恒成立與存在性問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 專題五專題五 恒成立問題恒成立問題 主干知識整合主干知識整合 1在代數(shù)綜合問題中常遇到恒成立問題恒成立問題涉及常見函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透在代數(shù)綜合問題中常遇到恒成立問題恒成立問題涉及常見函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法求知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法求解解 2恒成立問題

2、在解題過程中大致可分為以下幾種類型：恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型： (1)xD，f(x)C；(2)xD，f(x)g(x)； (3)x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C； (4)x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|. 3不等式恒成立問題的不等式恒成立問題的處理方法處理方法 (1)轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值 若不等式若不等式 Af(x)在區(qū)間在區(qū)間 D 上恒成立，則等價于在區(qū)間上恒成立，則等價于在區(qū)間 D 上上 Af(x)在區(qū)間在區(qū)間 D 上恒成立，則等價于在區(qū)間上恒成立，則等價于在區(qū)間 D 上上 Bf(x)maxf(x)的上界小于的上界小于B. (2)分

3、離參數(shù)法分離參數(shù)法 將參數(shù)與變量分離，即化為將參數(shù)與變量分離，即化為 g()f(x)(或或 g()f(x)恒成立的形式；恒成立的形式； 求求 f(x)在在 xD 上的最大上的最大(或最小或最小)值；值； 解不等式解不等式 g()f(x)max(或或 g()f(x)min)，得，得 的取值范圍的取值范圍 (3)轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖象問題轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖象問題 若不等式若不等式 f(x)g(x)在區(qū)間在區(qū)間 D 上恒成立， 則等價于在區(qū)間上恒成立， 則等價于在區(qū)間 D 上函數(shù)上函數(shù) yf(x)和圖象在函數(shù)和圖象在函數(shù) yg(x)圖象上方；圖象上方； 若不等式若不等式 f(x)g g( (x x) )的研究的研

4、究 對于形如對于形如xD， f(x)g(x)的問題， 需要先設(shè)函數(shù)的問題， 需要先設(shè)函數(shù) yf(x)g(x)， 再轉(zhuǎn)化為， 再轉(zhuǎn)化為xD，ymin0. 例例 1 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x|xa|2x. (1)若函數(shù)若函數(shù) f(x)在在 R 上是增函數(shù)，求實數(shù)上是增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍；的取值范圍； (2)求所有的實數(shù)求所有的實數(shù) a，使得對任意，使得對任意 x1,2時，函數(shù)時，函數(shù) f(x)的圖象恒在函數(shù)的圖象恒在函數(shù) g(x)2x1 圖象的圖象的下方下方 【點評】【點評】 在處理在處理 f(x)c 的恒成立問題時，如果函數(shù)的恒成立問題時，如果函數(shù) f(x)含有參數(shù)，一般有兩種處理

5、方法：含有參數(shù)，一般有兩種處理方法：一是參數(shù)分離，將含參數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)，再求出最值即可；二是如果不能參數(shù)分一是參數(shù)分離，將含參數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)，再求出最值即可；二是如果不能參數(shù)分離，可以用分類討論處理函數(shù)離，可以用分類討論處理函數(shù) f(x)的最值的最值 已知已知 f(x)x36ax29a2x(aR)，當(dāng)，當(dāng) a0 時，若對時，若對x0,3有有 f(x)4 恒成恒成立，求實數(shù)立，求實數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 【解答】【解答】 f(x)3x212ax9a23(xa)(x3a)，故，故 f(x)在在(0，a)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(a,3a)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，

6、在(3a，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 (1)當(dāng)當(dāng) a3 時，函數(shù)時，函數(shù) f(x)在在0,3上遞增，所以函數(shù)上遞增，所以函數(shù) f(x)在在0,3上的最大值是上的最大值是 f(3)， 若對若對x0,3有有 f(x)4 恒成立，需要有恒成立，需要有 f 3 4，a3，解得解得 a . 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) (2)當(dāng)當(dāng) 1a3 時，有時，有 a33a，此時函數(shù)，此時函數(shù) f(x)在在0，a上遞增，在上遞增，在a,3上遞減，所以函數(shù)上遞減，所以函數(shù) f(x)在在0,3上的最大值上的最大值是是 f(a)，若對，若對x0,3有有 f(x)4 恒成立，需要有恒成立，需要有 f a 4，1

7、a3，解得解得 a1. (3)當(dāng)當(dāng) a3a，此時函數(shù)，此時函數(shù) f(x)在在a,3a上遞減，在上遞減，在3a,3上遞增，所以函數(shù)上遞增，所以函數(shù) f(x)在在0,3上的最大值是上的最大值是 f(a)或者是或者是 f(3) 由由 f(a)f(3)(a3)2(4a3)， 0a34時，時，f(a)f(3)， 若對若對x0,3有有 f(x)4 恒成立，需要有恒成立，需要有 f 3 4，0a34，解得解得 a 12 39，34. 34af(3)， 若對若對x0,3有有 f(x)4 恒成立，需要有恒成立，需要有 f a 4，34a1， 解得解得 a 34，1 .綜上所述，綜上所述，a 12 39，1 .

8、探究點二探究點二 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C 的研究的研究 對于形如對于形如x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C 的問題，因為的問題，因為|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以，所以原命題等價為原命題等價為 f(x)maxf(x)minC. 例例 2 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax3bx23x(a，bR)，在點，在點(1，f(1)處的切線方程為處的切線方程為 y20. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的解析式；的解析式； (2)若對于區(qū)間若對于區(qū)間2,2上任意兩個自變量的值上任意兩個自變量的值 x1，x2，都有，都有|f(x1)f(x2)|c，求實數(shù)，求實數(shù)

9、c 的最小值的最小值 【點評】【點評】 在處理這類問題時，因為在處理這類問題時，因為 x1，x2是兩個不相關(guān)的變量，所以可以等價為函數(shù)是兩個不相關(guān)的變量，所以可以等價為函數(shù) f(x)在區(qū)在區(qū)間間 D 上的函數(shù)差的最大值小于上的函數(shù)差的最大值小于 c，如果，如果 x1，x2是兩個相關(guān)變量，則需要代入是兩個相關(guān)變量，則需要代入 x1，x2之間的關(guān)系之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為一元問題式轉(zhuǎn)化為一元問題 探究點三探究點三 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|的研究的研究 形如形如x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|這樣的問題，首先需要根據(jù)函數(shù)這樣的問題，首先需要根據(jù)函數(shù) f(x)

10、的單調(diào)性去的單調(diào)性去掉掉|f(x1)f(x2)|a|x1x2|中的絕對值符號，再構(gòu)造函數(shù)中的絕對值符號，再構(gòu)造函數(shù) g(x)f(x)ax，從而將問題轉(zhuǎn)化為新函，從而將問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)數(shù) g(x)的單調(diào)性的單調(diào)性 例例 3 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x1alnx(aR) (1)求證：求證：f(x)0 恒成立的充要條件是恒成立的充要條件是 a1； (2)若若 a1 時，時，f(x)0，所以函數(shù)，所以函數(shù) f(x)在在(1，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， 當(dāng)當(dāng) 0 x1 時，時，f(x)0. (i)當(dāng)當(dāng) a0 時，時，f(x)0 恒成立，所以函數(shù)恒成立，所以函數(shù) f(x)在在(0，)上是增函數(shù)上是增函數(shù)

11、 而而 f(1)0，所以當(dāng)，所以當(dāng) x(0,1)時，時，f(x)0 時，時， 因為當(dāng)因為當(dāng) xa 時，時，f(x)0，所以函數(shù)，所以函數(shù) f(x)在在(a，)上是增函數(shù)；上是增函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) 0 xa 時，時，f(x)0，所以函數(shù)，所以函數(shù) f(x)在在(0，a)上是減函數(shù)上是減函數(shù) 所以所以 f(x)f(a)a1alna. 因為因為 f(1)0，所以當(dāng)，所以當(dāng) a1 時，時，f(a)f(1)0，此時與，此時與 f(x)0 恒成立相矛盾恒成立相矛盾 所以所以 a1， 綜上所述，綜上所述，f(x)0 恒成立的充要條件是恒成立的充要條件是 a1. (2)由由(1)可知，當(dāng)可知，當(dāng) a0 時，函數(shù)時，

12、函數(shù) f(x)在在(0,1上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，又函數(shù)又函數(shù) y1x在在(0,1上是減函數(shù)，上是減函數(shù)， 不妨設(shè)不妨設(shè) 0 x1x21，則，則|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x1)， 1x11x21x11x2， 所以所以|f(x1)f(x2)|4 1x11x2等價于等價于 f(x2)f(x1)4x14x2，即，即 f(x2)4x2f(x1)4x1. 設(shè)設(shè) h(x)f(x)4xx1alnx4x. 則則|f(x1)f(x2)|4 1x11x2等價于函數(shù)等價于函數(shù) h(x)在區(qū)間在區(qū)間(0,1上是減函數(shù)上是減函數(shù) 因為因為 h(x)1ax4x2x2ax4x2， 所以所證命題等價于證所以所證命

13、題等價于證 x2ax40 在在 x(0,1時恒成立，時恒成立， 即即 ax4x在在 x(0,1上恒成立，即上恒成立，即 a 不小于不小于 yx4x在區(qū)間在區(qū)間(0,1內(nèi)的最大值內(nèi)的最大值 而函數(shù)而函數(shù) yx4x在區(qū)間在區(qū)間(0,1上是增函數(shù)，所以上是增函數(shù)，所以 yx4x的最大值為的最大值為3， 所以所以 a3.又又 a0.故故 sin x10 在在1，)上恒成立，上恒成立， 只需只需 sin 110，即，即 sin1，只有，只有 sin1.結(jié)合結(jié)合 (0，)，得，得 2. 例題解答：例題解答： 例 1： 【解答】【解答】 (1)f(x)x|xa|2x x2 2a x，xa，x2 2a x，x

14、a. 由由 f(x)在在 R 上是增函數(shù)，則上是增函數(shù)，則 a2a2，a2a2，即即2a2， 故故 a 的取值范圍為的取值范圍為2a2. (2)由題意得對任意的實數(shù)由題意得對任意的實數(shù) x1,2，f(x)g(x)恒成立，即恒成立，即 x|xa|1 在在1,2恒成立，也即恒成立，也即 x1xa0，從而，從而 x1x為增函數(shù)，由此得為增函數(shù)，由此得 x1xmax32； 當(dāng)當(dāng) x1,2時，時， x1x11x20，從而，從而 x1x為增函數(shù)，由此得為增函數(shù)，由此得 x1xmin2， 所以所以32a2a+x 恒成立的 x 的取值范圍。 6. 已知函數(shù) xxfln， bxaxxg221，0a. 精選優(yōu)質(zhì)文

15、檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 若2b，且 xgxfxh存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； 7. 設(shè)3x 是函數(shù)23( )()()xf xxaxb exR的一個極值點. （）求a與b的關(guān)系式（用a表示b） ，并求( )f x的單調(diào)區(qū)間； （）設(shè)0a，225( )()4xg xae,若存在12,0,4 使12( )()1fg成立，求a的范圍. 參考解答參考解答：1.（1）設(shè) aaxxxf2.則關(guān)于x的不等式02aaxx的解集為),( 0 xf在,上恒成立 0minxf, 即 , 0442minaaxf解得04a （2）設(shè) aaxxxf2.則關(guān)于x的不等式32aaxx的解集不是空集 3xf在,

16、上能成立 3minxf, 即 , 3442minaaxf解得6a或2a. 2. 關(guān)鍵在于對甲，乙，丙的解題思路進(jìn)行思辨，這一思辨實際上是函數(shù)思想的反映. 設(shè) 232255,f xxxxg xax. 甲的解題思路，實際上是針對兩個函數(shù)的，即把已知不等式的兩邊看作兩個函數(shù)， 設(shè) 232255,f xxxxg xax 其解法相當(dāng)于解下面的問題： 對于121,12 ,1,12xx,若 12f xg x恒成立,求a的取值范圍. 所以，甲的解題思路與題目1,12x, f xg x恒成立,求a的取值范圍的要求不一致.因而, 甲的解題思路不能解決本題. 按照丙的解題思路需作出函數(shù) 232255f xxxx的圖

17、象和 g xax的圖象,然而,函數(shù) f x的圖象并不容易作出. 由乙的解題思路,本題化為 f xax在1,12x上恒成立,等價于1,12x時, minf xax成立. 由 255f xxx xxx在51,12x 時,有最小值10,于是,10a. 3. 依定義,) 1()1 ()(232ttxxxxtxxxf .23)(2txxxf則 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) xf在區(qū)間1 , 1上是增函數(shù)等價于 0 xf在區(qū)間1 , 1上恒成立; 而 0 xf在區(qū)間1 , 1上恒成立又等價于xxt232在區(qū)間1 , 1上恒成立; 設(shè) 1 , 1,232xxxxg 進(jìn)而 xgt 在區(qū)間1 ,

18、 1上恒成立等價于 1 , 1,maxxxgt 考慮到 1 , 1,232xxxxg在31, 1上是減函數(shù),在1 ,31上是增函數(shù), 則 51max gxg. 于是, t的取值范圍是5t. 4. 解法 1.由題意 2335g xxaxa，這一問表面上是一個給出參數(shù)a的范圍，解不等式 0g x 的問題，實際上，把以x為變量的函數(shù) g x，改為以a為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問題，即 令 2335ax ax，11a ，則對11a ，恒有 0g x ，即 0a，從而轉(zhuǎn)化為對11a ， 0a恒成立，又由 a是a的一次函數(shù)，因而是一個單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點得到.為此 只需 1010

19、即22320,380.xxxx 解得213x. 故2,13x 時，對滿足11a 的一切a的值，都有 0g x . 解法 2.考慮不等式 23350g xxaxa . 由11a 知,236600aa,于是,不等式的解為 223660366066aaaaaax. 但是,這個結(jié)果是不正確的,因為沒有考慮a的條件,還應(yīng)進(jìn)一步完善. 為此,設(shè) 2236603660,66aaaaaag ah a. 不等式化為 , 11g axh aa 恒成立,即 maxmin, 11g axh aa . 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 由于 236606aaag a在11a 上是增函數(shù),則 max213g

20、ag , 236606aaah a在11a 上是減函數(shù),則 min11.h ah所以, 213x. 故2,13x 時，對滿足11a 的一切a的值，都有 0g x . 5.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x 及 a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將 a 視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于 a 的一次函數(shù)大于0 恒成立的問題。 解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+10, 設(shè) f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則 f(a)在-2,2上恒大于 0，故有： )2(0)2(ff0即0103422xxx解得：1113xxxx或或 x3. 6. 只研究

21、第（I）問.xaxxxhb221ln)(,22 時，則.1221)(2xxaxaxxxh 因為函數(shù) h x存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以( )0h x有解.由題設(shè)可知, xh的定義域是, 0 , 而 0 xh在, 0上有解,就等價于 0 xh在區(qū)間, 0能成立, 即xxa212, , 0 x成立, 進(jìn)而等價于 xuamin成立,其中 xxxu212. 由 xxxu2121112x得, 1minxu. 于是,1a, 由題設(shè)0a,所以a的取值范圍是 , 00 , 1 7. 本題的第（） “若存在12,0,4 使得12( )()1fg成立，求a的取值范圍.”如何理解這一設(shè)問呢？如果函數(shù) f x在0,4x的值

22、域與 g x在0,4x的值域的交集非空，則一定存在12,0,4 使得12( )()1fg成立，如果函數(shù) f x在0,4x的值域與 g x在0,4x的值域的交集是空集，只要這兩個值域的距離的最小值小于 1 即可. 由（）可得,函數(shù) f x在0,4x的值域為323,6ae a, 又 g x在0,4x的值域為2242525,44aae, 存在12,0,4 使得12( )()1fg成立， 等價于 maxmin1fxgx或 maxmin1gxfx，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 容易證明,2254a 6a.于是, 22561,30420.aaaa. 專題六專題六 存在性問題存在性問題 1在

23、代數(shù)綜合問題中常遇到存在性問題與恒成立問題類似，存在性問題涉及常見函數(shù)的性質(zhì)、圖象，在代數(shù)綜合問題中常遇到存在性問題與恒成立問題類似，存在性問題涉及常見函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法 2存在性問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：存在性問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型： (1)xD，f(x)C；(2)xD，f(x)g(x)； (3)x1D，x2D，f(x1)g(x2)； (4)x1D，x2D，f(x1)g(x2) 3存在性問題處理方法存在性問題處理方法 (1)轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值；轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值；(2)分

24、離參數(shù)分離參數(shù)法；法； (3)(3)轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖象問題；轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖象問題；(4)(4)轉(zhuǎn)化為恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題 探究點一探究點一 x xD D，f f( (x x)g g( (x x) )的研究的研究 對于對于xD，f(x)g(x)的研究，先設(shè)的研究，先設(shè) h(x)f(x)g(x)，再等價為，再等價為xD，h(x)max0，其中若，其中若 g(x)c，則等價為則等價為xD，f(x)maxc. 例例 1 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x3ax210. (1)當(dāng)當(dāng) a1 時，求曲線時，求曲線 yf(x)在點在點(2，f(2)處的切線方程；處的切線方程； (2)在區(qū)間在區(qū)間1,2內(nèi)至少存在一個

25、實數(shù)內(nèi)至少存在一個實數(shù) x，使得，使得 f(x)0 成立，求實數(shù)成立，求實數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 【解答】【解答】 (1)當(dāng)當(dāng) a1 時時，f(x)3x22x，f(2)14， 曲線曲線 yf(x)在點在點(2，f(2)處的切線斜率處的切線斜率 kf(2)8， 所以曲線所以曲線 yf(x)在點在點(2，f(x)處的切線方程為處的切線方程為 8xy20. (2)解法一：解法一：f(x)3x22ax3x x23a (1x2)， 當(dāng)當(dāng)23a1，即，即 a32時，時，f(x)0，f(x)在在1,2上為增函數(shù)，上為增函數(shù)， 故故 f(x)minf(1)11a，所以，所以 11a11，這與，這與 a3

26、2矛盾矛盾 當(dāng)當(dāng) 123a2，即，即32a3 時，時， 當(dāng)當(dāng) 1x23a，f(x)0；當(dāng)；當(dāng)23a0， 所以所以 x23a 時，時，f(x)取最小值，取最小值， 因此有因此有 f 23a 0，即，即827a349a310427a3103352，這與，這與32a3 矛盾；矛盾； 當(dāng)當(dāng)23a2，即，即 a3 時，時，f(x)0，f(x)在在1,2上為減函數(shù)，所以上為減函數(shù)，所以 f(x)minf(2)184a，所以，所以 184a92，這符合，這符合 a3. 綜上所述，綜上所述，a 的取值范圍為的取值范圍為 a92. 解法二：由已知得：解法二：由已知得：ax310 x2x10 x2， 設(shè)設(shè) g(x

27、)x10 x2(1x2)，g(x)120 x3， 1x2，g(x)92. 【點評】【點評】 解法一在處理時，需要用分類討論的方法，討論的關(guān)鍵是極值點與區(qū)間解法一在處理時，需要用分類討論的方法，討論的關(guān)鍵是極值點與區(qū)間1,2的關(guān)系；解法二的關(guān)系；解法二是用的參數(shù)分離，由于是用的參數(shù)分離，由于 ax2x310 中中 x21,4，所以可以進(jìn)行參數(shù)分離，而無需要分類討論，所以可以進(jìn)行參數(shù)分離，而無需要分類討論 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x(xa)2，g(x)x2(a1)xa(其中其中 a 為常數(shù)為常數(shù)) (1)如果函數(shù)如果函數(shù) yf(x)和和 yg(x)有

28、相同的極值點，求有相同的極值點，求 a 的值；的值； (2)設(shè)設(shè) a0，問是否存在，問是否存在 x0 1，a3，使得，使得 f(x0)g(x0)，若存在，請求出實數(shù)，若存在，請求出實數(shù) a 的取值范圍；若不存在，的取值范圍；若不存在，請說明理由請說明理由 【解答】【解答】 (1)f(x)x(xa)2x32ax2a2x， 則則 f(x)3x24axa2(3xa)(xa)， 令令 f(x)0，得，得 xa 或或a3，而，而 g(x)在在 xa12處有極處有極大值大值 a12aa1，或，或a12a3a3. 綜上，綜上，a3 或或 a1. (2)假設(shè)存在，即存在假設(shè)存在，即存在 x0 1，a3，使得，

29、使得 f(x0)g(x0)x0(x0a)2x20(a1)x0a x0(x0a)2(x0a)(x01)(x0a)x20(1a)x010， 當(dāng)當(dāng) x0 1，a3時，又時，又 a0，故，故 x0a0， 則存在則存在 x0 1，a3，使得，使得 x20(1a)x01a3，即，即 a3 時，由時，由 a32(1a) a313 或或 a3； 當(dāng)當(dāng)1a12a3，即，即 0a3 時，時，4 a1 240 得得 a3，a 無解無解 綜上，綜上，a3. 探究點二探究點二 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究的研究 對于對于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，若函數(shù)的研究，若函數(shù) f(x)的值域為的值

30、域為 C1，函數(shù)，函數(shù) g(x)的值域為的值域為 C2，則該問題，則該問題等價為等價為 C1C2. 例例 2 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) f(x)13x313x253x4. (1)求求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)設(shè) a1，函數(shù)，函數(shù) g(x)x33a2x2a.若對于任意若對于任意 x10,1，總存在，總存在 x00,1，使得，使得 f(x1)g(x0)成立，求成立，求a 的取值范圍的取值范圍 【解答】【解答】 (1)f(x)x223x53，令，令 f(x)0，即，即 x223x530， 解得解得53xg(x2)的研究的研究 對于對于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，第一步先轉(zhuǎn)化為的

31、研究，第一步先轉(zhuǎn)化為x2D，f(x1)ming(x2)，再將該問題按照，再將該問題按照探究點一轉(zhuǎn)化為探究點一轉(zhuǎn)化為 f(x1)ming(x2)min. 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 例例 3 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)2|xm|和函數(shù)和函數(shù) g(x)x|xm|2m8. (1)若方程若方程 f(x)2|m|在在4，)上恒有惟一解，求實數(shù)上恒有惟一解，求實數(shù) m 的取值范圍；的取值范圍； (2)若對任意若對任意 x1(，4，均存在，均存在 x24，)， 使得使得 f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)成立，求實數(shù) m 的取值范圍的取值范圍 【解答】【解答】 (1)由由 f(x)2|m|在

32、在 x4，)上恒有惟一解，上恒有惟一解， 得得|xm|m|在在 x4，)上恒有惟一解上恒有惟一解 當(dāng)當(dāng) xmm 時，得時，得 x2m，則，則 2m0 或或 2m4， 即即 m2 或或 m0. 綜上，綜上，m 的取值范圍是的取值范圍是 m2 或或 m0. (2)f(x) 2xm xm ，2mx xg(x2)min. 當(dāng)當(dāng) 4m8 時時，f(x)在在(，4上單調(diào)遞減，故上單調(diào)遞減，故 f(x)f(4)2m4，g(x)在在4，m上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，m，)上單調(diào)遞增，故上單調(diào)遞增，故 g(x)g(m)2m8，所以，所以 2m42m8，解得，解得 4m6. 所以所以 4m5 或或 68 時，時，f(

33、x)在在(，4上單調(diào)遞減，故上單調(diào)遞減，故 f(x)f(4)2m4，g(x)在在 4，m2單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， m2，m 上單上單調(diào)遞減，調(diào)遞減，m，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， g(4)6m24g(m)2m8， 故故 g(x)g(m)2m8，所以，所以 2m42m8， 解得解得 4m6.所以所以 m8. 0m4 時，時，f(x)在在(，m上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，m,4上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 故故 f(x)f(m)1.g(x)在在4，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 故故 g(x)g(4)82m，所以，所以 82m1，即，即72m4. m0 時，時，f(x)在在(，m上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，m,4上

34、單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 故故 f(x)f(m)1.g(x)在在4，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 故故 g(x)g(4)82m，所以，所以 82m72(舍去舍去) 綜上，綜上，m 的取值范圍是的取值范圍是 72，5 (6，) 【點評】【點評】 對于對于xD，f(x)c，可以轉(zhuǎn)化為，可以轉(zhuǎn)化為 f(x)minc；xD，cg(x)，可以轉(zhuǎn)化為，可以轉(zhuǎn)化為 cg(x)min，所以本，所以本問題類型可以分兩步處理，轉(zhuǎn)化為問題類型可以分兩步處理，轉(zhuǎn)化為 f(x)ming(x)min. 1 對于恒成立問題或存在性問題常見基本類型為對于恒成立問題或存在性問題常見基本類型為xD， f(x)c， 可以轉(zhuǎn)化， 可以轉(zhuǎn)

35、化為為 f(x)minc； xD， cg(x)，可以轉(zhuǎn)化為可以轉(zhuǎn)化為 cg(x)min，xD，cg(x)，可以轉(zhuǎn)化為，可以轉(zhuǎn)化為 cy|yg(x)，對于由這些含有量詞的命題組合而成，對于由這些含有量詞的命題組合而成的含有兩個量詞命題的問題，可以采取分步轉(zhuǎn)化的方法來處理的含有兩個量詞命題的問題，可以采取分步轉(zhuǎn)化的方法來處理 2對于含有參數(shù)的恒成立問題或存在性問題，常用的處理方法有分類討論或參數(shù)分離，并借助于函數(shù)對于含有參數(shù)的恒成立問題或存在性問題，常用的處理方法有分類討論或參數(shù)分離，并借助于函數(shù)圖象來解決問題圖象來解決問題 (教材選修教材選修 21 P20 復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)題 5 改編改編) 例例 命

36、題命題“x(0，)，x2ax10”為真命題，則為真命題，則 a 的取值范圍為的取值范圍為_ 【分析】【分析】 本題可以參數(shù)分離，等價為本題可以參數(shù)分離，等價為xD，f(x)a，即，即 f(x)mina. 【答案】【答案】 a2 【解析】【解析】 原命題等價為原命題等價為x(0，)，x21xa，令，令 f(x)x21xx1x2，所以，所以 a2. 已知命題已知命題“xR，|xa|x1|2”是假命題，則實數(shù)是假命題，則實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是_ (，3)(1，) 【解析】【解析】 由題意知，原命題的否定由題意知，原命題的否定“xR，|xa|x1|2”為真命題，為真命題，又又|xa|x1|a1|，所以，所以|a1|2，解得，解得 a1 或或