第2章測量誤差和測量結(jié)果處理

1、第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理第第2 2章章 測量誤差和測量結(jié)果處理測量誤差和測量結(jié)果處理2.1 2.1 測量誤差的基本概念測量誤差的基本概念2.2 2.2 測量不確定度及測量結(jié)果的表征測量不確定度及測量結(jié)果的表征2.3 2.3 加權(quán)平均與回歸分析加權(quán)平均與回歸分析小小 結(jié)結(jié)習(xí)習(xí) 題題 二二第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 2.1 2.1 測量誤差的基本概念測量誤差的基本概念 一、與誤差有關(guān)的基本概念一、與誤差有關(guān)的基本概念 1 1真值真值 一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客客觀大小或真實數(shù)值觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值。要想得稱作它的真值。要想得到真值，必須利用理想

2、的量具或測量儀器到真值，必須利用理想的量具或測量儀器進行無誤差的測量。由此可推斷，進行無誤差的測量。由此可推斷，物理量物理量的真值實際上是無法測得的的真值實際上是無法測得的。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 這首先因為這首先因為，“理想”量具或測量儀器即測量過程的參考比較標(biāo)準(zhǔn)（或叫計量標(biāo)準(zhǔn)）只是一個純理論值。例如電流的計量標(biāo)準(zhǔn)安培電流的計量標(biāo)準(zhǔn)安培，按國際計量委員會和第九屆國際計量大會的決議，定義為“安培是一恒定電流，若保持在安培是一恒定電流，若保持在處于真空中相距處于真空中相距l(xiāng) l米的兩根無限長而圓截面可忽略的平行米的兩根無限長而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力為每米長度上

3、等于直導(dǎo)線內(nèi)，則此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力為每米長度上等于2 2l0l0-7-7牛頓牛頓”，顯然這樣的電流計量標(biāo)準(zhǔn)是一個理想的而實際上無法實現(xiàn)的理論值。因而，某電流的真值我們無法實際測得，因為沒有符合定義的可供實際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)，盡管隨著科技水平的提高，可供實際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)可以愈來愈逼近理想的理論定義值。 其次其次，在測量過程中由于各種主觀、客觀因素的影響，做到無誤差的測量也是不可能的。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理2 2指定值（約定真值）指定值（約定真值）: :一般就用來代替真值 由于絕對真值是不可知的絕對真值是不可知的，所以一般由國家由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實物標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)），設(shè)

4、立各種盡可能維持不變的實物標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)），以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指定值的指定值。如指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1kg；指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫-l33原子基態(tài)的兩個超精細(xì)能級之間躍遷所對應(yīng)的輻射的9 192 63l 770個周期的持續(xù)時間為1s（秒）等。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。 第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 3 3實際值實際值 實際測量中，不可能都直接與國家基準(zhǔn)相比對，國實際測量中，不可能都直接與國家基準(zhǔn)相比對，國家通過一系列的各級實

5、物計量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成家通過一系列的各級實物計量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)量值傳遞網(wǎng)，把國家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計量單位逐級比較傳遞到日常把國家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計量單位逐級比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。工作儀器或量具上去。在每一級的比較中，都在每一級的比較中，都以上一級標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)以上一級標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，通常稱為實際值，也叫作相對真作準(zhǔn)確無誤的值，通常稱為實際值，也叫作相對真值值，比如如果更高一級測量器具的誤差為本級測量，比如如果更高一級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的器具誤差的1/31/3到到 l/l0l/l0，就可以認(rèn)為更高一級測量，就可以認(rèn)為更高一級測量器具的測得值（示值）為真值。器具的測

6、得值（示值）為真值。在本課程后面的敘述中，不再對實際值和真值加以在本課程后面的敘述中，不再對實際值和真值加以區(qū)別。區(qū)別。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 4.4.標(biāo)稱值標(biāo)稱值: :測量器具上標(biāo)定的數(shù)值測量器具上標(biāo)定的數(shù)值如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的lkg，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來的電動勢1.018 6V，標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率100kHz等。由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值值。為此，在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級。第2章 測量誤差和測

7、量結(jié)果處理 5 5示值示值: :由測量器具指示的被測量量值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數(shù)值和單位。指針式模擬表，其讀數(shù)和示值的關(guān)系。指針式模擬表，其讀數(shù)和示值的關(guān)系。如：以如：以l00l00分度表示分度表示50mA50mA的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上5050分分度時，讀數(shù)是度時，讀數(shù)是5050，而示值是，而示值是25mA25mA。為便于核查測量結(jié)果，在記錄測量數(shù)據(jù)時，一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值（當(dāng)然還要記載測量方法，連接圖，測量環(huán)境，測量用儀器及編號及測量者姓名、測量日期）。數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。第

8、2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 6 6測量誤差：測量誤差：測量儀器儀表的測得值與被測量真測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異值之間的差異 在實際測量中，由于測量器具不準(zhǔn)確，測量手段不完善，在實際測量中，由于測量器具不準(zhǔn)確，測量手段不完善，環(huán)境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等因素，都會導(dǎo)致環(huán)境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等因素，都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值不同。測量結(jié)果與被測量真值不同。 測量誤差的存在具有必然性和普遍性測量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。人們

9、進行測量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的人們進行測量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的測量結(jié)果，如果測量誤差超出一定限度，測量工作及由測測量結(jié)果，如果測量誤差超出一定限度，測量工作及由測量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。在科學(xué)研究及現(xiàn)代生量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。在科學(xué)研究及現(xiàn)代生產(chǎn)中，錯誤的測量結(jié)果有時還會使研究工作誤入歧途甚至產(chǎn)中，錯誤的測量結(jié)果有時還會使研究工作誤入歧途甚至帶來災(zāi)難性后果。因此，人們不得不帶來災(zāi)難性后果。因此，人們不得不認(rèn)真對待測量誤差，認(rèn)真對待測量誤差，研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及對測

10、量結(jié)果的處理對測量結(jié)果的處理等。等。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 7單次測量和多次測量 單次（一次）測量：單次（一次）測量：是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進行一次測量。在測量精度要求不高的場合，可以只進行單次測量。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。 多次測量：多次測量：是用測量儀器對同一被測量進行多次重復(fù)測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測量都須進行多次測量，如儀表的比對校準(zhǔn)等。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理8等精度測量和非等精度測量 等精度測量：等精度測量：在保持

11、測量條件不變的情況下對同一被測量進行的多次測量過程。 測量條件一般包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素，如測量中使用的儀器、方法、測量環(huán)境，操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。 等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 非等精度測量（不等精度測量）：非等精度測量（不等精度測量）：在同一被測量在同一被測量的多次重復(fù)測量中，的多次重復(fù)測量中，不是所有測量條件都維持不不是所有測量條件都維持不變變（如改變了測量方法，或更換了測量儀器，改（如改變了測量方法，或更換了測量儀器，改變了連接方式，測量環(huán)境發(fā)生了變化，前后不是變了連接方式，測量環(huán)境發(fā)生了變化，前后不是一個操作者，或同

12、一操作者按不同的過程進行操一個操作者，或同一操作者按不同的過程進行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等）。專致程度等）。 等精度測量和非等精度測量在實踐中都存在，等精度測量和非等精度測量在實踐中都存在，相比較而言，等精度測量意義更為普遍，有時為相比較而言，等精度測量意義更為普遍，有時為了驗證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測量方法、檢了驗證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測量方法、檢定不同的測量儀器時也要進行非等精度測量。定不同的測量儀器時也要進行非等精度測量。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 二、誤差的表示方法二、誤差的表示方法 1絕對誤差絕對誤差

13、絕對誤差定義為絕對誤差定義為 0Axx(2-1a) 式中x為絕對誤差為絕對誤差，x為測得值為測得值， A0為被測為被測量真值量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用實際值實際值x0代替代替A0 ，因而絕對誤差更有實際意義的定義是：0 xxx(2-1b)第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 對于絕對誤差，應(yīng)注意下面幾個特點： 絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同。 絕對誤差是有符號的量，其符號表示出測量值與實際值的大小關(guān)系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負(fù)值。 測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 對于信號源、穩(wěn)壓電

14、源等供給量儀器，絕對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為：對誤差定義為：Axx 式中式中A為實際值，為實際值，x為供給量的指示值（標(biāo)為供給量的指示值（標(biāo)稱值）。如果沒有特殊說明，本書涉及的絕對誤稱值）。如果沒有特殊說明，本書涉及的絕對誤差，按式（差，按式（2-1）定義計算。）定義計算。 與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為為修正值修正值，一般用符號，一般用符號c表示：表示：xxxc0第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 【例例】由某電流表測得的電流示值為由某電流表測得的電流示值為0.83 mA，查，查該電流表檢定證書，得知該電流表在該電流表檢定證書，得

15、知該電流表在0.8mA及其及其附近的修正值為附近的修正值為-0.02mA，那么被測電流的實際，那么被測電流的實際值為：值為：Axxcxx81.0)02.0(83.00 智能儀器智能儀器的優(yōu)點之一就是可利用內(nèi)部的微處的優(yōu)點之一就是可利用內(nèi)部的微處理器，存貯和處理修正值，直接給出經(jīng)過修正的理器，存貯和處理修正值，直接給出經(jīng)過修正的實際值。實際值。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理二、誤差的表示方法二、誤差的表示方法2相對誤差：用來說明測量精度的高低。相對誤差：用來說明測量精度的高低。 (1) 相對真誤差（實際相對誤差）相對真誤差（實際相對誤差） 相對真誤差定義為：相對真誤差定義為：%1000 xxA(

16、2-2)a (2) 示值相對誤差（測量值相對誤差）示值相對誤差（測量值相對誤差） 示值相對誤差定義為：示值相對誤差定義為： %100 xxx(2-2)b第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 如果如果測量誤差不大，可用示值相對誤差測量誤差不大，可用示值相對誤差 代代替實際誤差替實際誤差 ，但若，但若 和和 相差較大，兩者應(yīng)相差較大，兩者應(yīng)加以區(qū)別。加以區(qū)別。 (3)引用誤差（滿度相對誤差）引用誤差（滿度相對誤差） 測量儀器滿度相對誤差定義為絕對誤差測量儀器滿度相對誤差定義為絕對誤差 與儀表滿度值（量程上限值與儀表滿度值（量程上限值 ） 的百分比值的百分比值xAxAxmx%100mnxx(2-5a)第2

17、章 測量誤差和測量結(jié)果處理 常用常用電工儀表的等級電工儀表的等級s為：為：0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.5、 5.0七級，具體表示為：七級，具體表示為：【例例1】某電壓表某電壓表s=1.5，試算出它在，試算出它在0V100V量量程中的最大絕對誤差。程中的最大絕對誤差。 解：在解：在0Vl00V量程內(nèi)上限值量程內(nèi)上限值xm100V，由，由式式(2-5b)，得到，得到Vxsxxmmmm5 .11001005 .1%sxxxxmmmmn(2-5b) 第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理一般講，測量儀器在同量程不同示值處的絕對一般講，測量儀器在同量程不同示值處的絕對誤差實際上未必處處

18、相等；誤差實際上未必處處相等；對使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況對使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞情況處理，即下，只能按最壞情況處理，即認(rèn)為儀器在同一認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個常數(shù)且等于量程各處的絕對誤差是個常數(shù)且等于xm，人，人們把這種處理叫作們把這種處理叫作誤差的整量化誤差的整量化。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理【例例2 2】某某1.01.0級電流表，滿度值級電流表，滿度值x xm ml00uAl00uA，求測量值分別為，求測量值分別為x x1 1100 uA100 uA，x x2 280uA80uA，x x3 3 20uA 20uA 時的時的絕對誤差絕

19、對誤差和和示值相對示值相對誤差誤差。 解：由式解：由式(2-5b) (2-5b) 得：得： 按按誤差整量化誤差整量化原則，各示值相對誤差為：原則，各示值相對誤差為：Axxmmm11001001%5%100201%100%100%25.1%100801%100%100%1%1001001%100%100333222111xxxxxxxxxxxxmxmxmx%sxxxxmmmmn第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理u可見在可見在同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對誤同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對誤差越大差越大。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，測量中所用儀測量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測量結(jié)果的準(zhǔn)確

20、度，只有在表的準(zhǔn)確度并不是測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時，二者才相等示值與滿度值相同時，二者才相等（不考慮其（不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差）。他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差）。u由式由式(2-5a)和和【例例1、2】可以看出，為了減小可以看出，為了減小測量中的示值誤差，在進行測量中的示值誤差，在進行量程選擇量程選擇時應(yīng)盡可時應(yīng)盡可能使示值能接近滿度值，能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿一般以示值不小于滿度值的度值的2/3。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 【例例3】 要測量要測量100的溫度，現(xiàn)有的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范級、測量范圍為圍為0 300和和l.0級

21、、測量范圍為級、測量范圍為0l00的兩種的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值相對誤差示值相對誤差。 解：對解：對0.5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差 按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤差差 ，因此示值相對誤差：，因此示值相對誤差：Cxsxxmmmm5 .13001005 .010011111Cxxm5 .111%5 . 11001005 . 1%100111xxx例例2-32-3（教材（教材P P1919) )第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 同樣可算出用同樣可算出用l.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差

22、級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差和示值相對誤差 ： 用用1.0級低量程溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤級低量程溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤差反而小一些，因此選差反而小一些，因此選l.0級溫度計較為合適。級溫度計較為合適。u 在實際測量操作時，一般在實際測量操作時，一般應(yīng)先在大量程應(yīng)先在大量程下，測得被下，測得被測量的大致數(shù)值，而測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程后選擇合適的量程再行測量，再行測量，以盡可能減小相對誤差。以盡可能減小相對誤差。%0 .1%1001000 .1%1000 .11001000 .12222222xxCxxxxmmm第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 二、誤差的表示方法

23、二、誤差的表示方法 2相對誤差相對誤差 (4) 分貝誤差分貝誤差 在電子測量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是在電子測量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝用對數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝(dB)。分。分貝誤差廣泛用于增益（衰減）量的測量中。下面以貝誤差廣泛用于增益（衰減）量的測量中。下面以電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。 設(shè)雙端口網(wǎng)絡(luò)設(shè)雙端口網(wǎng)絡(luò)(比如放大器，或衰減器比如放大器，或衰減器)的電壓的電壓/電流的傳輸函數(shù)為電流的傳輸函數(shù)為 。0A第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)A0用對數(shù)表示為用對數(shù)表

24、示為G0稱為增益測得值的分貝值。稱為增益測得值的分貝值。 設(shè)設(shè) A為傳輸函數(shù)的實際值，其分貝值為傳輸函數(shù)的實際值，其分貝值G=20lgA，由式由式（2-1b） ，有，有)(lg20)(000dBAGdBA)1lg(20)1lg(20)1lg(20lg20)1(lg20)lg(200000000000GAAGAAAAAAAAGAAxAA第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理由此得到分貝誤差為由此得到分貝誤差為)(1lg(2000dBdBGGdBAdBAdB (2-4a) (2-3) 若測量的是功率增益，分貝誤差定義為若測量的是功率增益，分貝誤差定義為)(1lg(10dBdB (2-4b)第2章 測量誤差

25、和測量結(jié)果處理【例例4】某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui1.2mV時，時，測得輸出電壓測得輸出電壓Uo=6000mV，設(shè)，設(shè)Ui誤差可忽略，誤差可忽略，Uo的測的測量誤差量誤差 。求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對。求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差誤差 ，相對誤差，相對誤差 及分貝誤差及分貝誤差 。 解：電壓放大倍數(shù)解：電壓放大倍數(shù): 輸出電壓絕對誤差輸出電壓絕對誤差: 電壓分貝增益電壓分貝增益:%32AxdB50002 .16000iouUUAmVUo180%360002dBAGux745000lg20lg20第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理因忽略因忽略U Ui i誤差，所以

26、電壓增益絕對誤差：誤差，所以電壓增益絕對誤差：1502.1180ioUUA電壓增益相對誤差：電壓增益相對誤差：%3%1005000150uxAA電壓增益分貝誤差：電壓增益分貝誤差：dBdBx26. 0)03. 01lg(20)1lg(20實際電壓分貝增益：實際電壓分貝增益：dBG26. 074例例2-12-1（教材（教材P P1717) )第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理當(dāng)當(dāng) 值很小時，分貝增益定義式值很小時，分貝增益定義式(2-4a)和和(2-4b)中的中的 可分別利用下面近可分別利用下面近 似式得到：似式得到：xdBdBdBdBdBxx34. 469. 8( (電壓、電流類增益電壓、電流類增

27、益) )( (功率類增益功率類增益) )第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 三、測量誤差的分類：根據(jù)測量誤差的性質(zhì)和三、測量誤差的分類：根據(jù)測量誤差的性質(zhì)和特點，可將其分為三種特點，可將其分為三種 - - ( (一一) )、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差 在在多次等精度測量同一量值多次等精度測量同一量值時，時，誤差的絕對誤差的絕對值和符號保持不變，或當(dāng)條件改變時按某種規(guī)值和符號保持不變，或當(dāng)條件改變時按某種規(guī)律變化律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。如果的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。如果系差的大小、符號不變而保持恒定，則稱為系差的大小、符號不變而保持恒定，則稱為恒恒定系差定系差，否則稱為，否則稱為變值系差變值

28、系差。變值系差又可分。變值系差又可分為累進性系差、周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化為累進性系差、周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。的系差。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 下圖描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：下圖描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線直線a a表示表示恒定系差恒定系差；直線；直線b b屬變值系差中屬變值系差中累進性系差累進性系差，這里表示系差遞增的情況，也有這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差遞減系差；曲線曲線c c表示周期性系差表示周期性系差，在整個測量過程中，系差值，在整個測量過程中，系差值成周期性變化；成周期性變化；曲線曲線d d屬于屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。0第2

29、章 測量誤差和測量結(jié)果處理 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有：產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有： 測量儀器設(shè)計原理及制作工藝上的缺陷。例如測量儀器設(shè)計原理及制作工藝上的缺陷。例如刻度偏差刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心；使用過程中，刻度盤或指針安裝偏心；使用過程中零零點漂移點漂移，安放位置不當(dāng)?shù)?。，安放位置不?dāng)?shù)取?測量時的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等測量時的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。與儀器使用要求不一致等。 采用近似的測量方法或近似的計算公式等。采用近似的測量方法或近似的計算公式等。 測量人員估計讀數(shù)時習(xí)慣偏于某方向等原因所測量人員估計讀數(shù)時習(xí)慣偏于某方向等原因所引起的誤差。

30、引起的誤差。 系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度，系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度，系統(tǒng)誤差小，系統(tǒng)誤差小，表明測量的正確度高。表明測量的正確度高。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 ( (二二) )、隨機誤差、隨機誤差 隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進行一量值進行多次等精度測量時多次等精度測量時，其，其絕對絕對值和符號均以不可預(yù)定的方式無規(guī)則變值和符號均以不可預(yù)定的方式無規(guī)則變化的誤差化的誤差。 就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，其總體服從統(tǒng)計學(xué)測量次數(shù)足夠多時，

31、其總體服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 隨機誤差的特點隨機誤差的特點是，在多次測量中誤差絕是，在多次測量中誤差絕對值的波動有一定的界限，即具有對值的波動有一定的界限，即具有有界性有界性；當(dāng)；當(dāng) 測量次數(shù)足夠多時，測量次數(shù)足夠多時， 正負(fù)誤差出現(xiàn)的機會幾正負(fù)誤差出現(xiàn)的機會幾乎相同，即具有乎相同，即具有對稱性對稱性；同時隨機誤差的算術(shù)；同時隨機誤差的算術(shù)平均值趨于零，即具有平均值趨于零，即具有抵償性抵償性。 由于隨機誤差的上述特點，可以通過由于隨機誤差的上述特點，可以通過對多對多次測量取平均值次測量取平均值的辦法，來減小隨機誤差對測

32、的辦法，來減小隨機誤差對測量結(jié)果的影響，或者用其他量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計的辦法對的辦法對隨機誤差加以處理。隨機誤差加以處理。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理表表2.3-l2.3-l第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理圖圖2.3-2 2.3-2 電阻測量值的隨機誤差分布電阻測量值的隨機誤差分布R第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 由表由表2.3-l2.3-l和圖和圖2.3-22.3-2可以看出以下幾點：可以看出以下幾點： 正誤差出現(xiàn)了正誤差出現(xiàn)了7 7次，負(fù)誤差出現(xiàn)了次，負(fù)誤差出現(xiàn)了6 6次，兩次，兩者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了反映

33、了隨機誤差的對稱性隨機誤差的對稱性。 誤差的絕對值介于誤差的絕對值介于(0(0，0.1)0.1)、 (0(01 1，0.2)0.2)、 (0.2(0.2，0.3)0.3)、 (0.3(0.3，0.4)0.4)、 (0.4(0.4，0.5)0.5)區(qū)間，大于區(qū)間，大于0.50.5的個數(shù)分別為的個數(shù)分別為6 6、3 3、2 2、1 1、2 2個和個和1 1個，反映了個，反映了絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小概率大，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 v vi i0 0，正負(fù)誤差之和為零，反映，正負(fù)誤差之和為零，反映了

34、了隨機誤差的抵償性隨機誤差的抵償性。 所有隨機誤差的絕對值都沒有超過所有隨機誤差的絕對值都沒有超過某一界限，反映了某一界限，反映了隨機誤差的有界性隨機誤差的有界性。 這雖然僅是一個例子，但也基本反映這雖然僅是一個例子，但也基本反映出隨機誤差的一般特性。出隨機誤差的一般特性。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 產(chǎn)生隨機誤差的主要原因產(chǎn)生隨機誤差的主要原因包括：包括： 測量儀器測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。 溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地基振動擾，地基振動等。等。 測量人員

35、感覺器官的無規(guī)則變化而造成測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。的讀數(shù)不穩(wěn)定等。 隨機誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度隨機誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機，隨機誤差小，則精密度高。誤差小，則精密度高。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 ( (三三) )、粗大誤差、粗大誤差 在一定的測量條件下，在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。失誤差，簡稱粗差。 確認(rèn)含有粗差的測得值稱為壞值，確認(rèn)含有粗差的測得值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔應(yīng)當(dāng)剔除除不用，因為壞值不能反映被測量的真實數(shù)值。不用，因為壞值不能

36、反映被測量的真實數(shù)值。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 產(chǎn)生粗差的主要原因產(chǎn)生粗差的主要原因包括：包括： 測量方法不當(dāng)或錯誤。測量方法不當(dāng)或錯誤。例如用普通萬用表電壓檔例如用普通萬用表電壓檔直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓檔測量高頻交流信號的幅值等。電壓檔測量高頻交流信號的幅值等。 測量操作疏忽和失誤。測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯例如未按規(guī)程操作，讀錯讀數(shù)或單位，或記錄及計算錯誤等。讀數(shù)或單位，或記錄及計算錯誤等。 測量條件的突然變化。測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機械

37、沖擊等引起測量儀器示值的劇降低，雷電干擾，機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機性，但由于它造烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機性，但由于它造成的示值明顯偏離實際值，因此將其列入粗差范疇。成的示值明顯偏離實際值，因此將其列入粗差范疇。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 上述對誤差按其性質(zhì)進行的劃分，具上述對誤差按其性質(zhì)進行的劃分，具有相對性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。例如有相對性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。例如較大的系差或隨機誤差可視為粗差較大的系差或隨機誤差可視為粗差；當(dāng)；當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時，可按電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時，可按隨機誤差取平均值的辦法加以處理隨機誤差取平均

38、值的辦法加以處理，而，而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時，可按系當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時，可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 最后指出，除粗差較易判斷和處理外，最后指出，除粗差較易判斷和處理外，在任何在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的存在的，需根據(jù)各自對測量結(jié)果的影響程度，作，需根據(jù)各自對測量結(jié)果的影響程度，作不同的具體處理：不同的具體處理： 系統(tǒng)誤差遠大于隨機誤差的影響，此時可系統(tǒng)誤差遠大于隨機誤差的影響，此時可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機誤差?；旧习醇兇庀挡钐幚?，

39、而忽略隨機誤差。 系差極小或已得到修正，此時基本上可按系差極小或已得到修正，此時基本上可按純粹隨機誤差處理。純粹隨機誤差處理。 系差和隨機誤差相差不遠，二者均不可忽系差和隨機誤差相差不遠，二者均不可忽略，此時應(yīng)分別按不同的辦法來處理，然后估計略，此時應(yīng)分別按不同的辦法來處理，然后估計其最終的綜合影響。其最終的綜合影響。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 三、測量誤差的估計和處理三、測量誤差的估計和處理 （一）、隨機誤差的統(tǒng)計處理（一）、隨機誤差的統(tǒng)計處理 如前所述，如前所述，多次等精度測量時產(chǎn)生的隨機多次等精度測量時產(chǎn)生的隨機誤差及測量值服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律誤差及測量值服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。本節(jié)從工程應(yīng)。本節(jié)

40、從工程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計的一些基本結(jié)論，研究用角度，利用概率統(tǒng)計的一些基本結(jié)論，研究隨機誤差的表征隨機誤差的表征及對及對含有隨機誤差的測量數(shù)據(jù)含有隨機誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法的處理方法。 2.1 2.1 測量誤差的基本概念測量誤差的基本概念第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 1、隨機誤差的概率分布密度 1 1）正態(tài)分布）正態(tài)分布 理論和測量實踐都證明，當(dāng)進行大量等精度測量時，隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。測得值 與隨機誤差 都按一定的概率出現(xiàn)。 在大多數(shù)情況下，在大多數(shù)情況下，測得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機誤差上，等于零的

41、隨機誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測得值和隨機誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布。iix第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理圖2-1a 隨機誤差 的正態(tài)分布曲線i第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理圖2-1b 隨機誤差影響下測量值 的正態(tài)分布曲線 ix(X)0M(X)X第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 設(shè)測得值設(shè)測得值 xi 在在 x 到到 x+dx 的范圍內(nèi)出現(xiàn)的的范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為概率為P P，它正比于，它正比于dx，并與，并與 x 值有關(guān)，即：值有關(guān)，即：dxxdxxxxPi)( 上上式中式中( (x) )定義為測量值定義為測量值 xi 在在 x 點的分布密點的分

42、布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然：度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然：1)(dxxxPi 對于對于正態(tài)分布的正態(tài)分布的 xi i 和它的隨機誤差和它的隨機誤差i i ，其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：(2-8)XXMXeXX22221)( 22221)(e(2-9)第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 由由圖圖2-12-1可以看到如下特征：可以看到如下特征： 愈小，愈小， 愈大愈大，說明絕對值小的隨，說明絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的機誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小，隨著隨機誤差出現(xiàn)的概率小，隨著 的加大，的加大， 很快趨于零，即很快趨于零，即超過一定界限的隨機誤

43、差超過一定界限的隨機誤差實際上幾乎不出現(xiàn)實際上幾乎不出現(xiàn)（隨機誤差的有界性）。（隨機誤差的有界性）。 大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等（隨機誤差的對稱性和抵償性）。等（隨機誤差的對稱性和抵償性）。)()(第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測得值愈集中，精密度高；反之，其值愈測得值愈集中，精密度高；反之，其值愈大，曲線愈平坦，表明測得值分散，精密大，曲線愈平坦，表明測得值分散，精密度低。度低。 正態(tài)分布又稱高斯分布正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論，在誤差理論中占有重要的地位。由中占有重要的地位。由眾多

44、相互獨立的因眾多相互獨立的因素的隨機微小變化所造成的隨機誤差素的隨機微小變化所造成的隨機誤差，大，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。輸出頻率等，都具有這一特性。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 2 2）均勻分布（矩形分布）均勻分布（矩形分布) ) 在測量實踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2-2所示。均勻分布的特點是，在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。axbxbxaabx, 0,1)(2-10)第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 均勻分布在電子測量中常見有下列幾種情況：均勻

45、分布在電子測量中常見有下列幾種情況： 儀表度盤刻度誤差：儀表度盤刻度誤差：由于儀表分辨力決定的某一范圍由于儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測量值可以認(rèn)為是一個值。例如用內(nèi)，所有的測量值可以認(rèn)為是一個值。例如用500V500V量程交量程交流電壓表測得值是流電壓表測得值是220V220V，實際上由于分辨不清，實際值可，實際上由于分辨不清，實際值可能是能是219V-221 V219V-221 V之間的任何一個值，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有之間的任何一個值，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有相同的誤差概率。相同的誤差概率。 數(shù)字顯示儀表的最低位數(shù)字顯示儀表的最低位l l（或幾個字）的誤差：（或幾個字）的誤差：例如例如末位顯

46、示為末位顯示為5 5，實際值可能是，實際值可能是4-64-6間任一值，也認(rèn)為在此范間任一值，也認(rèn)為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計中都有這種現(xiàn)象。中都有這種現(xiàn)象。 由于舍入引起的誤差：由于舍入引起的誤差：去掉的或進位的低位數(shù)字的概去掉的或進位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是率是相同的。例如被舍掉的可能是5 5或或4 4或或3 3或或2 2或或1 1，被進位，被進位的可以認(rèn)為是的可以認(rèn)為是5 5、6 6、7 7、8 8、9 9中任何一個。中任何一個。 第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 可以證明，對式可以證明，對式

47、(2-10)(2-10)所示的均勻分布，所示的均勻分布，有數(shù)學(xué)期望：有數(shù)學(xué)期望： 12)(222abbaXM方差：方差：標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：12/ )(ab3 3）三角形分布（自學(xué)）三角形分布（自學(xué)）因?qū)W時有限，我們后面僅討論正態(tài)分布。因?qū)W時有限，我們后面僅討論正態(tài)分布。第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 2 2、隨機誤差影響下測量值的數(shù)學(xué)期望和方差（標(biāo)準(zhǔn)、隨機誤差影響下測量值的數(shù)學(xué)期望和方差（標(biāo)準(zhǔn)差）差） 1 1）數(shù)學(xué)期望：反映測量值平均的情況）數(shù)學(xué)期望：反映測量值平均的情況 設(shè)對被測量設(shè)對被測量 x 進行進行 n 次等精度測量，得到次等精度測量，得到 n 個個測得值測得值nxxxx,321 由于隨

48、機誤差的存在，這些測得值也是隨機變量。由于隨機誤差的存在，這些測得值也是隨機變量。定義定義 n 個測得值（隨機變量）的算術(shù)平均值為：個測得值（隨機變量）的算術(shù)平均值為：niixnx11第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 式中式中 x 也稱作樣本平均值。也稱作樣本平均值。 當(dāng)測量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù) 時，樣本平均值的極限就時，樣本平均值的極限就是測得值的數(shù)學(xué)期望：是測得值的數(shù)學(xué)期望：n(2-13) nxnxXMnkk當(dāng)11niixnx11(2-13) nnnxpxXMmkkkmkkk當(dāng)11第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理2 2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差：）方差與標(biāo)準(zhǔn)差：說明測量數(shù)據(jù)的離散程度隨機誤差反映了實際測量的精密

49、度即測量值的分散程度。由于隨機誤差的抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計測量的精密度。定義方差：定義方差：為 時，測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即:nnXMxnXnkk當(dāng)1221 (2-15)因為隨機誤差因為隨機誤差 ，故：，故： nnXnkk當(dāng)1221XMxkk第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 由于實際測量中由于實際測量中 都帶有單位都帶有單位( (mV，uA等等) )，因而方差因而方差 是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方便。為了與隨機誤差便。為了與隨機誤差 單位一致，將式單位一致，將式(2-15)(2-15)兩兩邊開方，取正平方根，得邊開方，取正平方根，得標(biāo)準(zhǔn)

50、偏差（標(biāo)準(zhǔn)差或均標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)差或均方根差）：方根差）：kk X2nnXMxnXnkknkk當(dāng)121211第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 3、用有限次測量值估計數(shù)學(xué)期望和方差 1）有限次測量平均值的性質(zhì) 如果在相同條件下相同條件下對同一被測量同一被測量分成 m 組組，每組重復(fù)每組重復(fù) n 次測量次測量，則每組每組測得值都有一個平均值有一個平均值 。由于隨機誤差的存在，這些算術(shù)平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機誤差。x第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 3 3、用有限次測量值估計數(shù)學(xué)期望和方差、用有限次測量值估計數(shù)學(xué)期望和方差 1 1）有限次測量平均值的性質(zhì)

51、）有限次測量平均值的性質(zhì) 我們用我們用 、 和和 來分別來分別表示表示m 組組 的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，則有：則有：x x nxx22 (2-19)a XMxM x2 xM nXx (2-19)b (2-18)第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 2 2）數(shù)學(xué)期望和方差的估計）數(shù)學(xué)期望和方差的估計 估計的估計的一致性一致性（估計值依概率收斂于未知（估計值依概率收斂于未知參數(shù)）和參數(shù)）和無偏性無偏性（估計值的數(shù)學(xué)期望等于未（估計值的數(shù)學(xué)期望等于未知參數(shù)）知參數(shù)） 測量值測量值 X 的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期望望 M(X) 的估計值的估計值 假設(shè)上面的測得值中不含系統(tǒng)誤差和假設(shè)上面的測

52、得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第粗大誤差，則第 i 次測量得到的測得值次測量得到的測得值 xi 與實際值與實際值 x0 間的絕對誤差就等于間的絕對誤差就等于隨機誤差：隨機誤差： 0 xxxiii第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 隨機誤差：隨機誤差： 則隨機誤差的算術(shù)平均值為：則隨機誤差的算術(shù)平均值為：0 xxxiii01101011111)(11xxnxnxnxxnnniininiiniinii第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 依據(jù)依據(jù) 可得：可得： 由于由于隨機誤差的抵償性隨機誤差的抵償性，即當(dāng)測量次數(shù)，即當(dāng)測量次數(shù) n 趨于無趨于無限大時，限大時， 趨于零：趨于零： )(0nxXM當(dāng)nnni

53、i當(dāng)011 即即隨機誤差的數(shù)學(xué)期望等于零隨機誤差的數(shù)學(xué)期望等于零，因此得到：，因此得到： 0 xXM即即測得值的數(shù)學(xué)期望測得值的數(shù)學(xué)期望 M(X) 等于被測量真值等于被測量真值 x0 。 niixxn101nXMxnxnkk當(dāng)11(2-13)第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 實實際上不可能做到無限多次的測量，對于際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為：有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為： 又由式又由式(2-13)(2-13)： 式式(2-18)(2-18)： 因此，因此，用用 作為作為 的估計值合適的估計值合適。0101xXMxnnii nXMxnxnkk當(dāng)

54、11 XMxMx XM估計的估計的一致性一致性估計的估計的無偏性無偏性第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 由上述分析我們得出，在實際測量由上述分析我們得出，在實際測量工作中，當(dāng)工作中，當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗大誤差后大誤差后，雖然仍有隨機誤差存在，但，雖然仍有隨機誤差存在，但多次測得值的算術(shù)平均值很接近被測量多次測得值的算術(shù)平均值很接近被測量的數(shù)學(xué)期望（真值）的數(shù)學(xué)期望（真值），因此就將它作為，因此就將它作為最后測量結(jié)果，并稱之為最后測量結(jié)果，并稱之為被測量數(shù)學(xué)期被測量數(shù)學(xué)期望（真值）的最佳估值望（真值）的最佳估值或最可信賴值?；蜃羁尚刨囍怠５?章 測量誤差和測量結(jié)果處理

55、 剩余誤差（殘差）剩余誤差（殘差） 當(dāng)進行有限次測量時，各次測得值與算術(shù)當(dāng)進行有限次測量時，各次測得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：平均值之差，定義為剩余誤差或殘差： (2-21)(2-21) 對上式兩邊分別求和，有：對上式兩邊分別求和，有： 從而從數(shù)學(xué)上驗證了從而從數(shù)學(xué)上驗證了隨機誤差的抵償性隨機誤差的抵償性。xxii011111niiniiniiniixnnxxnx 2 2）數(shù)學(xué)期望和方差的估計）數(shù)學(xué)期望和方差的估計測量值方差的估計值測量值方差的估計值 第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 貝塞爾公式貝塞爾公式u 已知：隨機誤差已知：隨機誤差 ，其中其中xi為第為第i 次測得值，次測得

56、值，x0為真值，為真值，M(X)為為 xi 的數(shù)學(xué)期望，且的數(shù)學(xué)期望，且 u 在這種前提下，我們在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差（實驗標(biāo)準(zhǔn)差）差（實驗標(biāo)準(zhǔn)差）s(s(x xk k) ) 來表征測量值的分來表征測量值的分散程度散程度，用，用殘差殘差 來近似或代替真來近似或代替真正的隨機誤差正的隨機誤差，有：，有： XMxxxiii0 nxXMxnxnkk011xxii第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 貝塞爾公式貝塞爾公式112nvxsnkkknkkkxnxnxs12211或：(2-20)c(2-20)b例例2-42-4（教材（教材P P2828) )第2章 測量誤差和測量結(jié)

57、果處理（二）用統(tǒng)計學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù)（二）用統(tǒng)計學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù) 誤差絕對值較大的測量數(shù)據(jù)，可以列為可疑誤差絕對值較大的測量數(shù)據(jù)，可以列為可疑數(shù)據(jù)；數(shù)據(jù)； 盡量根據(jù)觀察分析得到的物理原因或技術(shù)上盡量根據(jù)觀察分析得到的物理原因或技術(shù)上的原因決定可疑數(shù)據(jù)的取舍；的原因決定可疑數(shù)據(jù)的取舍； 物理或技術(shù)原因處理有困難時，可以根據(jù)統(tǒng)物理或技術(shù)原因處理有困難時，可以根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的方法來處理可疑數(shù)據(jù)。常規(guī)定，凡計學(xué)的方法來處理可疑數(shù)據(jù)。常規(guī)定，凡測測量值量值 在某區(qū)間以外的為異常數(shù)據(jù)，將其剔在某區(qū)間以外的為異常數(shù)據(jù)，將其剔除除，即：，即： a)a) c c通常取通常取3 3（萊特準(zhǔn)則萊特準(zhǔn)則）。）。kxkk

58、xcsxx (2-22)第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 對于精密測量，常需進行多次等精度測量，對于精密測量，常需進行多次等精度測量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結(jié)果中剔除壞在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結(jié)果中剔除壞值后，測量結(jié)果的處理可按下述步驟進行：值后，測量結(jié)果的處理可按下述步驟進行： 列出測量數(shù)據(jù)表；列出測量數(shù)據(jù)表； 計算算術(shù)平均值計算算術(shù)平均值 ，殘差，殘差 及及 ； 按式按式(2-20b)(2-20b)計算計算 ； 按式按式(2-22) (2-22) 判斷異常數(shù)據(jù)并剔除。判斷異常數(shù)據(jù)并剔除。xk2kkxskkxcsxx(2-22)第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理（三）處理系統(tǒng)誤差的一般方法（

59、三）處理系統(tǒng)誤差的一般方法 1 1、系統(tǒng)誤差的特性、系統(tǒng)誤差的特性 排除粗差后，測量誤差等于隨機誤差排除粗差后，測量誤差等于隨機誤差 和系統(tǒng)誤差和系統(tǒng)誤差 的代數(shù)和：的代數(shù)和： ii0 xxxiiii第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理 假設(shè)進行假設(shè)進行n次等精度測量，并設(shè)系差為恒值系次等精度測量，并設(shè)系差為恒值系差或變化非常緩慢即差或變化非常緩慢即 ，則，則 的算術(shù)的算術(shù)平均值為：平均值為：iixniiniiiniinxxnxn10111)(11 當(dāng)當(dāng)n足夠大時，由于隨機誤差的抵償性，足夠大時，由于隨機誤差的抵償性， 的的算術(shù)平均值趨于零，于是由上式得到：算術(shù)平均值趨于零，于是由上式得到：inii

60、xnxx101第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理可見當(dāng)系差與隨機誤差同時存在時，若測量次數(shù)足夠可見當(dāng)系差與隨機誤差同時存在時，若測量次數(shù)足夠多，則多，則各次測量絕對誤差的算術(shù)平均值等于系差各次測量絕對誤差的算術(shù)平均值等于系差。這說明測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機誤差有關(guān)，更與這說明測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。系統(tǒng)誤差有關(guān)。由于由于系差不易被發(fā)現(xiàn)系差不易被發(fā)現(xiàn)，所以更須重視，由于它，所以更須重視，由于它不具備不具備抵償性抵償性，所以取平均值對它無效，又由于，所以取平均值對它無效，又由于系差產(chǎn)生的系差產(chǎn)生的原因復(fù)雜原因復(fù)雜，因此處理起來比隨機誤差還要困難。，因此處理起來比隨機誤差