由三角形內(nèi)切圓導(dǎo)出的一個三角形的面積公式應(yīng)用

1、由“三角形內(nèi)切圓”引出的2個中考命題OCBA我們知道：和三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心，它是三角形3條內(nèi)角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等，這個距離就是三角形的內(nèi)切圓的半徑（如圖甲）.觀察圖形3個角平分線將三角形分成3個三角形，而每個三角形的高均為內(nèi)切圓的半徑，底為三角形的三邊長.所以SABC=SOAB+SOBC+SOCA=+=（r為內(nèi)切圓的半徑）從上述三角形面積的探究過程中隱含了一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，有些圖形的面積可以通過適當(dāng)?shù)姆指?，分割為若干個可求圖形的面積，利用整體等于各個部分面積之和從而獲得上面的結(jié)論.我們知道三角形是多邊形中最簡單的多邊形，而

2、且任意的三角形都存在唯一的內(nèi)切圓，但四邊形不一定存在內(nèi)切圓，假若四邊形存在一個內(nèi)切圓上述結(jié)論成立嗎？對于任意的n邊形呢？請欣賞如下的江蘇省淮安市06年的一道中考題：例1、閱讀材料：如圖(一)，ABC的周長為，內(nèi)切圓O的半徑為r,連結(jié)OA、OB、OC，ABC被劃分為三個小三角形，用SABC表示ABC的面積 SABC=SOAB+SOBC+SOCA又SOAB=，SOBC=，SOCA =SABC=+= (可作為三角形內(nèi)切圓半徑公式)（1）理解與應(yīng)用：利用公式計算邊長分為5、12、13的三角形內(nèi)切圓半徑；(2)類比與推理：若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓，如圖(二)且面積為S，各邊長分別為a

3、、b、c、d，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；（3）拓展與延伸：若一個n邊形(n為不小于3的整數(shù))存在內(nèi)切圓，且面積為S，各邊長分別為a1、a2、a3、an，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式(不需說明理由)分析：本題創(chuàng)設(shè)了一個以“閱讀材料三角形的面積與內(nèi)切圓半徑及周長之間關(guān)系”的問題背景，通過閱讀使讀者體會到“同一個圖形分割后整體的面積等于各個部分之和”，其中的巧妙之處在于分割后3個三角形的高均為內(nèi)切圓的半徑，因而三角形的面積等于三角形的周長之半與內(nèi)切圓半徑之積.O（1）首先根據(jù)三邊之間關(guān)系判定是直角三角形，即52+122=132由勾股定理的逆定理可知：邊長分為5、12、13的三角形，所以SABC=30

4、，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則有30=，所以r=2（2）設(shè)四邊形內(nèi)切圓的圓心為點O，分別連接OA、OB、OC、OD，將四邊形ABCD分割為4個三角形AOB、BOC、COD、DOA，它們的高視為四邊形ABCD的內(nèi)切圓半徑，則有S=·r，所以 （3）根據(jù)閱讀材料及問題（2）的解答過程，進行類比推理，不難猜想：面積為S，各邊長分別為a1、a2、a3、an的n邊形(n為不小于3的整數(shù))內(nèi)切圓半徑公式.評注：本題是提供的是“一個多邊形如果存在內(nèi)切圓，那么這個多邊形的面積如何用多邊形的周長及內(nèi)切圓的半徑來表示”的研究課題，試題首先從最簡單三角形的內(nèi)切圓入手讓學(xué)生通過閱讀獲得問題的解題方法，經(jīng)歷解決問題的

5、過程并掌握得到問題的結(jié)論，然后讓學(xué)生類比遷移問題的處理方法，去解決四邊形內(nèi)切圓問題，然后從特殊到一般讓學(xué)生猜想對任意的n邊形的內(nèi)切圓的半徑與n邊形的面積與各邊長之間的關(guān)系. 通過本題的解答讀者應(yīng)該掌握“學(xué)會從特殊情況、簡單情況入手，觀察分析推理，得出規(guī)律后再向一般情況推廣的研究問題“的數(shù)學(xué)方法 例2、(天津)已知RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8.ABCO1圖2-1(1)如圖2-1，若半徑為r1的O是RtABC 的內(nèi)切圓，求r1；(2)如圖2-2，若半徑為的兩個等圓O1、O2外切，且O1與AC、AB相切，O2與BC、AB相切，求；ABCO2O1圖2-2ABCOnO3O2

6、O1圖2-3(3)如圖2-3，當(dāng)n是大于2的正整數(shù)時，若半徑為的n個等圓O1、O2、ON依次外切，且O1與AC、AB相切，On與BC、AB相切，O2、O3、On-1均與AB邊相切，求.圖2-(4)ABCO1EFD解(1)在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8. AB=10.如圖2-（4），設(shè)O1與RtABC的邊AB、BC、CA分別切于點D、E、F，連接O1D、O1E、O1F、AO1、BO1、CO1.于是，O1DAB，O1EBC，O1FAC，=×AC×O1F=×AC×r1=3r1，=×BC×O1E=×BC

7、×r1=4r1，=×AB×O1D=×AB×r1=5r1，=×AC·BC=24.ABCO2O1NM圖2-（5）又=+，24=3r1+4r1+5r1.r1=2.(2)如圖2-（5）連接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，則=×AC·r2=3r2，=×BC·r2=4r2 ，等圓O1、O2外切，O1O2=2r2，且O1O2AB.過點C作CMAB于點M，交O1O2于點N，則CM= ，CN=CMr2=r2，ABCOnO3O2O1KH圖2-（6） = O1O2·CN=(r2)r2,=

8、(2r2+10)r2=(r2+5)r2=+24=3r2+4r2+(r2)r2+(r2+5)r2.解得r2=如圖2-（6），連接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，則=×AC·rn=3rn，=×BC·rn=4rn，等圓O1、O2、ON依次外切，且均與AB邊相切，O1、O2、ON 均在直線O1On上，且O1OnAB.O1On=(n2)2rn+2rn=2(n1)rn，過點C作CHAB于點H，交O1ON于點K，則CH= ，CK=rn， = O1On ,CK=(n1)(rn)rn,=2(n1)rn+10rn=(n1)rn+5rn=+,24=3rn+4rn+(n1)(rn)r