用matlab實現(xiàn)矩陣的對角

1、用matlab實現(xiàn)矩陣的對角 對角陣在實際上的應(yīng)用特別廣泛，對角陣解決現(xiàn)實問題上很方便，通過對角矩陣可以最簡單地處理物力問題，也可以解出線性方程組的解；最普遍的是可以直接知道相似矩陣的行列式值，秩，特征值等，所以可以說研究對角化問題是特別重要。對角化的最快，最方便的方法是利用matlab軟件。1 2 3 形式的矩陣為對角矩陣 一般 n （空白處為零）。 在相似變換下，方陣A的許多重要性質(zhì)（如 行列式，秩，特征值等）保持不便，因此我們可以通過相似變換將矩陣A化簡，并利用化簡后的矩陣來研究與矩陣有關(guān)的問題。 我們討論的主要問題是：對于n階方陣A，是否存在可逆方陣P，使P-1AP為對角矩陣。這就是矩

2、陣的對角化問題。 2 0 0 -1 1 0 通過相似變換下簡化為對角矩陣B= 0 1 0 -4 3 0A=矩陣1 0 01 0 2通過矩陣B可以直接知道矩陣的行列式，秩，特征值，對應(yīng)方程組的解等重要性質(zhì)。 但任何矩陣不一定可以對角化。一個矩陣是否可以對角化有如下的判斷方法： 1）判斷A是否實對稱矩陣，茹是一定可對角化，因為A是實對稱矩陣，則有（1）A的全部特征值是實數(shù)。（2）A的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交。（3）A一定相似于對角矩陣，且存在正交矩陣T，使得T-1AT=TTAT=。的對角元素是A的特征值。 1 -1 2 -1 實對稱矩陣A= -1 1 3 -2 是否可對角化？茹是將矩陣A對角

3、2 3 1 0 -1 -2 0 1化。 運用matlab程序來實現(xiàn)這個問題： 程序如下： A=1 -1 2 -1；-1 1 3 -2；2 3 1 0；-1 -2 0 1； V，D=eig（A） 運行結(jié)果： V= 0.4412 -0.2042 -0.8328 0.2647 0.6012 0.1266 0.4853 0.6221 -0.5683 0.4886 -0.2227 0.6234 0.3477 0.8388 -0.1462 -0.3927D= -3.7266 0 0 0 0 0.9416 0 00 0 1.9420 00 0 0 4.8430程序說明：D 對角線上的元素為A的特征值，V為相

4、對應(yīng)的特征向量所構(gòu)成的矩陣。可以看出特征值都是實數(shù)，每個特征值對應(yīng)于一個特征向量，對應(yīng)的特征向量是正交的，特征向量所構(gòu)成的矩陣是正交陣。如果不用matlab軟件的話實現(xiàn)這種（3階以上的矩陣）問題是特別復(fù)雜及麻煩。2）求A的特征值，若n個特征值互異，則A一定可對角化。 0 1 0 - 1 0 A= 0 0 1因為 |A-E|= 0 - 1= -（1+） -6 0 -6 -6 -11 -6-（2+）（3+）=0。所以特征值分別為1=-1，2=-2，3=-3； 用Matlab程序來實現(xiàn)： A=0 1 0；0 0 1；-6 -11 -6； D=eig（A） 運行結(jié)果： D=-1，-2，-3； 結(jié)果一樣

5、，A有3個互不相同的特征值，故可對角化；這兩種方法相互比較，用Matlab程序好計算這種問題。3）求A的特征向量，若有n個線性無關(guān)的特征向量，則A可以對角化，否則不可以對角化。 0 1 1 -1 -1A= 1 0 1因為 |I-A| = -1 -1 =（-2）（+1）2 1 1 0 -1 -1 于是A的特征值為：1=2，2=-1 （二重），每個特征值對應(yīng)的特征向量為X1=（1 ，1，1）T， X2=（-1， 1，0）T， X3=（-1，0，1）T，這三個向量相互線性無關(guān)，故矩陣A可對角化。 程序如下：A=0 1 1；1 0 1；1 1 0；V，D=eig（A） V= 1.0000 -1.000

6、0 -1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000D= 2.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.00004）方陣A可對角化的充要條件：A的每個重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于該特征值的重數(shù)。 3 2 -1 x-3 -2 1 A= -2 -2 2 的特征多項式是 2 x+2 -2 = x3-12x 3 6 -1 -3 -6 x+1+16=（x-2）2（x+4）=0。特征根是2，2，-4。 特征根-4對應(yīng)的特征向量為（1/3，-2/3，1）。 特征根2對應(yīng)的特征向量為（-2，1，0）（1，0，1）。 可以看出特征向量

7、的個數(shù)等于該特征值的重數(shù)。程序如下：A=3 -2 -1；-2 -2 2；3 6 -1；V，D=eig（A） V= 0.8890 0.2673 0.1654 -0.2540 -0.5345 0.3737 0.3810 0.8018 0.9127D= 2 0 0 0 -4 0 0 0 2從上面可以看出這兩種方法來解得的結(jié)果一樣，很容易知道用Matlab程序來處理即方便又速度快。下面講將矩陣對角化的方法：1） 令A(yù)是數(shù)域F上的一個n階矩陣，如果A的特征多項式fA（x）在F內(nèi)有n個單根，那么存在一個n階可逆矩陣T，使12。T-1AT=3 n 3 2 -1 x-3 -2 1設(shè)A= -2 -2 2的特征多

8、項式是 2 x+2 -2 = 3 6 -1 -3 -6 x+1 X3-12x+16=（x-2）2（x+4）；特征根是2，2，-4；對于特征根-4，求出齊次線性方程組 -7 -2 1 x1 0 2 -2 -2 x2 = 0 的一個基礎(chǔ)解系（1/3，-2/3，1）。-3 -6 -3 x3 0 對于特征根2，求出一個基礎(chǔ)解系（-2，1，0）（1，0，1）。由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)都等于對應(yīng)的特征根的重數(shù)，所以A可以對角化，取 1/3 -2 1 -4 0 0 T= -2/3 1 0 那么T-1AT= 0 2 0 。 1 0 1 0 0 2 Matlab程序如下：A=3 2 -1；-2 -2 2；3

9、 6 -1；V，D=eig（A） V= 0.8890 0.2673 0.1654 -0.2540 -0.5345 0.3737 0.3810 0.8018 0.9127 D= 2 0 0 0 -4 0 0 0 2T=inv（V）*A*V T= 2.0000 0 0 0.0000 -4.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 2.0000可以看出解向量的個數(shù)等于特征跟的重數(shù)。2） 設(shè)A是一個n階實對稱矩陣，那么存在一個n階正交矩陣U，使得UTAU是對角形。 0 1 1 -1設(shè)A= 1 0 -1 1 ，求正交矩陣Q，使QTAQ是對角矩陣。 1 -1 0 1 -1 1 1 0解：求A

10、的特征值。 -1 -1 1解特征值方程 |E-A| = -1 1 -1 =（+3）（-1）3 = 0 。 -1 1 -1 1 -1 -1 得到A的特征值是1=-3。2=3=4=1。求A的特征向量。 當(dāng)1=-3時，特征向量方程為（1E-A）x=0，對特征矩陣（1E-A）作初等行變換： -3 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -3 1 -1 0 -2 2 01E-A= -1 1 -3 -1 0 2 -2 0 1 -1 -1 -3 0 -2 0 -2 1 1 1 1 1 0 0 -10 1 -1 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 ，得出特征向量0 0 -2 -2 0 0 1 1

11、x1=（1，-1，-1，1）T ，對其單位化： 1=X1=（1/2，-1/2，-1/2，1/2）T當(dāng)2=3=4=1時，特征向量方程為（2E-A）x=0。對特征矩陣（2E-A）作初等行變換： 1 -1 -1 1 1 -1 -1 12E-A= -1 1 1 -1 0 0 0 0 ， 得出基礎(chǔ) -1 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1 -1 1 0 0 0 0解系（線性無關(guān)的特征向量組）。X2=（1，1，0，0）T，X3=（1，0，1，0）T，X4=（-1，0，0，1）T此時X2，X3，X4線性無關(guān)，但并不正交，下面采用施迷特正交化過程，計算出與X2，X3，X4等價的正交向量組y2，y3，y4，

12、令y2=x2=（1，1，0，0）T，y3=x3-y2=（1，0，1，0）T （1，1，0，0，）T=（，1，0）T；y4=x4=（-1，0，0，1）T（1，1，0，0）T（1/2，-1/2，1，0）T=（-1/3，1/3，1/3，1）T。 將正交向量組y2，y3,y4單位化，令 2=（，0，0）T， 3=3=（，）， 4=T以單位化的正交特征向量組為列，得到正交矩陣Q=（），即 -3 1Q= 0 ；Q-1AQ=QTAQ= 1 0 0 1 程序如下： A=0 1 1 -1；1 0 -1 1；1 -1 0 1；-1 1 1 0； Q=orth(A) Q= 0.5000 0 0.8660 -0.00

13、00 -0.5000 -0.0000 0.2887 0.8165 -0.5000 0.7071 0.2887 -0.4082 0.5000 0.7071 -0.2887 0.4082Q 0.5000 -0.5000 -0.5000 0.5000 0 -0.0000 0.7071 0.7071 0.8660 0.2887 0.2887 -0.2887-0.0000 0.8165 -0.4082 0.4082 =Q*A*Q= -3.0000 0 0.0000 0.0000 0 1.0000 0 -0.0000 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0

14、000 1.0000以上問題的兩種解法相互比較很明顯的可以看出用Matlab軟件即節(jié)時又更快。 討論的問題若果是3階及3階以下的矩陣問題不用Matlab軟件也可以好處理，但最重要的是高階矩陣處理中Matlab是最好用的軟件。 -3 3 2 -1 -1 1 5 -2例題1：利用Matlab判斷方陣A= -6 3 6 0 是否可對角化，若可對角化8 7 4 1，求出可逆陣P，使P-1AP為對角陣。方法：利用n階方陣A可以相似對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。程序設(shè)計：A=-3 3 2 -1；-1 1 5 -2；-6 3 6 0；8 7 4 1；V,D=eig(A)V = -0.50

15、42 0.0462 + 0.2234i 0.0462 - 0.2234i 0.0887 0.5841 -0.0110 + 0.3621i -0.0110 - 0.3621i 0.1855 -0.4912 0.0034 + 0.0582i 0.0034 - 0.0582i 0.5332 0.4041 0.9018 0.9018 0.8206D = -3.7255 0 0 0 0 1.3399 + 5.0508i 0 0 0 0 1.3399 - 5.0508i 0 0 0 0 6.0457RA=rank(V)RA = 4程序說明：v的秩為4，所A可以對角化，V-1AV=D，可逆陣P=V。 1 0

16、 0 0例題2：判斷B= 0 -1 0 0 是否可對角化。 2 2 0 -1 2 0 1 2我們利用trigle函數(shù)來判定。輸入命令程序說明：由于返回的值是0，所以矩陣B不可以對角化。 4 2 1 0 2 3 2 -1例題3：將實對稱矩陣A= 1 2 6 1 對角化。 0 -1 1 2利用Matlab程序來處理這個問題：輸入命令：A=4 2 1 0;2 3 2 -1;1 2 6 1;0 -1 1 2;P,D=eig(A)P = -0.2936 -0.5914 -0.6090 -0.4395 0.6802 0.4068 -0.3775 -0.4789 -0.2969 0.1286 0.5657

17、-0.7585 0.6024 -0.6843 0.4082 -0.0474D = 0.3780 0 0 0 0 2.4067 0 0 0 0 4.3107 0 0 0 0 7.9046程序說明：所求得的矩陣D即為A對角化后的對角陣，D和A相似。例題4： 4 -1 -1 1 -1 4 1 -1 設(shè) A= -1 1 4 -1， 求正交矩陣T，使得T-1AT為對角矩陣。 1 -1 -1 4 -4 1 1 -1解：方法1：|I-A|= 1 -4 -1 1 =（-3）3（-7），A的特征 1 -1 -4 1 -1 1 1 -4值為3（三重），7； 對于特征值3，求得（3I-A）x=0的一個基礎(chǔ)解系； 1

18、 1 1= 1 ，= 0 ，= 0 ，把，正交化，令=， 0 1 0 0 0 1 1 1 = 0 1 = 。 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 = 0 0 1 = 。 -1 0 0 -1把分別單位化，得， 1= ， 2= ，3= 對于特征值7，求得（7I-A）x=0 0 0 0 1 -1的一個基礎(chǔ)解系，= -1， 把單位化， 得4= ，令 1 T=（1，2，3，4）則T是正交矩陣且T-1AT=diag3，3，3，7。方法2：通過程序來實現(xiàn)這個問題。程序如下：A=4 -1 -1 1;-1 4 1 -1;-1 1 4 -1;1 -1 -1 4;B=orth(A)B = 0.5000 -0.0000 0.8660 0.0000 -0.5000 0.7303 0.2887 0.3651 -0.5000 -0.6814 0.2887 0.44990