函數(shù)與極限測試題及答案(二)

1、函數(shù)與極限測試題二一. 選擇題1.設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N，那么必有( ).A是偶函數(shù))是奇函數(shù). B是奇函數(shù)是偶函數(shù).C是周期函數(shù)是周期函數(shù). D是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù) 2設(shè)函數(shù)那么( )（A） ，都是的第一類間斷點(diǎn).（B） ，都是的第二類間斷點(diǎn)（C） 是的第一類間斷點(diǎn)，是的第二類間斷點(diǎn).（D） 是的第二類間斷點(diǎn)，是的第一類間斷點(diǎn).3設(shè)，那么 ( )A B C D 4以下各式正確的選項(xiàng)是 ( )A B C D5，那么( )。A.1； B.； C.； D.。6極限：( )A.1； B.； C.； D.。7極限：= A.1； B.； C.0； D.28極限：= A.0；

2、 B.； C ； D.29.極限：= A.0； B.； C.2； D. 10極限: = A.0； B.； C. ； D.16二. 填空題11極限= ； 12. = ；13. 假設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，那么= ；14. ； 15. ；16. 假設(shè)函數(shù)，那么它的間斷點(diǎn)是 17. 絕對值函數(shù) 其定義域是 ，值域是 。 18.符號函數(shù) 其定義域是 ，值域是三個(gè)點(diǎn)的集合 。19無窮小量是 。20. 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，要求函數(shù)滿足的三個(gè)條件是 。 三. 計(jì)算題21.求 ； 22.設(shè)求(其中)；23.求； 24.求；25.求； 26. ，求的值；27. 計(jì)算極限 ；28.求它的定義域。29. 判斷以下函數(shù)是否為同一函數(shù)：與

3、 ； 與；與； 與；與。30. 函數(shù)， 求；31. 求 ； 32. 求 ；33. 求 ； 34. 求 。35. 判斷以下函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限 ， ； ， 。36.求； 37. 求；38.求； 39.求當(dāng)x時(shí)，以下函數(shù)的極限。40. 求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限。41.求； 42.求；43.求； 44.求；45.求； 46.求；47.求 。48. 研究函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。49. 指出函數(shù)在點(diǎn)處是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)。50. 指出函數(shù)在點(diǎn)處是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)。51. 指出函數(shù)在點(diǎn)處是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)。52.求；53.求；54. 試證方程在區(qū)間1，2至少

4、有一根。55. 求。56. 試證正弦函數(shù)在區(qū)間 (-， +) 內(nèi)連續(xù)。57. 函數(shù)；在點(diǎn)處是否連續(xù)？58. 函數(shù) ；是否在點(diǎn)連續(xù)？59. 求極限 .函數(shù)與極限測試題答案二一.選擇題1.A 【分析】 此題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，有，于是，即 ，也即，可見為奇函數(shù)；反過來，假設(shè)為奇函數(shù)，那么為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng).【評注】 函數(shù)與其原函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已屢次考查過. 請讀者思考與其原函數(shù)的有界性之間有何關(guān)系? 2. D【分析】 顯然，為間斷點(diǎn)，其分類主要考慮左右極限.【詳解】 由于

5、函數(shù)在， 點(diǎn)處無定義，因此是間斷點(diǎn).且 ，所以為第二類間斷點(diǎn)； ，所以為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選(D).【評注】 應(yīng)特別注意：， 從而，3 - 8 CACCAC8.x時(shí)，分母極限為令，不能直接用商的極限法那么。先恒等變形，將函數(shù)“有理化：原式 = . 有理化法 9 -10 DC10.解：原式. 注 等價(jià)無窮小替換僅適用于求乘積或商的極限，不能在代數(shù)和的情形中使用。如上例中假設(shè)對分子的每項(xiàng)作等價(jià)替換，那么原式.二.填空題11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15.； 16.；17. ；18. ；19.在某一極限過程中，以0為極限的變量，稱為該極限過程中的無窮小量 20.函數(shù)在點(diǎn)處有定義

6、；時(shí)極限存在；極限值與函數(shù)值相等，即。三. 計(jì)算題21.【分析】 型未定式，一般先通分，再用洛比達(dá)法那么.【詳解】 = =22. ； 23.； 24.； 25.； 26.；27. 328. 解：由解得；由解得；由解得；所以函數(shù)的定義域?yàn)榛虮硎緸椤?9. 、是同一函數(shù)，因?yàn)槎x域和對應(yīng)法那么都相同，表示變量的字母可以不同。不是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊亩x域不相同。不是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈儗?yīng)的函數(shù)值不相同，即對應(yīng)法那么不同。30.解：； 。31.解：；32. 解：；33 .解： ； 34.解：35.解：因?yàn)?，；所以函數(shù)在指定點(diǎn)的極限不存在。 因?yàn)?，；所以函?shù)在指定點(diǎn)的極限。36.；37.；38.；3

7、9. 40. 41. 42. 43. 原式= 44. 原式45. 原式46. 原式47. 原式48.解 49. 間斷，函數(shù)在處無定義且左右極限不存在，第二類間斷點(diǎn)50. 間斷，函數(shù)在處左右極限不存在，第二類間斷點(diǎn)51. 間斷，但，兩者不相等，第一類間斷點(diǎn)52. 解：53. 解：54. 證明：設(shè)，那么在1，2上連續(xù)，根據(jù)零點(diǎn)定理，必存在一點(diǎn)使，那么就是方程的根。55. 原式56. 證明：，任給一個(gè)增量，對應(yīng)的有函數(shù)的增量. ，由夾逼準(zhǔn)那么知，再由的任意性知正弦函數(shù) 在其定義域上處處連續(xù)，即它是連續(xù)函數(shù)。 57. 解：注意f (x)是分段函數(shù)，且點(diǎn)兩側(cè)f表達(dá)式不一致。解法1： ， ， . 又， 函數(shù)在點(diǎn)處連