柏努利方程應(yīng)用例題

1、柏努利方程應(yīng)用例題柏努利方程應(yīng)用例題河北科大化原河北科大化原例1、如圖所示，水從儲(chǔ)水箱A經(jīng)異徑水平管段B及C流至大氣中。已知水箱內(nèi)液面與管子中心線(xiàn)間的垂直距離為5.5m，保持恒定，管段B的直徑為管段C的兩倍。水流經(jīng)B、C段的摩擦阻力分別為hf,B=15J/Kg及hf,C=30J/Kg有水箱至管段B及有管段B至管段C的突然縮小損失可以忽略，而管段C至外界的出口損失不能忽略。試求：1、水在管段c中的流速；2、水在管段B中的流速 ；3、管段B末段內(nèi)側(cè)的壓強(qiáng)。 解：水箱上方有水補(bǔ)充，側(cè)面有溢流管，箱內(nèi)液位恒定，故本題為無(wú)外加功的不可壓縮流體作定態(tài)流動(dòng)。計(jì)算所要求各項(xiàng)目時(shí)，可采用無(wú)外功加入的柏努利式。水

2、在管路 C中的流速u(mài)C 在水箱11面及管 C出口內(nèi)側(cè)22面間列柏努利式，以水平管中心線(xiàn)為基準(zhǔn)面：21 ,2222211122fhupgzupgz（1） 其中：z1=5.5m p1=0 (表壓) u10 （因水箱截面很大，故u1很小，可認(rèn)為u10） z2=0 p2=0 （22面在管口內(nèi)側(cè)，接近外界大氣壓，故可認(rèn)為 p2與外界大氣壓相等，其表壓為零） u2=uc=待求值題意忽略水箱至管B、由管B至管C的突然縮小損失可以忽略，故由11至22兩面間的總摩擦力為：CfBfAffhhhh,21 ,式中hf,A、hf,B、hf,C分別為水流經(jīng)水箱、管B及管C的摩擦阻力，因水箱內(nèi)的流速幾乎等于零，故hf,A0

3、，因此：kgJhhhCfBff/453015,21 ,取水的密度1000kg/m3，將以上諸值代入式1：4525 . 581. 92Cu解得 uC=4.232m/s2、水在管路B中的流速u(mài)B 水是不可壓縮流體，故可用連續(xù)性方程式求uB：CCBBAuAu簡(jiǎn)化之 22CCBBdudu或 2BCCBdduu上式說(shuō)明不可壓縮流體在管道中的流速與直徑的平方成反比。 smdduuBCCB/058. 121232. 4223、管B出口內(nèi)側(cè)壓強(qiáng) 管B出口內(nèi)側(cè)壓強(qiáng)可以在11及33（管B出口內(nèi)側(cè)）面或33及22面間列柏努利式，算出的結(jié)果是一致的。今在11及33面間列柏努利式，仍以管中心線(xiàn)為基準(zhǔn)面，取水的密度100

4、0kg/m3：31 ,2333211122fhupgzupgz其中 smuuB/058. 13kgJhhBff/15,31 , 152058. 110005 . 581. 923p解得：管B出口表壓強(qiáng)p3=3.84104Pa例2、用離心泵將密度為1200kg/m3的水溶液由敞口貯槽A送至高 位 槽 B . 已 知 離 心 泵 吸 入 管 路 上 各 種 流 動(dòng) 阻 力 之 和hf,a=10J/kg、壓出管路的hf,b=30J/kg,兩槽液面維持恒定，其間垂直距離為20m,每小時(shí)液面的輸送量為30m3.若離心泵的效率為0.65，試求泵的軸功率。解：根據(jù)題意畫(huà)出如本題附圖所示的流程示意圖。本題屬于

5、由外功加入的不可壓縮流體坐定態(tài)流動(dòng)。在由外功加入的系統(tǒng)中應(yīng)用伯努利方程式時(shí)，兩個(gè)截面必須選在泵的兩側(cè)，才能將泵向系統(tǒng)輸入的能量計(jì)入，這兩個(gè)截面的具體位置視具體情況而定，本題以選槽液面1-1及B槽液面2-2為宜，因這兩個(gè)面上機(jī)械能以及其間的hf,1-2均為已知或可算出。若選圖中3-3及4-4兩個(gè)面，雖然算出的We與選1-1及2-2時(shí)算出的是一樣，但3-3及4-4面上各種機(jī)械能與其間的摩擦阻力hf,3-4均未可知，且在本題條件下又缺乏計(jì)算數(shù)據(jù)，故不能選用3-3及4-4兩個(gè)面。 選貯槽液面1-1及高位槽液面2-2為衡算范圍，以1-1面為基準(zhǔn)面：2122222111+2+=+2+,fehupgzupg

6、zw其中z1=0 z2=20m p1=0(表壓) p2=0(表壓)u10 u20hf,1-2=hf,a+hf,b=10+30=40J/kg We=209.81+40=236.2J/kg由以上計(jì)算過(guò)程知：泵提供的能量用于將溶液提升至高位槽以及克服流動(dòng)過(guò)程中流動(dòng)阻力。伯努利方程式是以1kg為基準(zhǔn)推導(dǎo)的，故We是1kg流體在流動(dòng)過(guò)程中獲得的能量，稱(chēng)為有效功，故有效功率為：Ne=We.qm=236.2(301200)/3600 =2632J/s=2632W由于泵體內(nèi)有各種損耗，泵軸消耗的功率為：N=2362/0.65=3634W3.7KW例3、 如本題附圖所示，每小時(shí)有12104kg的水在傾斜放置的變

7、徑管內(nèi)從下向作定態(tài)流動(dòng)已知細(xì)管直徑d1=100mm，粗管直徑d2=240mm；圖中2-2面比1-1面高H2=300mm；1-1面與2-2面間有軟管與水銀壓差計(jì)相連，其上指示劑讀數(shù)R=20mm，試求： 11-1與2-2面間的摩擦阻力；2若流量不變，而將輸水管水平放置，計(jì)算壓差計(jì)上指示劑讀數(shù)；3分析傾斜放置時(shí)1-1與2-2面間能量變化情況；4由兩種放置情況下的指示劑讀數(shù)數(shù)值分析兩截面間的壓強(qiáng)差。解： 11-1與2-2面間的摩擦阻力 本題屬于無(wú)外功加入的不可壓縮流體定態(tài)流動(dòng)情況，故應(yīng)采用式（112a）進(jìn)行計(jì)算。在1-1與2-2面間列柏努利式，以過(guò)1-1面中心的水平面0-0為基準(zhǔn)面。（1） 或 其中

8、本題輸水管是傾斜放置的，故不能采用根據(jù)水平管導(dǎo)出的式（1-6）進(jìn)行計(jì)算（p1-p2）,應(yīng)另行推導(dǎo)計(jì)算式。 在附圖的壓差計(jì)上取等壓參考面m及n，則pm=pn，參考圖可以寫(xiě)出： 整理得 )g-R(gHp-pOHHgOH2122（2） 上式為傾斜管路上液柱壓差計(jì)讀數(shù)與兩側(cè)壓面間壓強(qiáng)差的關(guān)系式，該式也適用于垂直管路。取H2O=1000kg/m3，Hg13600 kg/m3，故 將以上各式值代入式1： J/kg22.1127372. 0246. 41000541581. 93 . 0h222-f,12管子改為水平放置時(shí)壓差計(jì)上的讀數(shù) 將柏努利方程式中各物理量加注上“”表示水平放置的情況。仍在前述條件下列

9、柏努利方程式： 或 其中 因?yàn)楣茏铀椒胖?，故可直接用式?-6）求p1-p2： 流量及管徑?jīng)]有變化，故流速及摩擦阻力也無(wú)變化： 解得 :R=0.02m=20mm 由此看出水平放置后壓差計(jì)讀書(shū)沒(méi)有變化。 3傾斜放置時(shí)1-1與2-2面間能量變化情況 1-1與2-2面間能量變化情況列于本例附表中。 J/kg014. 9 2246. 42u221J/kg2717. 0 27372. 02u222前面算出：J/kg22.11h21f,摩擦阻力前面已算出：靜壓能減少5.415J/kg靜壓能動(dòng)能減少9.014-0.27178.742J/kg動(dòng)能位能升高2.943-02.943J/kgz2g=0.39.81

10、=2.943J/kgz1g=0位能由1-1面到2-2面能量變化情況22面11面項(xiàng)目由上表看出，水由11面流到22面位能升高，同時(shí)又有能量損失，而兩面間無(wú)外功加入，故這些能量只能由兩截面間的動(dòng)能及靜壓能來(lái)供給，也就是說(shuō)11面上一部分動(dòng)能與一部分靜壓能當(dāng)流體流到22面時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槲荒芎陀糜诳朔Σ磷枇Α?4由兩種放置情況的壓差計(jì)讀數(shù)分析兩截面間的壓強(qiáng)差 由前面計(jì)算結(jié)果知兩種放置情況時(shí)壓差計(jì)讀數(shù)均為0.02m，而傾斜放置時(shí)壓強(qiáng)差為5415Pa，水平放置時(shí)為2471Pa。例4、 用離心泵將密度為1200kg/m3的水溶液由敞口貯槽A送至高位槽B。已知離心泵吸入管路上各種流動(dòng)阻力之和hf,a=10J/kg、

11、壓出管路的hf,b=10J/kg。兩槽液面維持恒定，其間垂直距離為20m。每小時(shí)溶液的輸送量為30m3。若離心泵效率為0.65，試求泵的軸功率。 解：根據(jù)題意畫(huà)出本題附圖所示的流程示意圖。 本題屬于有外功加如的不可壓縮流體作定態(tài)流動(dòng)，故用式（112c）進(jìn)行計(jì)算。在有外功加入的系統(tǒng)中應(yīng)用柏努利方程時(shí)，兩個(gè)界面必須選在泵的兩側(cè)，才能將泵向系統(tǒng)輸入的能量計(jì)入。這兩個(gè)截面的具體位置視具體情況而定，本題以選A槽液面11及B槽液面22為宜，因這兩個(gè)面上機(jī)械能以及其間的hf,1-2均為已知或可算出。若選圖中33及44兩個(gè)面，雖然算出的We與選11及22時(shí)算出的是一樣，但33及44面上各種機(jī)械能與其間的摩擦阻

12、力hf,3-4均為已知，且在本題條件下又缺乏計(jì)算數(shù)據(jù)，故不能選用33及44兩個(gè)面。選貯槽液面11及高位槽液面22為衡算范圍，以11面為基準(zhǔn)面： 其中，z1=0 z2=20m p1=0(表壓) p2=0(表壓) u10 u10 We=209.81+40=236.2J/kg 由以上計(jì)算過(guò)程可知:泵提供的能量用于將溶液提升至高位槽以及克服流動(dòng)過(guò)程中的流動(dòng)阻力。柏努利方程式是以1kg流體為基準(zhǔn)推導(dǎo)的，故We是1kg流體在流動(dòng)過(guò)程中獲得的能量，稱(chēng)為有效功，故有效功率為： 由于泵體內(nèi)有各種損耗，泵軸消耗的功率為：例5、用泵將水從貯槽送至敞口高位槽，兩槽液面均衡定不變。輸送管路尺寸為573.5mm，泵出口垂

13、直管段A、B截面上的測(cè)壓口有軟管與兩支液柱壓差計(jì)相連，其上指示劑水銀柱的讀數(shù)分別為R=40mm及R=1200mm。右邊壓差計(jì)的左側(cè)指示劑液面與截面A的垂直距離H1000mm，右側(cè)開(kāi)口水銀面上灌有一段R=20mm的清水。A、B兩截面間的管長(zhǎng)（即垂直距離）為6m。管路中摩擦系數(shù)為0.02。當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為1.0133105Pa。試求：水在管路中的流速；截面A上的壓強(qiáng)。解：令Pa大氣壓強(qiáng)。取水的密度為H2O=1000kg/m3、水銀的密度Hg13600kg/m3。水在管路中的流速 水在管路中的流速或流量直接影響流動(dòng)的阻力，故可用式（1-19）計(jì)算流速：（1） 上式中的hf可由柏努利式算出。分析題給數(shù)據(jù)

14、應(yīng)取截面A及B作衡算范圍，因二者間的垂直距離為已知、壓強(qiáng)差可由壓差計(jì)算出、速度相等、且無(wú)外功加入，故可算出hf,AB,然后由式（1）計(jì)算出管路中的流速。以截面A為基準(zhǔn)面：（2） 或 （3） 其中 由于左邊壓差計(jì)裝在垂直管道上，故不能用式（1-6）計(jì)算，而應(yīng)采用例（1-8）中為傾斜管推導(dǎo)的但也適用于垂直管的式(2)來(lái)計(jì)算： 將以上諸值代入式（3）：上式中hf,AB即式（1）中的hf，故：解得管路中流速 u2.029m/s2、截面A上的壓強(qiáng) 前項(xiàng)已算出pA-pB的值，此處再利用右邊壓差計(jì)的數(shù)據(jù)算出截面B上的壓強(qiáng)pB后，即可算出pA。在右邊壓差計(jì)上作等壓參口面T及S，pT=pS,參考圖知：整理之 例

15、6、實(shí)驗(yàn)室測(cè)定離心泵性能時(shí)，采用本題附圖所示的定態(tài)流動(dòng)流程。每小時(shí)以45m3、20的清水為工作介質(zhì)。泵的出口管直徑為854mm，出口管直徑為754mm。在泵的進(jìn)口和出口附近分別裝有真空表及壓強(qiáng)表，已測(cè)得真空表上讀數(shù)為2.6104Pa、壓強(qiáng)表讀數(shù)為2.6105Pa，兩測(cè)壓口中心線(xiàn)間的垂直距離為0.5m，因其間管路較短，故流體在兩表間的摩擦阻力可以忽略。泵由電動(dòng)機(jī)直接帶動(dòng)，傳動(dòng)效率可視為1，已測(cè)得電動(dòng)機(jī)輸出功率為5.5kW，試求泵的效率。解：本題屬于有外功加入的不可壓縮流體作定態(tài)的流動(dòng)。已知泵的軸功率，要求計(jì)算泵的效率，因NeN，故應(yīng)先采用式（1-12b）求出泵的有效功We，進(jìn)一步算出有效功率Ne

16、。前已述及，計(jì)算泵的有效功率時(shí)，作為衡算范圍的兩個(gè)截面應(yīng)在泵的兩側(cè)，在本題條件下，只能選過(guò)兩測(cè)壓口中心的截面11及22，因這兩個(gè)面上的機(jī)械能為已知或可算出，且其間的摩擦阻力可以忽略。若選兩槽液面，雖然其上的機(jī)械能為可知值，但其間的總摩擦力為未知，且缺乏必要的計(jì)算數(shù)據(jù)。 在兩測(cè)壓口中心截面11及22間列柏努利式，以22面的中心線(xiàn)為基準(zhǔn)面，取H2O1000kg/m3。其中 z1=0We=待求值z(mì)2=0.5m解得 例7、每小時(shí)將400kg、平均分子量為28kg/kmol的氣體由氣柜定態(tài)輸送到密閉設(shè)備內(nèi)。輸送過(guò)程中氣體溫度基本恒定在20下。已測(cè)得壓強(qiáng)表A和B上的讀數(shù)分別為1060Pa和100Pa，兩側(cè)

17、壓面間的全部摩擦阻力可用hf,a-b=5G2的經(jīng)驗(yàn)公式求算。式中hf,a-b為壓強(qiáng)表A、B間的總摩擦力，J/kg；G為氣體在管路中的質(zhì)量流率，kg/(m2s)。 兩測(cè)壓口中心線(xiàn)間的垂直距離為5m。全系統(tǒng)輸送管路的直徑相同，試求輸送管路直徑。當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為1.0133105。 解：本題屬于無(wú)外功加入的恒溫定態(tài)輸送可壓縮流體系統(tǒng)。分析題給數(shù)據(jù)可知以選過(guò)兩測(cè)壓口中心的截面a-a及b-b為衡算截面最合適，但這兩截面上的絕對(duì)壓強(qiáng)之比若小于20，才能在其間應(yīng)用柏努利式。 故可以在a-a及b-b面間應(yīng)用柏努利式，但式中的密度應(yīng)取兩截面間的平均密度m。在a-a及b-b面間列柏努利式，以過(guò)a-a中心的水平線(xiàn)為基

18、準(zhǔn)面：或 其中，a-a及b-b面間的管路直徑相等，質(zhì)量流量也相等，但壓強(qiáng)不同，故體積流量不同，從而uaub,不過(guò)因?yàn)閜a與pb相差不大，故取uaub,因此：已知 hf,a-b=5G2將以上諸值代入式（1）：5G2=-59.81+819.1 解得 G=12.41kg/(m3s) 由質(zhì)量流率定義知： 或 由計(jì)算過(guò)程看到：可壓縮流體在等徑管中作等溫定態(tài)流動(dòng)時(shí)，因沿程壓強(qiáng)有變化，故管路各截面上速度不等，但質(zhì)量流率相同，題中給出hf,a-b=5G2，而不給出hf,a-b=f(u)的關(guān)系，其理由即在此。但要指出，在計(jì)算中如采用G=u常數(shù)的關(guān)系計(jì)算G，其中及u必定要采用同一截面上的數(shù)值。 前面計(jì)算中曾假設(shè)在此可進(jìn)行核算：ua與ub相差不大，故假設(shè)uaub是可以的。假如遇到不能取uaub的情況，這時(shí)可用下面的情況處理：再?gòu)?截面到任一截面（在12之間）列柏努利方程，則：Pa/+gz1+u12/2= Px/+gzx+ux2/2 u1=0 Px= (Pa/+gz1)- (gzx+ux2/2)Pa/+gz1為定值，當(dāng)gzx+ux2/2為最大值時(shí)，PxPmm顯然細(xì)管中u 最大，在細(xì)管最上端，gzx+ux2/2可望達(dá)到最大