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組定義定義4 4則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)A00 2. ,.向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量時時 若若則則說說線線性性相相關(guān)關(guān) 若若則則說說線線性性無無關(guān)關(guān)3.包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的4 .,.對對于于含含有有兩兩個個向向量量的的向向量量組組 它它線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是兩兩向向量量的的分分量量對對應(yīng)應(yīng)成

14、成比比例例，幾幾何何意意義義是是兩兩向向量量共共線線；三三個個向向量量相相關(guān)關(guān)的的幾幾何何意意義義是是三三向向量量共共面面注意注意 1. 1. 對于任一向量組，不是線性無關(guān)就是線性對于任一向量組，不是線性無關(guān)就是線性相關(guān)相關(guān). . 向量組向量組 （當(dāng)（當(dāng) 時）線性相關(guān)時）線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211 m證明證明 充分性充分性 設(shè)設(shè) 中有一個向量（比如中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 故故 0111

15、2211 mmma 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關(guān)線性相關(guān).m ,21必要性必要性設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,21不妨設(shè)不妨設(shè) 則有則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.1 證畢證畢. 性獨立）性獨立）線線個方程）線性無關(guān)（或個方程）線性無關(guān)（或程，就稱該方程組（各程，就稱該方程組（各方方；當(dāng)方程組中沒有多余；當(dāng)方程組中沒有多余個方程）是線性相關(guān)的個方程）是

16、線性相關(guān)的各各余的，這時稱方程組（余的，這時稱方程組（合時，這個方程就是多合時，這個方程就是多是其余方程的線性組是其余方程的線性組若方程組中有某個方程若方程組中有某個方程線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程組方程組線性相關(guān)就是齊次線性線性相關(guān)就是齊次線性向量組向量組結(jié)論結(jié)論.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要條條件件是是向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分于于向向量量個個數(shù)數(shù)的的秩秩小小矩矩陣陣條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要

17、要向向量量組組 定理定理4 4下面舉例說明定理的應(yīng)用下面舉例說明定理的應(yīng)用.維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線線性性相相關(guān)關(guān)性性維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組稱稱為為n解解.),( 21階單位矩陣階單位矩陣是是的矩陣的矩陣維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成neeeEnn .)(01 nERE ，知，知由由.2)(向向量量組組是是線線性性無無關(guān)關(guān)的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量組組中中向向量量個個數(shù)數(shù)即即ER例例， 742520111321 .21321的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性，及及，試討論

18、向量組試討論向量組 解解.2, 21321321即可得出結(jié)論即可得出結(jié)論）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（），可同時看出矩陣（可同時看出矩陣（成行階梯形矩陣成行階梯形矩陣），施行初等行變換變），施行初等行變換變，對矩陣（對矩陣（ 已知已知例例分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321線性無關(guān)線性無關(guān)向量組向量組線性相關(guān)；線性相關(guān)；，向量組，向量組可見可見 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201. , , 321133322211321線線性性無無關(guān)關(guān)試試證證線線性性無無關(guān)關(guān)已

19、已知知向向量量組組bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使設(shè)有設(shè)有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即線性無關(guān)，故有線性無關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證證02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx . ,. ,: , (1) 1121也線性無關(guān)也線性無關(guān)向量組向量組則則線性無關(guān)線性無關(guān)量組量組若向若向反言之反言之也線

20、性相關(guān)也線性相關(guān)向量組向量組則則線性相關(guān)線性相關(guān)：向量組向量組若若ABBAmmm 定理定理5 5 2 mnnm.（ ） 個個 維維向向量量組組成成的的向向量量組組，當(dāng)當(dāng)維維數(shù)數(shù)小小于于向向量量個個數(shù)數(shù) 時時一一定定線線性性相相關(guān)關(guān)121 (3) mmA:,B :,b,bA,.設(shè)設(shè)向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 而而向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則向向量量必必能能由由向向量量組組線線性性表表示示 且且表表示示式式是是唯唯一一的的.:1 關(guān)關(guān)的任何部分組都線性無的任何部分組都線性無向量組線性無關(guān)，則它向量組線性無關(guān)，則它反之，若一個反之，若一個線性相關(guān)線性相關(guān)含有零向量的向量組必含有零向量的向量組

21、必特別地，特別地，量組線性相關(guān)量組線性相關(guān)相關(guān)的部分組，則該向相關(guān)的部分組，則該向一個向量組若有線性一個向量組若有線性）可推廣為）可推廣為結(jié)論（結(jié)論（說明說明1212122 mn mmmmn,A,R An.nm,R Am,m,.（ ） 個個 維維向向量量構(gòu)構(gòu)成成矩矩陣陣（），有有（ ）若若則則（ ）故故 個個向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)121211 3mmA,B,b ,R AR B .AR Am;BR Bm.mR BmR Bm.（ ）記記（）（）有有（ ） （ ） 因因 組組線線性性無無關(guān)關(guān)，有有（ ）因因 組組線線性性相相關(guān)關(guān)，有有（ ）所所以以（ ），即即有有（ ）.),( ,)()( 21一

22、一線性表示，且表示式唯線性表示，且表示式唯組組能由向量能由向量有唯一解，即向量有唯一解，即向量知方程組知方程組由由AbbxmBRARm 問題：n已知向量組已知向量組a1,a2,as與與 b1,b2,bt，且，且中每個向量不能由線性表示，中每個向量不能由線性表示， 中每中每個向量也不能由線性表示。個向量也不能由線性表示。 問問a1,a2,as, b1,b2,bt是否線性無關(guān)？是否線性無關(guān)？1. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；在線性方程組中的應(yīng)用；（重點重點）2. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義

23、，兩個定理兩個定理（難點難點）四、小結(jié)作業(yè)：作業(yè)：nP1103；4. , )3(0 )2( 0 )1(:兩兩式式不不一一定定同同時時成成立立或或者者線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是，兩兩個個向向量量；線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是一一個個向向量量；線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是一一個個向向量量試試證證明明 kk 思考題證明證明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性., 0, 0, 即可即可令令則則不妨設(shè)不妨設(shè)得得使使存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù)線性相關(guān)線性相關(guān)xykxyxyxyx 必要性必要性., 0)(1, 線性相關(guān)線性相關(guān)知知由定義由定義則有則有不妨設(shè)

24、不妨設(shè) kk思考題解答n一、最大線性無關(guān)向量組一、最大線性無關(guān)向量組n二、最大無關(guān)組的等價定義二、最大無關(guān)組的等價定義n三、矩陣與向量組秩的關(guān)系三、矩陣與向量組秩的關(guān)系第三節(jié)第三節(jié) 向量組的秩向量組的秩，滿足，滿足個向量個向量中能選出中能選出，如果在，如果在設(shè)有向量組設(shè)有向量組rrAA , 21定義定義5 5線線性性無無關(guān)關(guān)；）向向量量組組（rA ,:1 210關(guān)，關(guān)，個向量的話）都線性相個向量的話）都線性相中有中有個向量（如果個向量（如果中任意中任意）向量組）向量組（112 rArA. 的的秩秩稱稱為為向向量量組組數(shù)數(shù)最最大大無無關(guān)關(guān)組組所所含含向向量量個個r; 0）（簡稱（簡稱的一個的一個

25、向量組向量組是是那末稱向量組那末稱向量組AA最大線性無關(guān)向量組最大線性無關(guān)向量組最大最大無關(guān)組無關(guān)組0. 它它的的秩秩為為有有最最大大無無關(guān)關(guān)組組，規(guī)規(guī)定定只只含含零零向向量量的的向向量量組組沒沒一、最大線性無關(guān)向量組二、最大無關(guān)組的等價定義, rrB個個向向量量，則則它它的的秩秩為為含含設(shè)設(shè)向向量量組組 證證 BABABBA.推推論論設(shè)設(shè)向向量量組組 是是向向量量組組 的的部部分分組組，若若向向量量組組 線線性性無無關(guān)關(guān)，且且向向量量組組 能能由由向向量量組組 線線性性表表示示，則則向向量量組組 是是向向量量組組 的的一一個個最最大大無無關(guān)關(guān)組組5B.所所以以向向量量組組 滿滿足足定定義義

26、所所規(guī)規(guī)定定的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的條條件件，組組的的秩秩組組線線性性表表示示，故故組組能能由由因因rABA 個個向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)，組組中中任任意意從從而而1 rA. 它的行向量組的秩它的行向量組的秩量組的秩，也等于量組的秩，也等于矩陣的秩等于它的列向矩陣的秩等于它的列向證證. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA階子式階子式并設(shè)并設(shè)，設(shè)設(shè)定理定理6 64 240 r.Dr根根據(jù)據(jù)定定理理 由由知知所所在在的的 列列線線性性無無關(guān)關(guān)；.11 個列向量都線性相關(guān)個列向量都線性相關(guān)中任意中任意階子式均為零，知階子式均為零，知中所有中所有又由又由 rArA關(guān)組，關(guān)組，的列向量的一

27、個最大無的列向量的一個最大無列是列是所在的所在的因此因此ArDr . r等于等于所以列向量組的秩所以列向量組的秩).(ARA的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于類似可證類似可證三、矩陣與向量組秩的關(guān)系的秩也記作的秩也記作向量組向量組maaa,21. 最大無關(guān)組最大無關(guān)組行即是行向量組的一個行即是行向量組的一個所在的所在的最大無關(guān)組，最大無關(guān)組，列即是列向量組的一個列即是列向量組的一個所在的所在的，則，則的一個最高階非零子式的一個最高階非零子式是矩陣是矩陣若若rDrDADrrr1（）最最大大無無關(guān)關(guān)組組不不唯唯一一；),(21maaaR結(jié)論結(jié)論說明說明2.（）向向量量組組與與它它的的最最大大

28、無無關(guān)關(guān)組組是是等等價價的的21112112144622436979 A設(shè)設(shè)矩矩陣陣?yán)? 1 .用用最最大大無無關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示屬屬最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量無無關(guān)關(guān)組組，并并把把不不的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大求求矩矩陣陣A行階梯形矩陣行階梯形矩陣施行初等行變換變?yōu)槭┬谐醯刃凶儞Q變?yōu)閷?A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初等行變換初等行變換 .3 個向量個向量組含組含故列向量組的最大無關(guān)故列向量組的最大無關(guān)三列，三列，、元在元在而三個非零行的非零首而三個非零行的非零首421.,421無關(guān)組無關(guān)組為列向量組的一個最大為列向

29、量組的一個最大故故aaa線性無關(guān)線性無關(guān)，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ., 42153成行最簡形矩陣成行最簡形矩陣再變再變線性表示，必須將線性表示，必須將用用要把要把Aaaaaa ),421aaa（事實上事實上 763264111112 000100110111初等行變換初等行變換 00000310003011040101 初等行變換初等行變換A 4215213334,aaaaaaa 即得即得定理定理2 向量組向量組b1,b2,bl能由向量組能由向量組a1, a2, ,am線線性表示的充分必要條件是性表示的充分必要條件是 R(a1, a2, ,am)=R(a1, a2, ,

30、am, b1,b2,bl) 依據(jù)向量組的秩的定義及定理依據(jù)向量組的秩的定義及定理6可知前面介紹可知前面介紹的定理的定理1、2、3、4中出現(xiàn)的矩陣的秩都可以改為中出現(xiàn)的矩陣的秩都可以改為向量組的秩，例如定理向量組的秩，例如定理2可敘述為可敘述為 這里記號這里記號R(a1, a2, ,am)既可理解為矩陣的秩，既可理解為矩陣的秩，也可以理解成向量組的秩也可以理解成向量組的秩. 的秩的秩的秩不大于向量組的秩不大于向量組量組量組線性表示，則向線性表示，則向能由向量組能由向量組設(shè)向量組設(shè)向量組ABAB., : ,: 1010sraaAAbbBBsr 要證要證的一個最大無關(guān)組為的一個最大無關(guān)組為向量組向量

31、組，的一個最大無關(guān)組為的一個最大無關(guān)組為設(shè)向量組設(shè)向量組 證證定理定理3. 00組線性表示組線性表示組能由組能由表示，表示，組線性組線性組能由組能由組線性表示，組線性表示，組能由組能由因因AAABBB.00組線性表示組線性表示組能由組能由故故AB由定理由定理3即得即得R(B)R(A)121223540264(,),( ,),11533195a ab b 已知例例2 2.),(),(2121等價等價與與證明向量組證明向量組bbaa.),(),( ,),(),( ,2 21212121YbbaaXaabbYX 使使階方陣階方陣要證存在要證存在證明證明.X先求先求 5913351146204532)

32、,(2121bbaa最簡形矩陣：最簡形矩陣：施行初等行變換變?yōu)樾惺┬谐醯刃凶儞Q變?yōu)樾嘘囮噷υ鰪V矩對增廣矩的方法的方法類似于線性方程組求解類似于線性方程組求解),(, 2121bbaa 5913453246203511 5913351146204532),(2121bbaa31rr 591345324620351131rr 462010155046203511132rr 143rr )2(2 r 46201015502310351113312rrrr 143rr 462010155046203511 0000000023103511)2(2 r 462010155023103511235rr 2

33、42rr 0000000023103511235rr 242rr .0000000023101201 21rr 11 r X.,., 01 21211等價等價與與此向量組此向量組因因即為所求即為所求取取可逆可逆知知因因bbaaXYXX 0000000023101201),(2121初等行變換初等行變換bbaa 即得即得 2312最大線性無關(guān)向量組的概念：最大線性無關(guān)向量組的概念：最大性最大性、線性無關(guān)性線性無關(guān)性 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩矩陣行向量組的秩 關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：關(guān)于向量組秩的一些結(jié)

34、論：定理定理及及推論推論 求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個矩將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個矩陣，然后進(jìn)行初等行變換陣，然后進(jìn)行初等行變換四、小結(jié)作業(yè)：作業(yè)：nP11113(2)；14(2)；15n一、齊次線性方程組解的性質(zhì)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)n二、基礎(chǔ)解系及其求法二、基礎(chǔ)解系及其求法n三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)解向量的概念解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnx

35、axaxaxaxaxaxaxaxa若記若記（1）一、齊次線性方程組解的性質(zhì),aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21則上述方程組（則上述方程組（1）可寫成向量方程）可寫成向量方程.Ax0 1212111nnx,x,x 若若為方程為方程 的的0 Ax解，則解，則（2） 121111nx 稱為方程組稱為方程組(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì)（1 1）若）若 為為 的解，則的解，則 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .（2 2）若）若 為為 的解，的解， 為

36、實數(shù)，則為實數(shù)，則 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax如果如果解系解系的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)稱為齊次線性方程組稱為齊次線性方程組,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一組組線線性性無無關(guān)關(guān)是是 Axt .,0)2( 21出出線線性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基礎(chǔ)解系的定義基礎(chǔ)解系的定義二、基礎(chǔ)解系及其求法的的通通解解可可表表示示為為那那么么的的一一組組基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為齊齊次次線線性性方方程程組組如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 221112,tkkk其中其中為任意常數(shù)為任意常數(shù).線性方程組基礎(chǔ)解系的求法線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 0000

37、1001,1, 111rnrrrnbbbbA設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨，并不妨設(shè)設(shè) 的前的前 個列向量線性無關(guān)個列向量線性無關(guān)r于是于是 可化為可化為AAA00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax現(xiàn)對現(xiàn)對 取下列取下列 組數(shù)：組數(shù)：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分別代入分別代入., 100, 010, 001依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .b

38、brn,rrn,rn 1001 從而求得原方程組的從而求得原方程組的 個解：個解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,定理定理7 7 設(shè)設(shè)mn矩陣矩陣A的秩的秩R(A)=r，則，則n元齊次元齊次線性方程組線性方程組Ax=0的解集的解集S的秩為的秩為n-r. 當(dāng)當(dāng)R(A)=n時，方程組時，方程組(1)只有零解，沒有基只有零解，沒有基礎(chǔ)解系（此時解集礎(chǔ)解系（此時解集S只含有一個零向量）只含有一個零向量）. 當(dāng)當(dāng)R(A)=rn時，方程組時，方程組(1)的基礎(chǔ)解系含有的基礎(chǔ)解系含有n-r個向量個向量.例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377, 02352,

39、0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解.解解,0000747510737201137723521111 A對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚刈鞒醯刃凶儞Q，變?yōu)樾凶詈喚仃?，有陣，有A .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及對應(yīng)有對應(yīng)有xx,107473,01757221 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解線性方程組解線性方程組 0765302305532034543

40、21543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A對系數(shù)矩陣施對系數(shù)矩陣施行初等行變換行初等行變換 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程組有無窮多解，即方程組有無窮多解， 其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為, 001121 故原方程組的通解為故原方程組的通

41、解為.kkkx332211 .k,k,k為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中321,xx 1221依次得依次得. 12, 31, 010312 . 100123 例例3 3).()(ARAART 證明證明證證.,維列向量維列向量為為矩陣矩陣為為設(shè)設(shè)nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即則有則有滿足滿足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT從而推知從而推知即即則則滿足滿足若若 ,0)(0同解同解與與綜上可知方程組綜上可知方程組 xAAAxT).()(ARAART 因此因此.0,1)( 2121的解的解為對應(yīng)的齊次方程為對應(yīng)的齊次方

42、程則則的解的解都是都是及及設(shè)設(shè) AxxbAxxx 證明證明 . 021 bbA . 021 Axx滿滿足足方方程程即即 bAbA 21, 非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明證明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 證畢證畢.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程則則的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程設(shè)設(shè)bAxxAxxbAxx .11 rnrnkkx其中其中 為對應(yīng)齊次線性方程為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特為非齊次線性方程組的任意一個特解解.rnrnkk 11 非齊次線性方程組的通解

43、非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為與方程組與方程組 有解等價的命題有解等價的命題bAx ;, 21線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量nb ;,2121等等價價與與向向量量組組向向量量組組bnn .,2121的秩相等的秩相等與矩陣與矩陣矩陣矩陣bBAnn 線性方程組線性方程組 有解有解bAx 線性方程組的解法線性方程組的解法（1 1）應(yīng)用克萊姆法則）應(yīng)用克萊姆法則（2 2）利用初等變換）利用初等變換特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可計算量大，容易出錯，但有

44、重要的理論價值，可用來證明很多命題用來證明很多命題特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效表）中進(jìn)行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法的計算方法例例4 4 求解方程組求解方程組 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行變換施行初等行變換對增廣矩陣對增廣矩陣B 2132111311101111B,00000212100211011 并有并有故方程組有解故方程組有解可見可見, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx則則即得方程組的一個解即得方程組的一個解.021021 取取中中組組在對應(yīng)的齊次線性方程在對應(yīng)的齊次線性方程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及則則xx程組的基礎(chǔ)解系程組的基礎(chǔ)解系即得對應(yīng)的齊次線性方即得對應(yīng)的齊次線性方,1201,001121 于是所求通解為于是所求通解為).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx .123438,23622, 2323, 7543215432543215432