高中數(shù)學好題速遞400題（301—350）

1、好題速遞301已知正數(shù)滿足，則的最大值為 解：解法一：令，得則當且僅當，即時取得等號。解法二：令，則令，則原式當且僅當，即時取得等號好題速遞302xOy11f1(x)f1(x)圖1：n=1時設(shè)函數(shù)，則方程有 個實數(shù)根解：令，問題化為觀察與圖像的交點有幾個由于是偶函數(shù)，故是偶函數(shù)，只要考慮 時的交點個數(shù)n=1時，的圖像是把的圖像下移，xOy11f1(x)f2(x)圖2：n=2時再把x軸下的圖像往上翻而得，有1個零點，以零點為界，呈“減增”狀態(tài)，最后趨于，如圖1，有2個交點；n=2時，的圖像是把的圖像下移，再把x軸下的圖像往上翻而得，有2個零點，以2個零點為界，呈“減增減增”狀態(tài)，最后趨于，如圖2

2、，有個交點；n= n2時，且有個零點以個零點為界，呈“減增減增減增”狀態(tài)，最后趨于，故的每1個零點都對應(yīng)產(chǎn)生2個兩函數(shù)圖像的交點，有個交點，再由對稱性知x<0時，也有個交點，故共有個交點，從而原方程有個實根好題速遞303已知數(shù)列滿足設(shè)為均不等于2的且互不相等的常數(shù)，若數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為 解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，且公比為，故為方程的兩不等實根，從而好題速遞304已知若關(guān)于的方程在上有兩個實數(shù)解，則的取值范圍是 .解：可以轉(zhuǎn)化為，記，則在上有兩個實數(shù)解，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖像和特殊點可知好題速遞305已知向量，滿足，且與的夾角的正切為，與的夾角的正切為，則的值為 解：易

3、得評注：這個題要注意向量的夾角是共起點的，所以要特別留意取本身還是補角。好題速遞30OABCMNPDE6 如圖，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B為圓心、BA為半徑在矩形內(nèi)部作弧，點P是弧上一動點，PMOA，垂足為M，PNOC，垂足為N，則四邊形OMPN的周長的最小值為 解：如圖，連BP，則BP=1，設(shè)CBP=a，OABCMNPaDE，四邊形OMPN的周長當時，好題速遞307設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，那么過兩點、的直線與圓的位置關(guān)系是（ ）(A)相離 (B)相切 (C)相交 (D)隨m的變化而變化解：，直線AB：，即 ，即，圓心到AB的距離，由韋達定理，,， 取m=0，則d=

4、0Þ相交；取m=2，則Þ相離，故選D好題速遞308已知函數(shù)的圖像關(guān)于垂直于軸的直線對稱，則的取值集合是 x1a-1解：若，則，其圖像呈“劍”形，如圖，對稱軸為x=a，則同理，若時，對稱軸是，若時，對稱軸是，好題速遞309在中，若，則面積的最大值為 解：在中延長到，使，所以，則已知變?yōu)?。解法一：由極化恒等式知，故，所以，當且僅當時取得最大值。解法二：以邊所在直線為軸，邊的中點為坐標原點建立坐標系，由，則，所以，設(shè)。由，所以，則，所以，所以。解法三：， 因為，故所以好題速遞310定義：x，y為實數(shù)x，y中較小的數(shù)已知，其中a，b 均為正實數(shù)，則h的最大值是 解：因為a，b 均為

5、正實數(shù)，當，即時，即所以當時，綜上，h的最大值是好題速遞311已知共有項的數(shù)列，定義向量、，若，則滿足條件的數(shù)列的個數(shù)有（ ）個A. 2 B. C. D. 解： ÞÞ，,Þ為等比數(shù)列，Þ時，故當時，即始終有兩種選擇，有個好題速遞312若方程表示焦點在軸上且離心率小于的橢圓，則的最小值為 解：方程表示焦點在軸且離心率小于的橢圓時，有 ，即，化簡得，又，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如右圖陰影部分所示，令，平移直線，當過時，好題速遞313已知四數(shù)a1，a2，a3，a4依次成等比數(shù)列，且公比q不為1將此數(shù)列刪去一個數(shù)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等差數(shù)列， 則正

6、數(shù)q的取值集合是 解：因為公比q不為1，所以不能刪去a1，a4設(shè)的公差為d，則 若刪去a2，則由2a3a1a4得2a1qa1a1q，即，整理得q(q1)(q1)(q1)又q1，則可得，又q0解得； 若刪去a3，則由2a2a1a4得2a1qa1a1q，即2q1q，整理得q(q1)(q1)q1又q1，則可得q(q1)1，又q0解得 綜上所述，好題速遞314DABC如圖，梯形ABCD中，AB/CD，AB6，ADDC2，若，則 解：轉(zhuǎn)基底，以為基底，則，則所以，則BAD60o，則點評：本題主要考查平面向量的數(shù)量積，體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化思想另本題還可通過建立平面直角坐標系將向量“坐標化”來解決向量問題突出基底法

7、和坐標法，但要關(guān)注基底的選擇與坐標系位置選擇的合理性，兩種方法之間的選擇好題速遞315數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足，設(shè)為的前n項和若，則當取得最大值時n的值等于_解：設(shè)的公差為d，由得 ，所以，從而可知1n16時， n17時，從而b1b2b140b17b18，b 15a15a16a170，b16a16a17a180，故S14S13S1，S14S15，S15S16因為，所以，所以b15b16a16a17(a15a18)0，所以S16S14，故Sn中S16最大點評：利用等差數(shù)列及等差數(shù)列的基本性質(zhì)是解題基本策略此題借助了求等差數(shù)列前項和最值的方法，所以在關(guān)注方法時，也要關(guān)注形成方法的過程和數(shù)學思想好題

8、速遞316在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線條數(shù)為_條解：在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與直線A1D1，EF，CD均相交，故滿足題意的直線有無數(shù)條好題速遞317已知，成等差數(shù)列，則；中，正確的是 （填入序號）解：2(ac)2=(bc)2+(ab)2=|bc|2+|ab|22|bc|×|ab|=2|ac|b2Þ|ac|b2，、錯，而，對好題速遞318已知函數(shù)在定義

9、域上是單調(diào)函數(shù),若對任意，都有,則不等式的解集為 . 解：因函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，故，即，從而有，又，所以從而，由.好題速遞319已知的內(nèi)角的對邊成等比數(shù)列，則的取值范圍為 。解：由且，得，得，得又，即，得，又， 即。點評：本題是三角形里隱含的三邊關(guān)系的應(yīng)用，有時會成為高考大題第2小問中隱含的定義域要求，這個是值得注意的點。好題速遞320已知函數(shù)，則 解：由對稱性可知同理故點評：本題顯然是倒序求和、首位求和的變式題，不過在處理過程中的拆角技巧還是比較難的。各省份的高考題中常有這類求具體角的三角函數(shù)值的問題，這類問題要多觀察所給角與要求角之間的關(guān)系，特別關(guān)注這些特殊角。好題速遞321各項均為

10、正偶數(shù)的數(shù)列a1，a2，a3，a4中，前三項依次成公差為d（d > 0）的等差數(shù)列，后三項依次成公比為q的等比數(shù)列. 若，則q的所有可能的值構(gòu)成的集合為 . 解：設(shè)，其中，均為正偶數(shù)，則，整理得，(注意體會這里用“”而不用“”的好處)所以，即，所以的所有可能值為24，26，28，當時，；當時，（舍去）；當時，所以q的所有可能值構(gòu)成的集合為.好題速遞322曲線C：與軸的交點關(guān)于原點的對稱點稱為“望點”，以“望點”為圓心，凡是與曲線C有公共點的圓，皆稱之為“望圓”，則“望圓”面積的最小值為 解：，令，得，所以望點為，設(shè)望圓的方程為，由得當，即時，所以圓的面積為好題速遞32

11、3已知數(shù)列滿足，且，它的前項和為則 解：，解得兩式相減得，故，故數(shù)列為周期為3的數(shù)列好題速遞324定義在上的函數(shù)，當時，且對任意的滿足（常數(shù)），則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（ ） 解：ÞÞ，Þ，當時有最小值為好題速遞325已知，向量滿足，則的最大值為 。解法一：設(shè)，則由已知條件易知和共以為直徑的外接圓。由是同一個點出發(fā)的兩個向量作點積，且終點連線確定，顯然用極化恒等式是一個不錯的選擇。故問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，如圖所以解法二：如解法一畫圖，設(shè)，則在中由余弦定理得所以，所以解法三：如圖建系，則，得則而橫坐標，所以好題速遞326在ABC中，已知BC = 4，AC = 3，(

12、A - B) = ，則ABC的面積為 解：在角A中作出A - B，即在BC上取一點D，使DB = DA，設(shè)DB = x，則DC = 4 - x在ACD中，ÐCAD = (A - B) = ，得x = 2則DA = DC = DB，ÐBAC = 90°，ABC的面積為好題速遞327若的外接圓是半徑為1的圓，且，則的取值范圍是 。解法一：是同一個點出發(fā)的兩個向量作點積，且終點連線確定，顯然用極化恒等式是一個不錯的選擇。（其中為中點）點在圓上運動，故，即故又不與重合，所以，所以解法二：如圖建系設(shè)點。，因為，所以解法三：基底角度，一問三不知轉(zhuǎn)基底由于不與重合，所以好題速遞

13、328如圖，點是以為圓心，1為半徑的圓上任意三點，則的最小值是 。解法一：固定點，極化角度設(shè)，則解法二：固定點，投影角度設(shè)，則所以故好題速遞329已知函數(shù)，若，則的取值范圍是 。解：關(guān)于對稱，由得，即因為，所以，解得（這里是求定義域，函數(shù)沒有定義域就沒有意義，千萬記得定義域優(yōu)先）好題速遞330已知，若且，則的取值范圍是_。解：，即解法一：不等式角度解題由基本不等式得，解得這個解法對不對呢？看似正確，其實這里的最大值6取不到，因為解法中并沒有用到的限制條件這里介紹一種方法，可以來處理有限制條件的問題（類似于極化恒等式的變形）因為即，得因為，故，故即解得【點評】這里要注意以前我們所學的“兩個字母一

14、個方程”的問題或者“基本不等式”的問題，在沒有其余限制條件時不等式和法都適用，但多了限制條件就不確定是在區(qū)域邊界還是內(nèi)部取得最值，故需要驗證或者另尋他法了。解法二：規(guī)劃角度解題，即表示圓所以點所滿足的條件為畫出可行域即個圓弧，目標函數(shù)為故當時，；當時，但最大最小值都無限接近，取不到，所以解法三：圖像角度解題很多同學是畫出圖像，觀察發(fā)現(xiàn)因為部分的圖像比部分的圖像變化快，故當?shù)闹本€向上平移時，雖然向左變小，向右變大，但顯然變得多，故變大，即的中點向右上方運動因此當，即時，當，即時，但最大最小值都無限接近，取不到，所以好題速遞331設(shè)，是夾角為的兩個單位向量，若，是以為直角頂點的直角三角形，則 。解

15、法一：，因為，即OMNPQ解法二：反向延長到，使因為，故由中線等于斜邊的一半可得是直角三角形，即，因為，所以三點共線，故好題速遞332已知，則的最大值是_。解法一：令，則，目標函數(shù)為畫出點所在的可行域如圖為拋物線一部分上的點，如圖，目標函數(shù)與相切時當且僅當，即時取得解法二：令，則，所以解法三：三角換元，則，令，故解法四：令， ，則則，點評：本方法用的是不等式中的“極化恒等式”思想，即，這在12月18日每日一題的第一種解法中也有體現(xiàn)。好題速遞333已知函數(shù)是定義在正實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意x0，都有，則= 解：必為常數(shù)函數(shù)，否則存在兩個不同數(shù)，其對應(yīng)值均為，與單調(diào)函數(shù)矛盾所以可設(shè)則將c代

16、入，得，即是單調(diào)增函數(shù)，當時，成立，則好題速遞334設(shè)直角的三個頂點都在單位圓上，點，則的最大值是 解：設(shè)是以為直角頂點的直角三角形，則所以所以（這里可以理解為三角形兩邊之和大于第三邊，也可以理解為圓外一點（）到圓上一點距離，同時連最小值也可以求出）當且僅當三點共線且點在第三象限時，好題速遞335函數(shù)，當時，且的最大值為2，則 解：因為的最大值為2，所以由由所以故題目變?yōu)閷愠闪ⅰ４藭r注意到，是一個零點由于對，故是個偶重零點，故也是的根，所以，點評：這又是一個二次函數(shù)的好題，解法中用到的零點奇穿偶回法很值得回味?！傲泓c是個守門員，負責正負分界線，奇次零點穿過去，偶次零點彈回來”好題速遞336已

17、知對任意恒成立，則 解：用兩邊夾逼的方法，令，解得故，即所以對任意恒成立，所以故點評：這又是夾逼形式的好題，解法中讓不等號兩邊同時取到，求出臨界點的方法要注意。好題速遞337已知非零向量與向量 的夾角為鈍角，當時，取最小值，則 Oa-2abb-2a解法一：由當時，取最小值，可知本題是“神圖”的應(yīng)用，如圖所示，設(shè)，則即故解法二：當且僅當時，所以且，得故好題速遞338已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，且橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是 解：故好題速遞339已知函數(shù)，若存在實數(shù)使得，且，則實數(shù)的取值范圍是 解：因為是增函數(shù)，且，故，所以原條件等價于在區(qū)間上有解，即在上有解

18、因為的值域為，所以實數(shù)的取值范圍是好題速遞340在中，若橢圓以為長軸，且過點，則橢圓的離心率是 解：如圖，作于，則，設(shè)，則，所以，所以設(shè)橢圓的方程為，將與代入可得，故好題速遞341實數(shù)滿足，則的最大值為 解：因為，所以相加得即當且僅當同時滿足，即或時上式取等號。點評：本題是三元均值不等式的問題，難點在于每個均值不等式的系數(shù)配湊。這里其實是用待定系數(shù)法來確定系數(shù)。，故因此，解得好題速遞342已知數(shù)列的前項和為，若存在正整數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是 解：，因為，故，（即奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正）又因為，所以這個數(shù)列是震蕩數(shù)列，奇數(shù)項恒負且遞增，偶數(shù)項恒正且遞減所以條件轉(zhuǎn)化為存在正整數(shù)，使得只要，即好題速遞343已知為實數(shù)，且，則的最小值為 解法一：令，則，且所以解法二：齊次化轉(zhuǎn)函數(shù)求值域令，好題速遞344題已知是單位圓的內(nèi)接三角形，是圓的直徑，若滿足，則 解：如圖，因為是圓的直徑，所以同理（其實就是投影，點積轉(zhuǎn)投影記得嗎？）所以所以，則是直徑，所以好題速遞345題已知正四面體的棱長為，是棱上任意一點（不與重合），且點到面和面的距離分別為，則的最小值為 解：棱長為的正四面體，體高所以如圖作面，則在中，得同理所以所以所