第十四章曲線積分曲面積分與場論

1、第十四章 曲線積分、曲面積分與場論教學(xué)目的與要求1 掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的定義及相互聯(lián)系；2 掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的計算；3掌握Green公式 公式和公式，并能應(yīng)用它們來求第二類線面積分；4理解曲線積分與路徑無關(guān)的含義；5了解外微分的定義及應(yīng)用；6了解場論初步的基本知識。教學(xué)重點1兩類曲線積分和兩類曲面積分的計算；2 Green公式 公式和公式的應(yīng)用；3曲線積分與路徑無關(guān)的條件。教學(xué)難點1兩類曲線積分互化和兩類曲面積分互化；2 曲線積分與路徑無關(guān)的條件。§1第一型曲線積分和第一類面面積分教學(xué)目的1掌握第一類曲線積分和第一類曲面積分的定義；2 會求曲面的面積。教學(xué)過

2、程背景:幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析線段、平面區(qū)域、空間幾何體的質(zhì)量1 第一類曲線積分1.1 定義(P294-295)1.2 性質(zhì)(P295)1.3 計算(P295-296) 例1 設(shè)是半圓周, . . 例2 設(shè)是曲線上從點到點的一段. 計算第一型曲線積分 . 空間曲線上的第一型曲線積分: 設(shè)空間曲線,. 函數(shù)連續(xù)可導(dǎo), 則對上的連續(xù)函數(shù), 有.例3 計算積分, 其中是球面被平面截得的圓周 . 解 由對稱性知 , , =. ( 注意是大圓 )2 曲面的面積P298-3043第一型曲面積分3.1 定義(P304-305)3.2 計算1 設(shè)有光滑曲面 .為上的連續(xù)函數(shù),則 . 例4 計算

3、積分, 其中是球面 被平面 所截的頂部 . 例5 求，其中是球面與平面的交線。解法1 解法2 求曲線的參數(shù)方程。由，消去，得, 即 令，則于是得到兩組參數(shù)方程我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數(shù)和都具有輪換對稱性，則解法3 作坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。就坐標(biāo)是，新坐標(biāo)是，旋轉(zhuǎn)角為，則旋轉(zhuǎn)變換的一般公式為 ， 因為平面的單位法矢為，則它與軸的夾角余弦為。下面分兩步進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，先將平面旋轉(zhuǎn)，得新坐標(biāo)系；再將平面旋轉(zhuǎn)，得新坐標(biāo)系。即由旋轉(zhuǎn)公式得于是得 在這組變換下，曲線：，變?yōu)?，?注1 三種解法各具特點：解法1技巧性強，直接利用了幾何意義，而不必化為定積分。解法2常規(guī)的方法，即 寫出參數(shù)方程 套公式 計算定積

4、分這里主要難在第一步，寫參數(shù)方程。通過解法2，給出了一種求參數(shù)方程的方法。解法3先通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的問題，再按常規(guī)的方法計算。坐標(biāo)系下的線積分 坐標(biāo)系下的線積分 寫出參數(shù)方程 套公式 計算定積分在新的坐標(biāo)下，曲線有簡單的參數(shù)方程。這個解法表明，可以適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化問題，例如作坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，從而獲得簡單的參數(shù)方程。作業(yè)：P309310 1（1）（3）（5）（7）、3（2）（4）（6）、4（1）（4）（7）、9、11 §2 第二型曲線積分和第二型曲面積分教學(xué)目的1 掌握第二型曲線積分和第二型曲面積分的定義和計算2 教學(xué)過程1 第二類曲線積分（1）力場沿平面曲線從點A到點B所

5、作的功:先用微元法 , 再用定義積分的方法討論這一問題 , 得 , 即 . （2）穩(wěn)流場通過曲線 ( 從一側(cè)到另一側(cè) ) 的流量: 解釋穩(wěn)流場. ( 以磁場為例 ).設(shè)有流速場. 求在單位時間內(nèi)通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的流量E . 設(shè)曲線AB上點處的切向量 B為, ( 是切向量方向與X軸 正向的夾角. 切向量方向按如下方法確定: 法線方 向是指從曲線的哪一側(cè)到哪一側(cè), 在我們現(xiàn)在的問 A 題中是指從左側(cè)到右側(cè)的方向. 切向量方向與法線 方向按右手法則確定, 即以右手拇指所指為法線方向, 則食指所指為切線方向 .) .在弧段上的流量 . ,因此 , .由, 得. 于是通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總

6、流量E為.1.1 第二型曲線積分的定義閉路積分的記法. 按這一定義 , 有 力場沿平面曲線從點A到點B所作的功為. 流速場在單位時間內(nèi)通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為 .第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性 . 對二型曲線積分有 ,因此, 定積分是第二型曲線積分中當(dāng)曲線為X軸上的線段時的特例.可類似地考慮空間力場沿空間曲線AB所作的功. 導(dǎo)出空間曲線上的第二型曲線積分.1.2 第二型曲線積分的性質(zhì) 第二型曲線積分可概括地理解為向量值函數(shù)的積累問題 . 與我們以前討論過的積分相比, 除多了一層方向性的考慮外, 其余與以前的積累問題是一樣的, 還是用Riemma的思想建立的積分 . 因此 ,

7、 第二型曲線積分具有(R )積分的共性 , 如線性、關(guān)于函數(shù)或積分曲線的可加性 . 但第二型曲線積分一般不具有關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性 , 這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較大小, 另一方面向量值函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關(guān).1.3 第二型曲線積分的計算曲線的自然方向: 設(shè)曲線L由參數(shù)式給出. 稱參數(shù)增大時曲線相應(yīng)的方向為自然方向.設(shè)L為光滑或按段光滑曲線 , L : .A, B; 函數(shù)和在L上連續(xù), 則沿L的自然方向( 即從點A到點B的方向)有. (證略) 例1 計算積分, L的兩個端點為A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 積分從點A到點B或閉合, 路徑為>

8、; 直線段AB> 拋物線;> A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折線閉合路徑 . 例2 計算積分, 這里L(fēng) : > 沿拋物線從點O( 0 , 0 )到點B( 1 , 2 );> 沿直線從點O( 0 , 0 )到點B( 1 , 2 );> 沿折線閉合路徑O(0,0)A(1,0 )B(1,2 ) O(0,0). 例3 計算第二型曲線積分 I = , 其中L是螺旋線, 從到的一段 . 例4 求在力場作用下,> 質(zhì)點由點A沿螺旋線到點B所作的功, 其中L : , .> 質(zhì)點由點A沿直線L到點B所作的功例5 計算

9、曲線積分，（1）是球面三角形，的邊界線，從球的外側(cè)看去，的方向為逆時針方向；（2）是球面和柱面的交線位于平面上方的部分，從軸上點看去，是順時針方向。解 （1）顯然，具有輪換對稱性，且被積表達(dá)式也具有輪換對稱性，將分為三段：， （，） ：， （，）：， （，）則 或 注1 這里利用輪換對稱性使計算化簡，都是寫為某積分的3倍。它們的區(qū)別在于第一種方法：積分表達(dá)式不變，積分化為上的積分的3倍。第二種方法：積分曲線不變，積分化為表達(dá)式中第一項積分的3倍。問題1 是否可化為既是上的積分的3倍，又是表達(dá)式中第一項積分的3倍，即（2）曲線關(guān)于平面對稱，且方向相反同理 故 下面求曲線的參數(shù)方程。方法1 利用球

10、面的參數(shù)方程，代入柱面方程得，于是得的參數(shù)方程， ， ， 從到方法2 利用柱面的參數(shù)方程，代入球面方程，得的參數(shù)方程， ， ， 從到不妨取方法1中的參數(shù)方程進(jìn)行計算，注2 這里利用對稱性（不是輪換對稱性），立即可知前兩項的積分為0。值得注意的是第二型的曲線積分與第一型的曲線積分對稱性的應(yīng)用是不同的。例如第一項積分，曲線關(guān)于平面對稱，且方向相反，而被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)（不是奇函數(shù)），則上面等式中，兩項恰好相差一個符號，負(fù)號的出現(xiàn)是由于方向相反產(chǎn)生的。2 曲面的側(cè)P316-317單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面:雙側(cè)曲面的定向: 曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè). 設(shè)法向量為,則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個分量,

11、即選“+”號時，應(yīng)有，亦即法線方向與軸正向成銳角. 類似確定其余各側(cè)的法線方向 閉合曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè).3 第二類曲面積分3.1 穩(wěn)流場的流量: 以磁場為例. 3.2 第二型曲面積分的定義 閉合曲面上的積分及記法.3. 3 第二型曲面積分的性質(zhì): 線性 , 關(guān)于積分曲面塊的可加性.3.4 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系:設(shè)為曲面的指定法向, 則. 3.5 第二型曲面積分的計算 1 設(shè)是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù), 以的上側(cè)為正側(cè)( 即 ), 則有.類似地, 對光滑曲面D, 在其前側(cè)上的積分.對光滑曲面 D, 在其右側(cè)上的積分.計算積分時, 通常分開來計算三個積分, , .為此, 分別把曲

12、面投影到Y(jié)Z平面, ZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行計算. 投影域的側(cè)由曲面的定向決定. 例6 計算積分,其中是球面 在部分取外側(cè). 例7計算積分， 為球面取外側(cè). 解 對積分, 分別用和記前半球面和后半球面的外側(cè), 則有 : ;: .因此, =+ =. 對積分, 分別用和記右半球面和左半球面的外側(cè), 則有: ;: .因此, +=. 對積分, 分別用和記上半球面和下半球面的外側(cè), 則有: ;: .因此, =+ =.綜上, =.作業(yè): P324-326 1（4）（6）（7）、4（2）（4）（6）（9）§ 3 Green公式 公式和公式( 4 時 )教學(xué)目的1掌握Green公式 公式

13、和公式，并能應(yīng)用它們來求第二類線面積分2 掌握積分與路徑無關(guān)的條件，并能靈活應(yīng)用于求第二類曲線積分。教學(xué)過程1 Green公式閉區(qū)域的正面與邊界正向的規(guī)定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示區(qū)域的正面( 理解為拇指“站立在” 區(qū)域的正面上 ), 則其余四指( 彎曲 )表示邊界的正向. 右手螺旋定向法則還可表述為: 人站立在區(qū)域的正面的邊界上, 讓區(qū)域在人的左方. 則人前進(jìn)的方向為邊界的正向. 參閱1P372圖228. 若以L記正向邊界, 則用L或L表示反向（或稱為負(fù)向）邊界. 1.1 1 若函數(shù)P和Q在閉區(qū)域DR上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有,其中L為區(qū)域D的正向邊界. Green

14、公式又可記為 .1.2 應(yīng)用舉例:對環(huán)路積分, 可直接應(yīng)用Green公式. 對非閉路積分, 常采用附加上一條線使變成環(huán)路積分的技巧.例1 計算積分 , 其中AB. 曲線AB為圓周在第一象限中的部分. 解法一 ( 直接計算積分 ) 曲線AB的方程為 .方向為自然方向的反向. 因此.解法二 ( 用Green公式 ) 補上線段BO和OA ( O為坐標(biāo)原點 ), 成閉路. 設(shè)所圍區(qū)域為D, 注意到D為反向, 以及, 有.例2 計算積分 I =, 其中L為任一不包含原點的閉區(qū)域D的邊界(方向任意 ) 解 . (和在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù))., .于是, I = .例3 驗證區(qū)域D的面積公式 |D|, L為D

15、的正向邊界. 例4 計算由星形線 所界的面積.例5 計算積分, 其中L是由曲線 ,所圍區(qū)域D的邊界, 取正向.解 . .作代換, 在此代換之下 , 區(qū)域D變?yōu)閁V平面上的區(qū)域., .于是, .例6 計算積分, D : .解 令, 有.域D為三角形, 三個頂點為OA, B.2 曲線積分與路線無關(guān)性:2.1 積分與路徑無關(guān)的等價條件2 設(shè)DR是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù)和在閉區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則以下四個條件等價 :> 沿D內(nèi)任一按段光滑的閉合曲線L, 有 .> 對D內(nèi)任一按段光滑的曲線L, 曲線積分與路徑無關(guān), 只與曲線L的起點和終點有關(guān).> 是D內(nèi)某一函數(shù)的

16、全微分, 即在D內(nèi)有.> 在D內(nèi)每一點處有 .2.2 恰當(dāng)微分的原函數(shù):若有, 則稱微分形式是一個恰當(dāng)微分. 恰當(dāng)微分有原函數(shù), ( 它的一個 ) 原函數(shù)為 : . 或 其中點D, 當(dāng)點D時, 常取=.驗證第一式: =;.例7 驗證式 是恰當(dāng)微分, 并求其原函數(shù).例8 驗證曲線積分與路徑無關(guān) , 并求被積表達(dá)式的原函數(shù). 3 Gauss公式:3 設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成 . 若函數(shù)在V上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則,其中取外側(cè).稱上述公式為Gauss公式證 只證 .設(shè)V是型區(qū)域( 即型體 ), 其邊界曲面由曲面下側(cè) , D,上側(cè) , D. .以及垂直于平面的柱面(

17、外側(cè))組成. 注意到=, 有.可類證, .以上三式相加, 即得Gauss公式.例8 計算積分， 為球面取外側(cè). 解 .由Gauss公式 . 例9 計算積分，其中是邊長為的正方體V的表面取外側(cè). V : .解 應(yīng)用Gauss公式 , 有.例10 計算積分，為錐面在平面下方的部分，取外法線方向 .解 設(shè)為圓取上側(cè) , 則構(gòu)成由其所圍錐體V的表面外側(cè) , 由Gauss公式 , 有 =錐體V的體積;而 因而, .例11 設(shè)V是三維空間的區(qū)域, 其內(nèi)任何封閉曲面都可不通過V外的點連續(xù)收縮為V上的一點. 又設(shè)函數(shù)、和在V上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù). 表示V內(nèi)任一不自交的光滑封閉曲面, 是的外法線. 試證明: 對V內(nèi)

18、任意曲面恒有的充要條件是在V內(nèi)處處成立.證 . 由Gauss公式直接得到 . 反設(shè)不然 , 即存在點V, 使,不妨設(shè)其. 由在點連續(xù), 存在以點為中心且在V內(nèi)的小球, 使在其內(nèi)有. 以表示小球的表面外側(cè), 就有,與矛盾.4 Stokes公式空間雙側(cè)曲面的正側(cè)與其邊界閉合曲線L正向的匹配關(guān)系: 右手螺旋法則, 即當(dāng)人站在曲面的正側(cè)上, 沿邊界曲線L行走時, 若曲面在左側(cè), 則把人的前進(jìn)方向定為L的正向.4.1 Stokes定理:4 設(shè)光滑曲面的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線 . 若函數(shù)、和在( 連同L )上連續(xù) ,且有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) , 則.其中的側(cè)與L的方向按右手法則確定 .稱該公式為Stoke

19、s公式 .證 先證式 . Stokes公式也記為 . 例13 計算積分, 其中 L為平面與各坐標(biāo)平面的交線, 方向為: 從平面的上方往下看為逆時針方向.作業(yè)：P345348 1（4）（6）（8）（9）、3、（2）（3）、5、6、9（2）（4）（6）（8）、12（1）（3）（4）（6）、15、17小結(jié)：下面的圖表給出了各種積分間的聯(lián)系，在計算中可以根據(jù)這些關(guān)系，將一種積分轉(zhuǎn)化為另一種積分。第一型曲線積分二重積分第二型曲線積分格林公式斯托克司公式 三重積分第一型曲面積分積分第二型曲面積分面積分高斯公式例1 設(shè)為平面上封閉曲線，為平面上任意方向，是的外法線方向。證明 y x證明 ，因為 ， 則 ，

20、注1 此例給出了平面上閉曲線切線正向和外法線矢量的關(guān)系：（這個結(jié)果在7、8、12題都要用到）， 注2 利用這個關(guān)系，可得格林公式的另一種形式：或（用外法向矢量） 試比較（用正向的切線矢量） 事實上 注3 我們已經(jīng)知道，格林公式是斯托克司公式當(dāng)是平行于坐標(biāo)面的平面曲線時的特殊情形。而從格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作為高斯公式的特殊情形。在高斯公式中，設(shè)不依賴于?？紤]平行于軸的單位高柱體的邊界曲面的外側(cè)，它在面的投影為曲線。記柱面的上底面為，下底面為，側(cè)面為，則 又 即 例2 設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明（1）（2）其中，為閉曲線所圍的平面區(qū)域，為沿外法線方向的導(dǎo)數(shù)。證 （1）在格林公式

21、的等價形式中令得，即 （2）注4 在式中令，則（2）即化為（1）。注5 設(shè)，為空間立體的邊界，為沿外法線方向的導(dǎo)數(shù)，則有格林第一公式： 格林第二公式： 例3 用斯托克司公式計算下列積分(a) (b) 是曲線，它的方向與所圍曲面的上側(cè)構(gòu)成右手法則。解 是曲面上所圍部分的上側(cè)。它關(guān)于zx平面對稱，在xy平面的投影是。 （斯托克司公式） （，對稱性） （兩類曲面積分的關(guān)系） （，對稱性）（兩類曲面積分的關(guān)系，幾何意義）注6 這題很巧妙，是一道綜合性很強的題，用到的知識有：1、 斯托克司公式2、 兩類曲面積分的關(guān)系，曲面的法向矢量3、 對稱性4、 幾何意義例4 證明高斯積分 其中是平面上一單連通區(qū)域的邊界，而是上一點到外某一定點的距離，是的外法線方向。又若表示上一點到內(nèi)某一定點的距離，則這個積分之值等于。解 （1）設(shè)外某一定點，則， =， 注意是外某一定點，故和在內(nèi)處處連續(xù)，由格林公式得（2）設(shè)是內(nèi)某一定點，這時格林公式不再成立。以為中心，為半徑作圓，充分小使完