談?wù)劺窭嗜罩兄刀ɡ淼淖C明(考研中的證明題)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上談?wù)劺窭嗜罩兄刀ɡ淼淖C明 引言 眾所周至拉格朗日中值定理是幾個(gè)中值定理中最重要的一個(gè)，是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在高等數(shù)學(xué)的一些理論推導(dǎo)中起著很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的證明方法，力求正確地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理證明的關(guān)鍵在于引入適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù). 實(shí)際上，能用來(lái)證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，因此如果以引入輔助函數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算，證明拉格朗日中值定理的方法可以說(shuō)有無(wú)數(shù)個(gè). 但事實(shí)上若從思想方法上分，我們僅發(fā)現(xiàn)五種引入輔助函數(shù)的方法. 首先對(duì)羅爾中值定理拉格朗日中值定理及其幾何意義作一概述.1羅爾中值定理如果函數(shù)滿(mǎn)足條件：在閉區(qū)間上連

2、續(xù)；在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使得羅爾中值定理的幾何意義：如果連續(xù)光滑曲線(xiàn)在點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等，那么，在弧 上至少有一點(diǎn) ，曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)平行于軸，如圖1，注意 定理中三個(gè)條件缺少其中任何一個(gè)，定理的結(jié)論將不一定成立；但不能認(rèn)為定理?xiàng)l件不全具備，就一定不存在屬于的，使得. 這就是說(shuō)定理的條件是充分的，但非必要的.2拉格朗日中值定理若函數(shù)滿(mǎn)足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使拉格朗日中值定理的幾何意義：函數(shù)在區(qū)間上的圖形是連續(xù)光滑曲線(xiàn)弧 上至少有一點(diǎn)，曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)平行于弦. 如圖2，從拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見(jiàn)，若在閉區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等

3、，即，則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理. 換句話(huà)說(shuō)，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情形.正因?yàn)槿绱?，我們只須?duì)函數(shù)作適當(dāng)變形，便可借助羅爾中值定理導(dǎo)出拉格朗日中值定理.3 證明拉格朗日中值定理3.1 教材證法證明 作輔助函數(shù) 顯然，函數(shù)滿(mǎn)足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，而且于是由羅爾中值定理知道，至少存在一點(diǎn)，使.即.3.2 用作差法引入輔助函數(shù)法證明 作輔助函數(shù) 顯然，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點(diǎn)，使得，即 推廣1 如圖3過(guò)原點(diǎn)作，由與直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率相同，即有：，的直線(xiàn)方程為：，于是引入的輔

4、助函數(shù)為：. （證明略）推廣2 如圖4過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，直線(xiàn)的方程為：，由與直線(xiàn)函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù)，于是有：. （證明略）推廣3 如圖5過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，直線(xiàn)的方程為，由與直線(xiàn)函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù)，于是有：.事實(shí)上，可過(guò)軸上任已知點(diǎn)作得直線(xiàn)為，從而利用與直線(xiàn)的函數(shù)之差構(gòu)成滿(mǎn)足羅爾中值定理的輔助函數(shù)都可以用來(lái)證明拉格朗日中值定理. 因是任意實(shí)數(shù)，顯然，這樣的輔助函數(shù)有無(wú)多個(gè).3.3 用對(duì)稱(chēng)法引入輔助函數(shù)法在第二種方法中引入的無(wú)數(shù)個(gè)輔助函數(shù)中關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)函數(shù)也有無(wú)數(shù)個(gè)，顯然這些函數(shù)也都可以用來(lái)證明拉格朗日中值定理.從幾何意義上看，上面的輔助函數(shù)是用曲線(xiàn)函數(shù)減去直線(xiàn)函數(shù)，反過(guò)來(lái)，用直線(xiàn)函數(shù)減曲線(xiàn)函數(shù)，即可得與

5、之對(duì)稱(chēng)的輔助函數(shù)如下： 等等.這類(lèi)能用來(lái)證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)顯然也有無(wú)數(shù)個(gè). 這里僅以為例給出拉格朗日中值定理的證明. 證明 顯然，函數(shù)滿(mǎn)足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；.由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)，使得，從而有，顯然可用其它輔助函數(shù)作類(lèi)似的證明.3.4 轉(zhuǎn)軸法由拉格朗日中值定理的幾何圖形可以看出，若把坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得新直角坐?biāo)系，若平行于弦，則在新的坐標(biāo)系下滿(mǎn)足羅爾中值定理，由此得拉格朗日中值定理的證明.證明 作轉(zhuǎn)軸變換，為求出，解出得 由得 ，從而，取滿(mǎn)足上式即可.由在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，知在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，因此，由羅爾中值定

6、理知，至少存在一點(diǎn)，使得 ，即 3.5 用迭加法引入輔助函數(shù)法讓迭加一個(gè)含待頂系數(shù)的一次函數(shù)，例如令或，通過(guò)使，確定出，即可得到所需的輔助函數(shù). 例如由 ，令 得，從而，而可取任意實(shí)數(shù)，這樣我們就得到了輔助函數(shù)，由的任意性易知迭加法可構(gòu)造出無(wú)數(shù)個(gè)輔助函數(shù)，這些函數(shù)都可用于證明拉格朗日中值定理.3.6 用行列式引入輔助函數(shù)法證明 構(gòu)造一個(gè)含且滿(mǎn)足羅爾中值定理的函數(shù)，關(guān)鍵是滿(mǎn)足.我們從行列式的性質(zhì)想到行列式的值在時(shí)恰恰均為0，因此可設(shè)易證，展開(kāi)得.因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，所以在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，所以由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)，使得. 因?yàn)榧矗?3.7 數(shù)形相結(jié)合法引

7、理 在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則面積為，這一引理的證明在這里我們不做介紹，下面我們利用這一引理對(duì)拉格朗日中值定理作出一種新的證明. 這種方法是將數(shù)形相結(jié)合，考慮實(shí)際背景刻意構(gòu)造函數(shù)使之滿(mǎn)足羅爾中值定理的條件.如圖， 設(shè)是直線(xiàn)與從點(diǎn)開(kāi)始的第一個(gè)交點(diǎn)，則構(gòu)造，易驗(yàn)證滿(mǎn)足羅爾中值定理的條件：在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，而且，則至少存在一點(diǎn)，使，即： 但是，這是因?yàn)椋绻?，則，這樣使得成為直線(xiàn)與從點(diǎn)的第一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾）. 故，即. 若只從滿(mǎn)足羅爾中值定理的要求出發(fā)，我們可以擯棄許多限制條件，完全可以構(gòu)造來(lái)解決問(wèn)題，從而使形式更簡(jiǎn)潔，而且啟發(fā)我們做進(jìn)一步的推廣：可構(gòu)造來(lái)證明

8、柯西中值定理. 3.8 區(qū)間套定理證法證明 將區(qū)間二等分，設(shè)分點(diǎn)為，作直線(xiàn)，它與曲線(xiàn) 相交于，過(guò)作直線(xiàn)弦. 此時(shí)，有如下兩種可能: 若直線(xiàn)與曲線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，則曲線(xiàn)必在直線(xiàn) 的一側(cè).否則，直線(xiàn)不平行于直線(xiàn). 由于曲線(xiàn)在點(diǎn)處有切線(xiàn)，根據(jù)曲線(xiàn)上一點(diǎn)切線(xiàn)的定義，直線(xiàn)就是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，從而.由作法知，在區(qū)間內(nèi)部，取于是有 若直線(xiàn)與曲線(xiàn)還有除外的其他交點(diǎn)，設(shè)為另外一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)選取以為端點(diǎn)的區(qū)間，記作，有, ，把作為新的“選用區(qū)間”，將二等分，并進(jìn)行與上面同樣的討論，則要么得到所要求的點(diǎn)，要么又得到一個(gè)新“選用區(qū)間”.如此下去，有且只有如下兩種情形中的一種發(fā)生: (a) 在逐次等分“選用區(qū)間”的過(guò)程

9、中，遇到某一個(gè)分點(diǎn)，作直線(xiàn)它與曲線(xiàn)交于，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)弦, 它與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)取即為所求.(b) 在逐次等分“選用區(qū)間”的過(guò)程中，遇不到上述那種點(diǎn)，則得一閉區(qū)間序列，滿(mǎn)足: 由知，構(gòu)成區(qū)間套，根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求. 事實(shí)上，存在，由，所以，從“選用區(qū)間”的取法可知，確在的內(nèi)部. 3.9 旋轉(zhuǎn)變換法證明 引入坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換: 因?yàn)?所以有逆變換: 由于滿(mǎn)足條件: 在閉區(qū)間上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，因此式中函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).為使?jié)M足羅爾中值定理的第三個(gè)條件，只要適當(dāng)選取旋轉(zhuǎn)角，使, 即，也即 .這樣，函數(shù)就滿(mǎn)足了羅爾中值定理的全部條件，從而至少存在一點(diǎn)，使

10、即. 由于所選取旋轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足，所以.結(jié)論本論文僅是對(duì)拉格朗日中值定理的證明方法進(jìn)行了一些歸納總結(jié)其中還有很多方法是我沒(méi)有想到的，而且里面還有很多不足之處需要進(jìn)一步的修改與補(bǔ)充. 通過(guò)這篇論文我只是想讓人們明白數(shù)學(xué)并不是純粹的數(shù)字游戲，里面包含了很多深?yuàn)W的內(nèi)容. 而且更重要的是我們應(yīng)該學(xué)會(huì)去思考，學(xué)會(huì)凡是多問(wèn)幾個(gè)為什么，不要讓自己僅僅局限于課本上的內(nèi)容，要開(kāi)動(dòng)腦筋學(xué)會(huì)舉一反三，不要單純?yōu)榱藢W(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，讓自己做知識(shí)的主人！ 總之，數(shù)學(xué)的發(fā)展并非是無(wú)可置疑的，也并非是反駁的復(fù)雜過(guò)程，全面的思考問(wèn)題有助于我們思維能力的提高，也有助于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng). 參考文獻(xiàn) 1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）（

11、第二版）M.北京：高等教育出版社.1991：153-1612 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))M.北京：人民教育出版社.1979：194-1963 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)（第一冊(cè)）M.北京：高等教育出版社（第五版）.2004：143-1534 周性偉,劉立民. 數(shù)學(xué)分析M.天津：南開(kāi)大學(xué)出版社.1986：113-1245 林源渠,方企勤. 數(shù)學(xué)分析解題指南M.北京：北京大學(xué)出版社.2003：58-676 孫清華等. 數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（上）M.武漢：華中科技大學(xué)出版社.2003：98-1067 洪毅. 數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）M.廣州：華南理工大學(xué)出版社.2001：111-1138 黨宇飛. 促使思維教學(xué)進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂的幾點(diǎn)作法J.上海：數(shù)學(xué)通報(bào).2001,1：15-189 王愛(ài)云. 高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)和教學(xué)改革研究與實(shí)踐J.西安：數(shù)學(xué)通報(bào).2002,2：84-88 10 謝惠民等. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義M.北京：高等教育出版社.2003：126-13511 劉玉蓮,楊奎元等. 數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)（上冊(cè)）M.北京：高等教出版社.1994：98-11212 北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系. 高等代數(shù). 北京：人民教育出版社. 1978:124-13513 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M.北京：高等教育出版社.1993：102-11014 鄭琉信.數(shù)學(xué)方法論M.南京：廣西教育出版社