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1、河南省安陽(yáng)市二中2013屆高二年級(jí)數(shù)學(xué)拋物線單元檢測(cè)題一、選擇題(每題5分共50分)1拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )A BCD 2已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,其上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則拋物線方程為( ) A BC D3拋物線截直線所得弦長(zhǎng)等于 ( )A BCD154頂點(diǎn)在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線過(guò)點(diǎn)(2,3),則它的方程是 ( )A或 B或 C D5點(diǎn)到曲線(其中參數(shù))上的點(diǎn)的最短距離為( )A0 B1 CD2 6拋物線上有三點(diǎn),是它的焦點(diǎn),若 成等差數(shù)列,則 ( )A成等差數(shù)列 B成等差數(shù)列 C成等差數(shù)列 D成等差數(shù)列7若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)
2、點(diǎn),則 取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是 ( )A(0,0) B(1,1) C(2,2) D8已知拋物線的焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)為,則關(guān)系式 的值一定等于 ( )A4p B4p Cp2 Dp 9過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn),若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是,則 ( )A B C D10若AB為拋物線y2=2px (p>0)的動(dòng)弦,且|AB|=a (a>2p),則AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最近距離是 ( ) Aa Bp Cap Dap二、填空題(每題5分共20分)11拋物線上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為 _12已知圓,與拋物線的準(zhǔn)線相切,則 _13如果過(guò)兩點(diǎn)和的直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn),那么實(shí)數(shù)
3、a的取值范圍是 14對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線,給出下列條件;(1)焦點(diǎn)在y軸上; (2)焦點(diǎn)在x軸上;(3)拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6;(4)拋物線的通徑的長(zhǎng)為5;(5)由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線,垂足坐標(biāo)為(2,1)其中適合拋物線y2=10x的條件是(要求填寫(xiě)合適條件的序號(hào)) _三、解答題(共80分)15(12分)已知點(diǎn)A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在拋物線上,ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合(如圖)(1)寫(xiě)出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo);(2)求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)求BC所在直線的方程. 16(11分)已知拋物線y=ax21上恒有關(guān)于直線x+y=
4、0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn),求a的取值范圍.17(12分)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線L交拋物線A、B兩點(diǎn),再以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB,試求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程. 18(15分)已知拋物線C:,過(guò)C上一點(diǎn)M,且與M處的切線垂直的直線稱(chēng)為C在點(diǎn)M的法線(1)若C在點(diǎn)M的法線的斜率為,求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0,y0);(2)設(shè)P(2,a)為C對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),在C上是否存在點(diǎn),使得C在該點(diǎn)的法線通過(guò)點(diǎn)P?若有,求出這些點(diǎn),以及C在這些點(diǎn)的法線方程;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由. 19(15分)已知拋物線y2=4ax(0a1的焦點(diǎn)為F,以A(a+4,0)為圓心,AF為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于
5、不同的兩點(diǎn)M和N,設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)(1)求MF+NF的值;(2)是否存在這樣的a值,使MF、PF、NF成等差數(shù)列?如存在,求出a的值,若不存在,說(shuō)明理由. 20(15分)如圖, 直線y=x與拋物線y=x24交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線y=5交于Q點(diǎn). (1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo);(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求OPQ面積的最大值. 參考答案一、選擇題題號(hào)12345678910答案CDABBACBCD二、填空題11 12 2 13 14 (2),(5)三、解答題15解析:(1)由點(diǎn)A(2,8)在拋物線上,有,解得p=16. 所以拋物線方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)
6、為(8,0).(2)如圖,由于F(8,0)是ABC的重心,M是BC的中點(diǎn),所以F是線段AM的定比分點(diǎn),且,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則,解得,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(11,4)(3)由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上,所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為:由消x得,所以,由(2)的結(jié)論得,解得因此BC所在直線的方程為:16解析:設(shè)在拋物線y=ax21上關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)為P(x,y),Q(y,x),則 ,由得x+y=a(x+y)(xy),P、Q為相異兩點(diǎn),x+y0,又a0,代入得a2x2axa+1=0,其判別式=a24a2(1a)0,解得17解析:設(shè)R(x,y),F(0,1), 平
7、行四邊形FARB的中心為,L:y=kx1,代入拋物線方程得x24kx+4=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=4,且=16k2160,即|k|1 ,C為AB的中點(diǎn). ,消去k得x2=4(y+3),由 得,故動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為x2=4(y+3)( )18 解析:(1)由題意設(shè)過(guò)點(diǎn)M的切線方程為:,代入C得,則,即M(1,)(2)當(dāng)a0時(shí),假設(shè)在C上存在點(diǎn)滿足條件設(shè)過(guò)Q的切線方程為:,代入,則,且若時(shí),由于, 或 ;若k=0時(shí),顯然也滿足要求有三個(gè)點(diǎn)(2,),(2,)及(2,),且過(guò)這三點(diǎn)的法線過(guò)點(diǎn)P(2,a),其方程分別為:x2y22a0,x2y22a0,x2.當(dāng)a0時(shí),在C上有一個(gè)點(diǎn)(2,),在這點(diǎn)的法線過(guò)點(diǎn)P(2,a),其方程為:x2.19解析:(1)F(a,0),設(shè),由 , (2)假設(shè)存在a值,使的成等差數(shù)列,即 ,P是圓A上兩點(diǎn)M、N 所在弦的中點(diǎn),由得,這是不可能的假設(shè)不成立即不存在a值,使的成等差數(shù)列20解析:【解】(1) 解方程組 得 或 即A(4,2),B(8,4), 從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).由kAB=,直線AB的垂直平分線方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)
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