競賽數(shù)學(xué)不等式完整

1、不等式證明的基本技巧數(shù)學(xué)競賽的歷史，可以追溯到16世紀(jì)意大利求解三次方程“擂臺(tái)戰(zhàn)”。而1894年匈牙利舉辦的全國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽，可以說是開中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的先河。中國的少年在IMO上屢屢奪標(biāo)，不僅展示了炎黃子孫的才能和苦學(xué)精神，而且肯定了中國在數(shù)學(xué)教學(xué)和奧林匹克數(shù)學(xué)培訓(xùn)中的可貴經(jīng)驗(yàn)。如果說，一名中學(xué)生，他有可能選擇是否接受競賽數(shù)學(xué)的培訓(xùn)，那作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)老師沒有理由對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中這塊領(lǐng)域毫無所知，所以作為師范生的我們有必要學(xué)好數(shù)學(xué)競賽這門課程。 在學(xué)習(xí)競賽數(shù)學(xué)這門課程過程中，我比較注重它的思想和方法，課余時(shí)間我還會(huì)借閱有關(guān)課外書籍，這些有富于我們數(shù)學(xué)創(chuàng)造力和思維能力的提高。對(duì)于不等式部分我很感興趣

2、，并做了一些研究。競賽數(shù)學(xué)中的不等式問題按范圍可分為代數(shù)不等式、三角不等式與幾何不等式，按可形式分為不等式求解、不等式證明與不等式應(yīng)用，這些都是屬于競賽數(shù)學(xué)中較重要的部分。下面就不等式證明這一部分我給大家做一些介紹。 證明不等式的主要方法是根據(jù)不等式的性質(zhì)和已知的恒不等式，進(jìn)行合乎邏輯的等價(jià)變換。不等式證明基本方法與技巧主要有比較法、放縮法、代換法、分析綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、配方與判別式法、構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)法、輔助函數(shù)法公式法、調(diào)整法等。下面舉例說明證明不等式的常用技巧。 例1 設(shè)a,b,c為正數(shù)，證明.證 .分析 這里主要是運(yùn)用了比較法，欲證AB，證A-B0即可，并且在這過程中需作適當(dāng)?shù)牡?/p>

3、量替換.若A,B>0，則證1亦可.這就是比較法的主要思路.例2 證 對(duì)自然數(shù)k，顯然成立 取倒數(shù)可得 對(duì)k從m到n求和交叉相消可得 所以，在上式的左式中m1，n80，即得16<S；在上式的右式中 令m2，n80，即得 因此16<S<17例3 證 構(gòu)造函數(shù) 所以函數(shù) 即 分析 不等式中四個(gè)式子形式相似，相當(dāng)于函數(shù)在相應(yīng)四個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，由此我們?cè)O(shè)置輔助函數(shù)來研究不等式.利用不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)增減性或極值來研究，是很有效的方法。 例4 設(shè)a，b，c是三角形的三邊長，求證 ， 證 此代換把欲證之不等式變?yōu)?又可變?yōu)?最后一式顯然成立，故知欲證不

4、等式成立，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) x=y=z, 即 a=b=c. 分析 本題證法常用于與三角形有關(guān)的不等式，構(gòu)造幾何圖形，解釋代數(shù)公式，利用幾何的性質(zhì)，推導(dǎo)相應(yīng)的結(jié)果，本題如設(shè)abc，則失去一般性（因題設(shè)不等式左邊對(duì)a，b，c不是對(duì)稱多項(xiàng)式） 例5 設(shè)x，y，z為實(shí)數(shù)，x+y+z=0，求證 證 以x，y，z為根的三次方程為（t-x）（t-y）（t-z）=0, 因 x+y+z=0,故 有三次方程有三實(shí)根可知 代入即得欲證之不等式.分析 利用和配方的證法，稱為配方法. 恒成立等價(jià)于判別式這就是二次函數(shù)判別式法。設(shè) 這是三次函數(shù)判別式法。例6 證 用數(shù)學(xué)歸納法證 當(dāng)n=2時(shí)， 假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即 綜上所述，不等式.分析 與自然數(shù)n有關(guān)的不等式問題，往往采用數(shù)學(xué)歸納法.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法， 假設(shè)n=k成立，推證n=k+1時(shí)成立，但這個(gè)過程中往往需要較高的變形技巧. 上面就是我例舉的幾個(gè)常用方法的應(yīng)用，其他方法在這里我就不一一舉例了，注意上述方法還可綜合運(yùn)用。在對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)、鉆研時(shí)，我深刻地認(rèn)識(shí)到自己專業(yè)知識(shí)還不夠精深，需要學(xué)習(xí)的東西還很多，我相信