熱傳導方程傅里葉解

1、熱傳導在三維的等方向均勻介質里的傳播可用以下方程表達：其中：· u =u(t, x, y, z) 表溫度，它是時間變量 t 與 空間變量 (x,y,z) 的函數。 · /是空間中一點的溫度對時間的變化率。 · , 與 溫度對三個空間座標軸的二次導數。 · k 決定于材料的熱傳導率、密度與熱容。 熱方程是傅里葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定 u 的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代

2、表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態(tài)會趨向同一個穩(wěn)態(tài)（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分布反解初始狀態(tài)，即使對極短的時間間隔也一樣。熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式其中的 是對空間變量的拉普拉斯算子。熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。熱方程也可以作為某些金融現象的模型，諸如布萊克-斯科爾斯模型與 Ornstein-Uhlenbeck 過程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應用于影像分析。量子力學中的薛定諤方程雖然有類似熱方程的數學式（但時間參數為純虛數），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。

3、就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達了一個擾動可以在瞬間傳播至空間各處。擾動在前方光錐外的影響通?？珊雎圆挥?，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。以傅里葉級數解熱方程編輯以下解法首先由約瑟夫·傅里葉在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變量的熱方程，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程如下：其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的雙變量函數。· x 是空間變量，所以 x 0,L，其中 L 表示棍子長度。 ·

4、 t 是時間變量，所以 t 0。 假設下述初始條件其中函數 f 是給定的。再配合下述邊界條件. 讓我們試著找一個非恒等于零的解，使之滿足邊界條件 (3) 并具備以下形式：這套技術稱作分離變量法?，F在將 u 代回方程 (1)，由于等式右邊只依賴 x，而左邊只依賴 t，兩邊都等于某個常數 ，于是：以下將證明 (6) 沒有 0 的解：假設 < 0，則存在實數 B、C 使得從 (3) 得到于是有 B = 0 = C，這蘊含 u 恒等于零。假設 = 0，則存在實數 B、C 使得仿上述辦法可從等式 (3) 推出 u 恒等于零。因此必然有 > 0，此時存在實數 A、B、C 使得從等式 (3) 可

5、知 C = 0，因此存在正整數 n 使得由此得到熱方程形如 (4) 的解。一般而言，滿足 (1) 與 (3) 的解相加后仍是滿足 (1) 與 (3) 的解。事實上可以證明滿足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式給出：其中推廣求解技巧編輯上面采用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當的函數空間上，算子 可以用它的特征矢量表示。這就自然地導向線性自伴算子的譜理論?？紤]線性算子 u = ux x，以下函數序列（n 1）是 的特征矢量。誠然：此外，任何滿足邊界條件 f(0)=f(L)=0 的 的特征矢量都是某個 en。令 L2(0, L) 表 0, L 上全體平方可積函數的矢量空間。這些函數

6、 en 構成 L2(0, L) 的一組正交歸一基。更明白地說：最后，序列 enn N 張出 L2(0, L) 的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子 對角化。非均勻不等向介質中的熱傳導一般而言，熱傳導的研究奠基于以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區(qū)域的熱量。· 單位時間內流入區(qū)域 V 的熱量由一個依賴于時間的量 qt(V) 給出。假設 q 有個密度 Q(t,x)，于是 · 熱流是個依賴于時間的矢量函數 H(x)，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為 dS 而單位法矢量為 n 的無窮小曲面元素的熱量是 因此單位時間

7、內進入 V 的熱流量也由以下的面積分給出其中 n(x) 是在 x 點的向外單位法矢量。· 熱傳導定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關系 其中 A(x) 是個 3 × 3 實對稱正定矩陣。 利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分· 溫度在 x 點對時間的改變率與流進 x 點所在的無窮小區(qū)域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作 (x)。 將以上所有等式合并，便獲得支配熱流的一般公式。注記：· 系數 (x) 是該材料在 x 點的密度和比熱的積的倒數。 · 在等方向性介質的情況，矩陣 A 只是個標量，等于

8、材料的導熱率。 · 在非等向的情況， A不一定是標量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通?？煽紤]相應的抽象柯西問題，證明它是適定的，并（或）導出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態(tài)或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴于單參數半群理論：舉例來說，如果 A 是個對稱矩陣，那么由 定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導出它生成一個單參數半群。 粒子擴散編輯粒子擴散方程編輯在粒子擴散的模性中，我們考慮的方程涉及· 在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作 c。 或者· 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的概率密度函數，記作 P。 不同

9、情況下的方程：或者c 與 P 都是位置與時間的函數。D 是擴散系數，它控制擴散速度，通常以米/秒為單位。如果擴散系數 D 依賴于濃度 c（或第二種情況下的概率密度 P），則我們得到非線性擴散方程。單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動。如果一個粒子在時間 時置于 ，則相應的概率密度函數具有以下形式：它與概率密度函數的各分量 、和 的關系是：隨機變量 服從平均數為 0、變異數為 的正態(tài)分布。在三維的情形，隨機矢量 服從平均數為 、變異數為 的正態(tài)分布。在 t=0 時，上述 的表示式帶有奇點。對應于粒子處在原點之初始條件，其概率密度函數是在原點的狄拉克函數，記為 （三維的推廣是 ）；擴散方

10、程對此初始值的解也稱作格林函數。擴散方程的歷史源流編輯粒子擴散方程首先由 Adolf Fick 于1855年導得。以格林函數解擴散方程編輯格林函數是擴散方程在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程的基本解）。當粒子初始位置在原點 時，相應的格林函數記作 （t>0）；根據擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置，相應的格林函數是 。對于一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數的疊加。舉例來說，設 t=0 時有一大群粒子，根據濃度分布的初始值 分布于空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分布如何隨時間演化。跟任何（廣義）函數一樣，濃度分布的初始值可以透過積分表為狄拉克函數的疊加：擴散方程是線性的，因此在