函數(shù)的凹凸性

1、函數(shù)的凹凸性專題一、函數(shù)凹凸性的定義1、凹函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)，假設(shè)恒有，那么稱的圖象是凹的，函數(shù)為凹函數(shù)；2、凸函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)，假設(shè)恒有，那么稱的圖象是凸的，函數(shù)為凸函數(shù).二、凹凸函數(shù)圖象的幾何特征1、形狀特征如圖，設(shè)是凹函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，那么，過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)圖象于點(diǎn)，交于點(diǎn). 凹函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)與之間的局部位于弦的下方；凸函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)與之間的局部位于弦的上方.簡(jiǎn)記為：形狀凹下凸上.2、切線斜率特征凹函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率隨增大而增大即的二階導(dǎo)數(shù)；凸函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率隨增大

2、而減小即的二階導(dǎo)數(shù).簡(jiǎn)記為：斜率凹增凸減.3、增量特征 設(shè)函數(shù)為凹函數(shù)，函數(shù)為凸函數(shù)，其函數(shù)圖象如下列圖.當(dāng)自變量依次增加一個(gè)單位增量時(shí)，函數(shù)的相應(yīng)增量越來越大；函數(shù)的相應(yīng)增量越來越小.由此，對(duì)的每一個(gè)單位增量，函數(shù)的對(duì)應(yīng)增量凹函數(shù)的增量特征是：越來越大； 凸函數(shù)的增量特征是：越來越小.三、常用的不等式1、二次函數(shù)中，；2、反比例函數(shù)中，；3、指數(shù)函數(shù)中，；4、對(duì)數(shù)函數(shù)中，；5、對(duì)數(shù)函數(shù)中，；6、冪函數(shù)中，；7、冪函數(shù)中，；8、正弦函數(shù)中，；9、余弦函數(shù)，；10、正切函數(shù)，.四、函數(shù)凹凸性在高考中的應(yīng)用1、05湖北理6在，四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使得恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 2、 06重慶理9如下列圖，

3、單位圓中弧的長為，表示弧與弦所圍成弓形面積的倍，那么函數(shù)的圖象是 3、07江西理8 四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如下列圖盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為，那么它們的大小關(guān)系正確的選項(xiàng)是 、 、 、4、98全國理10向高為的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量與水深的函數(shù)關(guān)系的圖象如以下列圖所示，那么水瓶的形狀是 5、09廣東理8 甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線假定為直線行駛甲車、乙車的速度曲線分別為和.如圖2所示那么對(duì)于圖中給定的和，以下判斷中一定正確的選項(xiàng)是 、在時(shí)刻，甲車在乙車前面

4、 、時(shí)刻后，甲車在乙車后面、 在時(shí)刻，兩車的位置相同 、時(shí)刻后，乙車在甲車前面6、00江西理7假設(shè)，那么 7、11山東理9函數(shù)的圖象大致是 8、13新課標(biāo)I文9函數(shù)在上的圖象大致為 9、16新課標(biāo)7函數(shù)在的圖象大致為 10、13江西理10如圖，半徑為的半圓與正夾在兩平行直線，之間，與半圓相交于，兩點(diǎn)，與兩邊相交于，兩點(diǎn).設(shè)弧的長為，假設(shè)從平行移動(dòng)到，那么函數(shù)的圖象大致是 11、17全國II理23，那么的最大值為_.12、，那么的最小值為_.13、，且，那么_.填14、，且，那么的最小值為_.15、在中，的最大值為_.16、，且，那么的最小值為_.17、，且，那么的最小值為_.18、，那么的最小值為_.19、，且，那么的最小值為_.20、10安徽文16假設(shè)，那么以下不等式對(duì)一切滿足條件恒成立的是_.； ； ； ； 21、14新課標(biāo)理24假設(shè)，且.那么的最小值_.22、15重慶文14，且，那么的最大值為_.23、05全國卷