幾何變換的綜合題目復習過程

1、關(guān)于幾何變換的幾道綜合題【與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的幾何證明題】1. ( 05北京)已知 ABC，分別以AB、BC、CA為邊向外作等邊三角形 ABD、等邊三 角形BCE、等邊三角形 ACF .(1) 如圖1,當 ABC是等邊三角形時，請你寫出滿足圖中條件，四個成立的結(jié)論；(2)如圖2,當 ABC中只有 ACB 60時，請你證明Sabc與S abd的和等于S bce與S ACF的和.毎正確地馮出一結(jié)論得1分，共4分.(訪解法一；過刈作AM 7/FGBCTM.連緒Mf、EM.因?qū)? 60°.所以zc/ir,所 AF /MC.所址 四邊AMCF *乎行四邊形，乂因為 FAFC,所以£7如HUF

2、為董形.曲分所以 iC = MAM. _3_ ZMAC = 60°, 在甘/IC與bEMC中CA 工CM, "CBCB 寫 CEr曆以%<?貝A£AfCSfy BA - EM與ARC 屮*AM = AC. />AM -ZLBAC. DA 二&&所以 = fJC.則 DMwES,DB = mL所以四邊形対平行四邊形. 7井M U紜WW十£咖 亠耳砂比B£f + $砒尸'即SgX十£片叩=+比NCT 謁分（2 ）解法二：過A作垂線，利用ACB 60將BC用AC、BC表示出來，進而將每部分的面積和都表示出

3、來，即可得證。此題目中包含了基本圖形變換，其本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)問題,但也體現(xiàn)了一些求面積的方法?！咀兓^程中不變的量及關(guān)系】2. （2008年廣東省中山市）（1）在線段AD的同側(cè)作等邊三角形 連結(jié)BC .求/ AEB的大??；F如圖OAB乙點0是線段AD的中點，分別以 AO和DO為邊 和等邊三角形 OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點 E,O旋轉(zhuǎn)圖7（2）如圖8, OAB固定不動，保持（ OAB和 OCD不能重疊），求/ AEB的大小.解：(1)如圖7./ BOC和厶ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點， OD=OC=OB=OA, / 仁/2=60 ° / 4= / 5.又/ 4+ / 5

4、= / 2=60 ° / 4=30 ° 同理，/ 6=30°./ / AEB= / 4+ / 6, / AEB=60° .(2)如圖8. BOC和厶ABO都是等邊三角形， OD=OC, OB=OA, / 1 = / 2=60° ,又 OD=OA, OD = OB, OA = OC, / 4= / 5,Z 6=Z 7./ / DOB= / 1+ / 3,/ AOC= / 2+Z 3, / DOB= / AOC.圖7/ / 4+ / 5+ / DOB=180 , / 6+Z 7+ / AOC=180 2/ 5=2/ 6, / 5= / 6.又 /

5、AEB= / 8-/ 5,/ 8= / 2+Z 6, / AEB = Z 2+Z 5-Z 5=Z 2, Z AEB = 60 °這是一道變換條件但結(jié)論不變的變式題，純幾何圖形的關(guān)于旋轉(zhuǎn)的簡單證明，注意圖形之中有不變的量。其解法十分相似，第（1）題是第（2）題的特殊情形，第（2）題是第（1）題結(jié)論的推廣，這體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想，利于培養(yǎng)學生思維的深刻性和靈活性。題目的圖形可變，數(shù)字可變，條件可變，結(jié)論亦可變，充滿著神奇，孕育著創(chuàng)造！例1（2008湖北）小華將一張矩形紙片（如圖 1）沿對角線CA剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2）,其中 ACB，然后將這兩張三角形紙片按如圖3所示的

6、位置擺放，EFD紙片的直角頂點 D落在 ACB紙片的斜邊 AC上，直角邊 DF落在AC所在的直線上（1）若ED與BC相交于點G，取AG的中點M，連接MB、MD，當 EFD紙片沿CA 方向平移時（如圖3），請你觀察、測量 MB、MD的長度，猜想并寫出 MB與MD的數(shù)量 關(guān)系，然后證明你的猜想；（2） 在（1）的條件下，求出BMD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?，并說明當45。時,BMD是什么三角形？（3） 在圖3的基礎(chǔ)上，將 EFD紙片繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度 （旋轉(zhuǎn)角度小于 90°, 此時 CGD變成 CHD，同樣取AH的中點M，連接MB、MD （如圖4）,請繼續(xù)探 究MB與MD的數(shù)量關(guān)系

7、和BMD的大小，直接寫出你的猜想，不需要證明，并說明 為何值時，BMD為等邊三角形AD圖2EF圖3圖4解：(1) MB = MD 1證明： AG的中點為M 在Rt ABG中， MB AG2在Rt ADG中,1MD AG2二 MB =MDBMGBAMABM2 BAM同理DMGDAMADM2 DAMBMD :=2 BAM2 DAM=2 BAC而BAC900BMD1800 245'0時，BMD 900，此時BMD為等腰直角三角形.當MB = MD，(3)當 CGD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，仍然存在BMD 18002故當600時，BMD為等邊三角形。包含平移與旋轉(zhuǎn)及圖形中的不變的相等關(guān)系?！?/p>

8、閱讀題類】4. 請閱讀下列材料：問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A, B, E在同一條直線上，P是線段DFPG的中點，連結(jié)PG, PC .若 ABC BEF 60°,探究PG與PC的位置關(guān)系及的PC值.小聰同學的思路是：延長 GP交DC于點H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決.F請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：PG(1) 寫出上面問題中線段 PG與PC的位置關(guān)系及 竺的值；PC(2) 將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形 BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變(如圖2).你在(1)中得到的兩個結(jié)

9、論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.解：(1)線段PG與PC的位置關(guān)系是 PG PC ;匹G.PC(2)猜想：(1)中的結(jié)論沒有發(fā)生變化.證明：如圖，延長 GP交AD于點H，連結(jié)CH, CG . Q P是線段DF的中點，F(xiàn)P DP .由題意可知AD / FG .GFP HDP .Q GPF HPD ,GFP HDP .GP HP , GF HD .Q 四邊形 ABCD 是菱形，CD CB, HDC ABC 60°.由 ABC BEF 60°，且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形 ABCD的邊AB在同一條直線上，可得 GBC 60°.HDC GBC.Q四邊形BE

10、FG是菱形，GF GB .HD GB . HDC GBC .CH CG , DCH BCG.DCH HCB BCG HCB 120°.即 HCG 120° .QCH CG , PH PG ,PG PC , GCP HCP 60°.PG -PC本題為閱讀理解題，閱讀材料，從中獲取解題方法與思路，并運用這種方法解決問題【變化中的探究】5. ( 2008鹽城)如圖甲，在 ABC中，/ ACB為銳角.點 D為射線BC上一動點，連接 AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF .解答下列問題：(1)如果 AB=AC，/ BAC=90° . 當點D在線段BC

11、上時(與點B不重合)，如圖乙，線段 CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為 . 當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？F圖甲圖乙第28題圖圖丙(2)如果 AB AC，/ BAO 90°，點D在線段 BC上運動.B G D圖丁試探究：當 ABC滿足一個什么條件時， CF丄BC （點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由.（畫圖不寫作法）解：（1 CF與BD位置關(guān)系是 垂直、數(shù)量關(guān)系是相 等;當點D在BC的延長線上時的結(jié)論仍成立.由正方形 ADEF 得 AD=AF ，/ DAF=90o./ BAC=90o ,/ DAF= / BAC ,/-Z DAB=

12、/ FAC ,又 AB=AC , DAB FAC , CF=BDZ ACF= Z ABD .vZ BAC=90o, AB=AC , /Z ABC=45o，/Z ACF=45o, Z BCF= Z ACB+ Z ACF= 90o .即 CF 丄 BD(2 )畫圖正確當 Z BCA=45o 時，CF 丄 BD (如圖丁).理由是：過點 A作AG丄AC交BC于點G,/. AC=AG 可證： GAD CAF /Z ACF= Z AGD=45oZ BCF= Z ACB+ Z ACF= 90o. 即 CF 丄 BD更開放，難度更大，在探究的過程中發(fā)現(xiàn)我們要尋找的結(jié)論?！咀鴺讼抵械淖儞Q一一與代數(shù)的結(jié)合】例2

13、 （2008蘇州）課堂上，老師將圖中 AOB繞0點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)圖形的形狀和大小不變，但位置發(fā)生了變化.當 AOB旋轉(zhuǎn)90o時，得到 AOB!.已知A（4,2）,B（3,0）. （1） AQB,的面積是 ; A點的坐標為（ , ）; B,點的坐標為（, ）;（2）課后，小玲和小惠對該問題繼續(xù)進行探究，將圖中 AOB繞A0的中點C（2,）逆時針旋轉(zhuǎn)90o得到 AO B ,設0B交0A于D , 0 A交x軸于E .此時A , 0和B的坐標分別為（1,3） , （3, 1）和（3,2），且0B經(jīng)過B點.在剛才的旋轉(zhuǎn)過程中，小玲和小惠發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的三角形與 AOB重疊部分的面積不斷變小，旋轉(zhuǎn)到

14、90o時重疊部分的面積（即四邊形CEBD的面積）最小，求四邊形 CEBD的面積.（3）在（2）的條件下， AOB外接圓的半徑等于 .圖圖證明：(1) 3. A1( 2,4) , B1(0,3)(2)作 CG BD 于 G，CH x 軸于 H，Q B， B的橫坐標相等，BB x軸， 四邊形CHBG為矩形. 又QCG CH 1, 矩形CHBG為正方形.HCG 90° - Q ECD 90°,HCE在厶HCE和AGCD中，CHE CGD 90°CH CGHCE GCD HCE GCD .S四邊形CEBD S正方形CHBG 1 -2這是一道坐標幾何題，中考中的坐標幾何題，

15、融豐富的幾何圖象于一題，包含的知識 點較多；代數(shù)變換（包括數(shù)式變換、方程變換、不等式變換）與幾何推理巧妙融合，交相 輝映，數(shù)形結(jié)合思想和方法得到充分運用本題（2）中的面積的計算是根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性，構(gòu)造全等三角形，將四邊形的面積進行轉(zhuǎn)化，這是一種重要的數(shù)學思想方法7.（金華）如圖，在平面直角坐標系中，已知 AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4）， 點B在第一象限，點 P是x軸上的一個動點，連結(jié) AP，并把 AOP繞著點A按逆時針方 向旋轉(zhuǎn)，使邊 AO與AB重合，得到 ABD.（1）求直線AB的解析式；（2） 當點P運動到點（,3,0 ）時，求此時 DP的長及點D的坐標；43（3） 是否存在點

16、卩,使厶OPD的面積等于，若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若4不存在，請說明理由解：（1）如圖，過點 B作BE丄y軸于點E,作BF丄x軸于點F.由已知得BF=OE=2, OF= .4點 B的坐標是（2、322 = 2、3,2）設直線AB的解析式是y=kx+b，則有4 b2 2.3k bk解得b直線AB的解析式是y=x+43（2）如圖， ABD由厶AOP旋轉(zhuǎn)得到， ABD AOP , AP=AD ,/ DAB= / PAO，/ DAP= / BAO=60°, ADP是等邊三角形， DP=AP= 42（ 3）2.19 .如圖，過點 D作DH丄x軸于點H，延長EB交DH于點G, 則BG

17、丄DH.在 Rt BDG 中，/ BGD=90 0, / DBG=60 0._13 BG=BD?cos60 0=不 x-2 2DG=BD?sin60 0= 3 x3 = 32 OH=EG= § J, DH=-2 2點D的坐標為 （律,2（3）假設存在點P,在它的運動過程中，使 OPD的面積等于設點P為（t, 0）,下面分三種情況討論：當 t>0 時，如圖，BD=OP=t, DG= 2，4J3 DH=2+ t. / OPD的面積等于2 13、3-尹2 l"t） 丁， 解得ti tLz!,t3_V27 2蟲點Pi的坐標為（, 0 ）2 3 （舍去）.4廳當vt W0寸，如圖，BD=OP= t, BG=3 DH=GF=2 （醞 t） =2+t2 2 OPD的面積等于 ,4解得點2t(2tiI4.3.P2的坐標為（, 0），點P3的坐標為（,0