量子力學試題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 量子力學試題（一）及答案 一. （20分）質(zhì)量為的粒子，在一維無限深勢阱中 中運動，若時，粒子處于 狀態(tài)上，其中，為粒子能量的第個本征態(tài)。（1） 求時能量的可測值與相應的取值幾率；（2） 求時的波函數(shù)及能量的可測值與相應的取值幾率解：非對稱一維無限深勢阱中粒子的本征解為 （1） 首先，將歸一化。由 可知，歸一化常數(shù)為 于是，歸一化后的波函數(shù)為 能量的取值幾率為 能量取其它值的幾率皆為零。（2） 因為哈密頓算符不顯含時間，故時的波函數(shù)為 （3） 由于哈密頓量是守恒量，所以時的取值幾率與時相同。 二. （20分）質(zhì)量為的粒子在一維勢阱 中運動，若已知該粒子在此勢阱中有一

2、個能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度。解：對于的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為 其中， 在處，利用波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)的條件 得到 于是有 此即能量滿足的超越方程。當時，由于 故 ， 最后，得到勢阱的寬度 三.（20分）設厄米特算符的本征矢為，構成正交歸一完備系，定義一個算符 （1） 計算對易子；（2） 證明；（3） 計算跡；（4） 若算符的矩陣元為，證明 解： （1）對于任意一個態(tài)矢，有 故 （2） （3）算符的跡為 （4）算符 而 四. （20分）自旋為、固有磁矩為（其中為實常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場中，設時，粒子處于的狀態(tài)，（1） 求出時的波函數(shù)；（2） 求出時與的可測值及相應的取值幾率

3、。解：體系的哈密頓算符為 在泡利表象中，哈密頓算符的本征解為 在時，粒子處于的狀態(tài)，即 而滿足的本征方程為 解之得 由于，哈密頓算符不顯含時間，故時刻的波函數(shù)為 （2）因為，所以是守恒量，它的取值幾率與平均值不隨時間改變，換句話說，只要計算時的取值幾率就知道了時的取值幾率。由于 ；故有 而的取值幾率為 五. （20分） 類氫離子中，電子與原子核的庫侖相互作用為 （為核電荷）當核電荷變?yōu)闀r，相互作用能增加，試用微擾論計算它對能量的一級修正，并與嚴格解比較。 解：已知類氫離子的能量本征解為 式中，為玻爾半徑。能量的一級修正為 由維里定理知 總能量 所以，得到 微擾論近似到一級的能量為 而嚴格解為

4、量子力學試題（二）及答案一、（20分）在時刻，氫原子處于狀態(tài)式中，為氫原子的第個能量本征態(tài)。計算時能量的取值幾率與平均值，寫出時的波函數(shù)。解：氫原子的本征解為 其中，量子數(shù)的取值范圍是；，由波函數(shù)歸一化條件可知歸一化常數(shù)為不為零的能量取值幾率為；能量平均值為當時，波函數(shù)為二、 （20分）設粒子處于一維勢阱之中 式中，。導出能量本征值滿足的超越方程，進而求出使得體系至少存在一個束縛態(tài)的值。 解：對于的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為其中，利用波函數(shù)再處的連接條件知，在處，利用波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)的條件得到 于是有 此即能量滿足的超越方程。 由于，余切值是負數(shù)，所以，角度在第2、4象限。超越方程也

5、可以改寫成式中， 因為，所以，若要上式有解，必須要求 當時，于是，有整理之，得到 三、（20分）在動量表象中，寫出線諧振子的哈密頓算符的矩陣元。 解：在坐標表象中，線諧振子的哈密頓算符為在動量表象中，該哈密頓算符為由于動量的本征函數(shù)為，故哈密頓算符的矩陣元為 四、（20分）設兩個自旋為非全同粒子構成的體系，哈密頓量， 其中，為常數(shù)，與分別是粒子1和粒子2的自旋算符。已知時，粒子1的自旋沿軸的負方向，粒子2的自旋沿軸的正方向，求時測量粒子1的自旋處于軸負方向的幾率和粒子2的自旋處于軸負方向的幾率。 解： 體系的哈密頓算符為選擇耦合表象，由于，故四個基底為；在此基底之下，哈密頓算符是對角矩陣，即可

6、以直接寫出它的解為， ， ， ， 已知時，體系處于因為哈密頓算符不顯含時間，故時刻的波函數(shù)為粒子1處于軸負方向的幾率為而粒子2處于軸負方向的幾率為五、 （20分）作一維運動的粒子，當哈密頓算符為時，能量本征值與本征矢分別為與，如果哈密頓算符變成（為實參數(shù)）時， （1）利用費曼海爾曼定理求出嚴格的能量本征值。 （2）若，利用微擾論計算能量本征值到二級近似。解：首先，利用費因曼赫爾曼定理求出嚴格的能量本征值。視為參變量，則有利用費因曼-赫爾曼定理可知又知在任何束縛態(tài)下，均有所以，進而得到能量本征值滿足的微分方程對上式作積分，得到利用時，定出積分常數(shù)最后，得到的本征值為其次，用微擾論計算能量的近似解

7、。已知滿足的本征方程為由可知第個能級的一級修正為能量的二級修正為為了求出上式右端的求和項，在表象下計算可以證明，對于任意實束縛態(tài)波函數(shù)，有于是，得到得到近似到二級的解為量子力學試題（三）及答案一、（20分）已知氫原子在時處于狀態(tài) 其中，為該氫原子的第個能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫出時的波函數(shù)。 解 已知氫原子的本征值為 ， （1）將時的波函數(shù)寫成矩陣形式 （2）利用歸一化條件 （3）于是，歸一化后的波函數(shù)為 （4）能量的可能取值為，相應的取值幾率為 （5）能量平均值為 （6）自旋分量的可能取值為，相應的取值幾率為 （7）自旋分量的平均值為 （8） 時的波函數(shù) （9）二.

8、（20分） 質(zhì)量為的粒子在如下一維勢阱中運動 若已知該粒子在此勢阱中有一個能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度。解 對于的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為 （1）其中， （2）利用波函數(shù)再處的連接條件知，。在處，利用波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)的條件 （3）得到 （4）于是有 （5）此即能量滿足的超越方程。當時，由于 （6）故 （7）最后得到勢阱的寬度 （8）三、（20分） 證明如下關系式（1）任意角動量算符滿足 。證明 對分量有同理可知，對與分量亦有相應的結果，故欲證之式成立。投影算符是一個厄米算符，其中，是任意正交歸一的完備本征函數(shù)系。證明 在任意的兩個狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為 而投影算符的共軛算

9、符的矩陣元為 顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明 四、（20分） 在與表象中，在軌道角動量量子數(shù)的子空間中，分別計算算符、與的矩陣元，進而求出它們的本征值與相應的本征矢。解 在與表象下，當軌道角動量量子數(shù)時，顯然，算符、與皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故是對角矩陣，且其對角元為相應的本征值，于是有 （1）相應的本征解為 （2）對于算符、而言，需要用到升降算符，即 （3）而 （4）當時，顯然，算符、的對角元皆為零，并且， （5）只有當量子數(shù)相差時矩陣元才不為零，即 （6）于是得到算符、的矩陣形式如下 （7）滿足的本

10、征方程為 （8）相應的久期方程為 （9）將其化為 （10）得到三個本征值分別為 （11）將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為 （12）滿足的本征方程為 （13）相應的久期方程為 （14）將其化為 （15）得到三個本征值分別為 （16）將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為 （17）五、（20分） 由兩個質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構成的體系，加上微擾項（分別為兩個線諧振子的坐標）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。 提示： 線諧振子基底之下坐標算符的矩陣元為 式中， 。解 體系的哈密頓算符為 （1）其中 （2）已知的解為 （3）其中 （4）將前三個能量與波函數(shù)具體寫出來 （5） 對于