用構造法求數(shù)列的通項公式的分類和求解方法

1、用構造法求數(shù)列的通項公式重慶市綦江縣東溪中學 任德輝求數(shù)列的通項公式是近幾年高考重點考察的內容，兩類特殊數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列可以根據公式直接求解，還有些特殊數(shù)列可用累加法、累乘法等來直接求解，但有些數(shù)列卻不能直接求解，它們往往要轉化為等差、等比數(shù)列和其他數(shù)列后再運用各自的通項公式求解，從而體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的運用，此時可用構造法求解。所謂構造法就是在解決某些數(shù)學問題中通過對條件和結論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一些適當?shù)妮o助模型，以促成命題的轉換，產生新的解題方法。下面就構造法求數(shù)列的通項公式的分類和解題方法分別進行論述。一、用構造法求數(shù)列的通項公式依照構造目標數(shù)列的不同可以分為構造等差數(shù)列、

2、構造等比數(shù)列和構造其他數(shù)列。1.構造等差數(shù)列例1、（2009湖北）已知數(shù)列的前n項和，令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式。 解：， 等式兩邊都乘以得，即，數(shù)列是以1為首項公差為1的等差數(shù)列，= 例2、數(shù)列中，若，則（ ）A B C D解： 又是首項為公差3的等差數(shù)列。 所以選A2.構造等比數(shù)列例3、(2010上海)已知數(shù)列的前n項和為，且。證明：是等比數(shù)列并求的通項公式 證明：當時， 當時， ， 時首項為-15，公比為的等比數(shù)列。 = =+13、構造其他數(shù)列例4、（2009全國）在數(shù)列中，設，求數(shù)列的通項公式。并求出 解：由已知得，即 ，.， 以上各式相加可得，即小結：本題構造了一個數(shù)

3、列，雖然不是等差、等比數(shù)列但可以用累加法并用等比數(shù)列求和公式求出通項公式。本題還可以用參數(shù)法進一步構造另一個等差或等比數(shù)列：由，得，令得再用后面例5的解法求得，進而求得和二、構造法求數(shù)列通項公式的解題方法由題目給出目標數(shù)列與否這個標準來判斷，用構造法求數(shù)列的通項公式的方法可以分為以下幾類：1、如果數(shù)列明確要證明一個與原數(shù)列有關的新數(shù)列是等差或等比數(shù)列，此時可以用拼湊法來求解。例5、設數(shù)列的前項和為成立，(1)求證： 是等比數(shù)列。(2) 求這個數(shù)列的通項公式證明：(1)當 又 又為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，(2)小結：本題在求出后的構造過程非常巧妙，在明確題目要證明的數(shù)列是等比數(shù)列的前提下，

4、結合等比數(shù)列的概念，我們只需證明這個數(shù)列的后項與前項的比值為常數(shù)就可，所以我們只需在的左邊拼湊出數(shù)列的第n+1項，在右邊順勢就可以得出第n項。此法我們不妨就叫做拼湊法2、數(shù)列沒明確給出要構造的目標數(shù)列，此時滿足一定條件的數(shù)列可以考慮用參數(shù)法來求解（）遞推公式為型（其中p，q均為常數(shù)，）的數(shù)列一般可以構造出一個等比數(shù)列，解題思路為：設，由對應項系數(shù)相等求出參數(shù)t的值，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解。例6、 已知數(shù)列中，求.解：，設即.即,令，則,且.是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則, 所以.例7、數(shù)列中，求解：是首項為公比為的等比數(shù)列小結:若遞推公式為且為一次分式，此時的解決辦法為先兩邊取倒數(shù)

5、，分離常數(shù)后直接構成等差數(shù)列（例題省略）（或用參數(shù)法構造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列），（）遞推公式為型（其中p，q均為常數(shù)，）。（或型,其中p，q, r均為常數(shù)）的解題思路為：兩邊除以化為型。或直接用參數(shù)法（）設再求解例8、 已知數(shù)列中，,，求。解：（法一：轉化為型）在兩邊乘以得：令，則,應用例5解法求得：所以（法二：用參數(shù)法）設，整理得。，即數(shù)列為以為首項，公比為的等比數(shù)列，=即此外還有型如，的遞推公式等，均可采用參數(shù)法解決，在此就不一一贅述。從以上幾個例題可以看出，構造法求數(shù)列的通項公式最關鍵的就是如何對條件給出的遞推公式進行正確的處理。總之，構造等差數(shù)列或等比數(shù)列來求數(shù)列的通項公式，是求通項公式的重要方法也是高考重點考查的題目。題目是千變萬化的，構造方式也會跟著千差萬別,具體問題具體分析，通過反復推敲歸納，從而確定其形式，運