簡單的線性規(guī)劃問題與基本不等式作業(yè)及答案范文

1、簡單的線性規(guī)劃問題與基本不等式作業(yè)及答案一、選擇題：1.(2009·福建高考)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為 ()A5 B1 C2 D3解析：不等式組所圍成的區(qū)域如圖所示則A(1,0)，B(0,1)，C(1,1a)且a>1，SABC2，(1a)×12，解得a3. 答案：D2已知D是由不等式組所確定的平面區(qū)域，則圓x2y24在區(qū)域D內(nèi)的弧長為 ()A. B. C. D.解析：如圖，l1、l2的斜率分別是k1，k2，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠謙anAOB1，AOB，弧長·2. 答案：B3.(2009

2、83;天津高考)設(shè)變量x、y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x3y的 最小值為 ()A6 B7 C8 D23解析：約束條件 表示的平面區(qū)域如圖易知過C(2,1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z2x3y取得最小值z(mì)min2×23×17. 答案：B4(2009·陜西高考)若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是 ()A(1,2) B(4,2) C(4,0 D(2,4)解析：可行域?yàn)锳BC，如圖當(dāng)a0時(shí)，顯然成立當(dāng)a0時(shí)，直線ax2yz0的斜率kkAC1，a2.當(dāng)a0時(shí)，kkAB2，a4. 綜合得4a2.答案：B5.(2009·湖北高考)在

3、“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，某廠要將100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用400元，可裝洗衣機(jī)20臺(tái)；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用300元，可裝洗衣機(jī)10臺(tái)若每輛車至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為 ()A2 000元 B2 200元 C2 400元 D2 800元解析：設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運(yùn)輸費(fèi)用z元，根據(jù)題意，得線性約束條件求線性目標(biāo)函數(shù)z400x300y的最小值解得當(dāng)時(shí)，zmin2 200. 答案：B6(2009·四川高考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B

4、原料3噸銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元 .該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 ()A12萬元 B20萬元 C25萬元 D27萬元解析：設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為x噸，乙產(chǎn)品為y噸，則該企業(yè)可獲得利潤為z5x3y，且聯(lián)立解得由圖可知，最優(yōu)解為P(3,4)， z的最大值為z5×33×427(萬元) 答案：D7.設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且1，則xy的最小值為 ()A4 B4 C9 D16解析：由1可得xy8xy. x，y均為正實(shí)數(shù)，xy8xy82(當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立)， 即xy280，可解得4，即xy

5、16，故xy的最小值為16. 答案：D8(2009·天津高考)設(shè)a>0，b>0.若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為 ()A8 B4 C1 D.解析：是3a與3b的等比中項(xiàng)，()23a·3b. 即33ab，ab1.此時(shí)2()224(當(dāng)且僅當(dāng)ab取等號(hào)) 答案：B9已知不等式(xy)()9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為 ()A8 B6 C4 D2解析：(xy)()1a·aa12 a2 1，當(dāng)且僅當(dāng)a·等號(hào)成立， 所以()2219，即()2280，得2或4(舍)， 所以a4，即a的最小值為4.答案：C10設(shè)a、b是正實(shí)數(shù)， 以下

6、不等式>；a>|ab|b；a2b2>4ab3b2；ab>2恒成立的序號(hào)為 ()A B C D解析：a、b是正實(shí)數(shù)，ab21.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)， 不恒成立；ab>|ab|a>|ab|b恒成立；a2b24ab3b2(a2b)20，當(dāng)a2b時(shí)，取等號(hào)，不恒成立；ab2 2 >2恒成立 答案：D11.若a是b與b的等比中項(xiàng)，則的最大值為 ()A. B1 C. D.解析：a是b與b的等比中項(xiàng)， a22b2a2b22.根據(jù)基本不等式知1. 即的最大值為1. 答案：B12若a，b是正常數(shù)，ab，x，y(0，)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)利用以上結(jié)論，函數(shù)f(x)(x(

7、0，)取得最小值時(shí)x的值為 ()A1 B. C2 D.解析：由得，f(x)25.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x時(shí)f(x)取得最小值25. 答案：B二、填空題：13點(diǎn)(3,1)和(4,6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍是_解析：點(diǎn)(3,1)和(4,6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，說明將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入3x2ya后，符號(hào)相反，所以(92a)(1212a)0， 解之得7a24. 答案：(7,24)14. 設(shè)m為實(shí)數(shù)，若(x，y)|x2y225，則m的取值范圍是_解析：由題意知，可行域應(yīng)在圓內(nèi)，如圖：如果m>0，則可行域取到x5的點(diǎn)，不能在圓內(nèi)；故m0，即m0.當(dāng)mxy0繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線過

8、B點(diǎn)時(shí)為邊界位置此時(shí)m，m.0m. 答案：0m15(2010·太原模擬)若直線axby20(a>0，b>0)和函數(shù)f(x)ax11(a>0且a1)的圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式是_解析：函數(shù)f(x)ax11的圖象恒過(1,2)，故ab1，(ab)().當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)取等號(hào)，將ba代入ab1得a22，故f(x)(22)x11.答案：f(x)(22)x1116已知關(guān)于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_解析：因?yàn)閤>a，所以2x2(xa)2a2 2a2a4，即2a47，所以a，即a的最小值為. 答案：三、解答題：1

9、7已知關(guān)于x、y的二元一次不等式組(1)求函數(shù)u3xy的最大值和最小值； (2)求函數(shù)zx2y2的最大值和最小值解：(1)作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示由u3xy，得y3xu，得到斜率為3，在y軸上的截距為u，隨u變化的一組平行線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的C點(diǎn)時(shí)，截距u最大，即u最小，解方程組得C(2,3)， umin3×(2)39.當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的B點(diǎn)時(shí)，截距u最小，即u最大，解方程組得B(2,1)， umax3×215.u3xy的最大值是5，最小值是9.(2)作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示由zx2y2，得yxz1，得到斜率為，在y軸

10、上的截距為z1，隨z變化的一組平行線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的A點(diǎn)時(shí)，截距z1最小，即z最小，解方程組得A(2，3)， zmin22×(3)26.當(dāng)直線與直線x2y4重合時(shí)，截距 z1最大，即z最大，zmax426.zx2y2的最大值是6，最小值是6.18某人上午7時(shí)乘摩托艇以勻速v km/h(4v20)從A港出發(fā)到距50 km的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h(30w100)自B港向距300 km的C市駛?cè)?yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市設(shè)乘摩托艇、汽車去所需要的時(shí)間分別是x h、y h若所需的經(jīng)費(fèi)p1003(5y)2(8x)元，那么v、w分別為多少時(shí)，所需經(jīng)費(fèi)最少？并求

11、出這時(shí)所花的經(jīng)費(fèi)解：依題意，考查z2x3y的最大值，作出可行域，平移直線2x3y0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(4,10)時(shí)，z取得最大值38.故當(dāng)v12.5、w30時(shí)所需要經(jīng)費(fèi)最少，此時(shí)所花的經(jīng)費(fèi)為93元19已知a、b、c(0，)且abc1，求證：(1)(1)(1)8.證明：a、b、c(0，)且abc1，(1)(1)(1)8. 當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)20某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬

12、，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)解：(1)設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米 則總造價(jià)f(x)400×(2x)248×2x80×1621 296x12 9601 296(x)12 9601 296×2 12 96038 880(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x(x>0)， 即x10時(shí)取等號(hào)當(dāng)長為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38 880元(2)由限制條件知，10x16.設(shè)g(x)x(10x16)， 由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在10，16上是增函數(shù)，

13、當(dāng)x10時(shí)(此時(shí)16)， g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×(10)12 96038 882(元)當(dāng)長為16米，寬為10米時(shí)，總造價(jià)最低，為38 882元21.為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2010年進(jìn)行技術(shù)改革經(jīng)調(diào)查測(cè)算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費(fèi)用m萬元(m0)滿足x3(k為常數(shù))如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬件已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元由于市場行情較好，廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品均能銷售出去廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍(生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2010年該產(chǎn)品的利潤y萬元(利潤銷售金額生產(chǎn)成本技術(shù)改革費(fèi)用)表示為技術(shù)改革費(fèi)