船舶流體力學第5章(打印)

1、第五章 旋渦理論本章主要研究：旋渦運動，不涉及力，屬于運動學范疇。 由于旋渦場的特性不同于一般流場，在這里我們專門對其進行分析研究。旋渦與船體的阻力、振動、噪聲等問題密切相關。旋渦運動理論廣泛地應用于工程實際，比如 機翼、螺旋槳理論等。旋渦的產生：與壓力差、質量力和粘性力等因素有關。根據邊界層理論，流體流過固體壁面時，除壁面附近粘性影響嚴重的一薄層外，其余區(qū)域的流動可視為理想流體的無旋運動。圖片：§5.1 旋渦運動的基本概念流體微團：由大量流體質點所組成的，具有線性尺度效應的微小流體團。 剛體的運動是由于平移和繞某瞬時軸的轉動兩部分組成。 流體微團的運動一般除了平移和繞某瞬時軸的轉動

2、之外，還有線變形運動和角變形運動。一. 速度分解定理： 設t時刻流場中任一流體微團中某點A(x,y,z)的速度為Vx、Vy、Vz，則與點A相鄰的點M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度為： 引入符號： 同理： 上式稱為海姆霍茨（Helmholtz）速度分解定理。二.流體微團的運動形式：這里僅分析正交微小六面體流體微團的一個平面的運動情況（其它平面的情況可按同樣的原則類推）。設t時刻矩形ABCD上A(x,y)點的速度分量為 Vx 、Vy ，則B(x+dx,y)點的速度分量為： D(x,y+dy)點的速度分量為： t+dt時刻，矩形ABCD變形運動至ABCD，如圖所示。 A、B和D的移動距離如圖

3、所示。1. Vx、Vy (及Vz )分別是流體微團在x,y (及z)方向的平移速度。 如上圖，沿x方向的絕對變形量為： 對于不可壓縮連續(xù)流體，有： 稱為流體的體積變形率。 事實上，這是不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程。 定義：角變形量的一半對時間的變化率為角變形速度。故，流體微團在xoy平面上的角變形率為： 同理，流體微團在yoz及zox平面上的角變形速度分別為： xzy記憶法則角變形又稱為剪切變形，角變形率也稱為剪切變形率。 同理，流體微團繞x、y軸的旋轉角速度分別為： 定義角速度矢量為： 在圓柱坐標系中，旋轉角速度的三個分量表示為： 旋轉角速度矢量的正方向按右手螺旋法則確定?？傊黧w微團的運

4、動一般包括：平移，線變形運動，角變形運動和繞某瞬時軸的轉動。三.有旋流動和無旋流動：每一流體微團的旋轉角速度都等于零的流動，稱為無旋流（無渦流）。 這時：最后說明一下：1.流動是有旋流或無旋流取決于流體微團本身是否旋轉，與其運動軌跡無關。運動軌跡為圓，但為無旋流。 運動軌跡為直線，卻為有旋流。2.無旋流一般存在于理想流體之中，而有旋流一般存在于粘性流體之中。（由于內摩擦切應力使流體微團轉動。）例1：已知流體流動的流速場為: Vx = ax ,Vy = by , Vz = 0，試判斷該流動是無旋流還是有旋流？解： 故流體流動是無旋流。四.旋渦強度：1.渦量：渦量速度矢量的旋度。 即旋轉角速度的兩

5、倍值，稱為渦量。 由矢量運算規(guī)則，有： 這是渦矢量的一個重要特性。 2.渦通量（渦管強度）：面積S上的渦通量 - 旋轉角速度在S上法向分量的積分。若S為渦管截面也稱為渦管強度(或渦強)。常用J表示。 五.渦線、渦面和渦管：1.渦線：.渦線的定義：某瞬時, 如果流場中的某一條曲線上每一點的切線都與該點的流體微團的旋轉角速度方向相同, 則稱此曲線為該瞬時的一條渦線。渦線就是沿該曲線上各流體微團的瞬時轉動軸線。 .渦線的特征：1）.只有當流體的流動為有旋流動時，才存在渦線。2）.渦線具有瞬時性，在不同的瞬時，渦線的形狀一般不同。定常流動時渦線的形狀保持不變。3）.一般情況下，渦線與流線不是重合而是相

6、交。.渦線微分方程：設渦線微段為： 該點流體微團的旋轉角速度為： 若已知x、y、z，積分上式可得渦線。與流線的積分一樣，將看成參數。取定值就得到該瞬時的渦線。2.渦面、渦管：某瞬時通過給定曲線（不是渦線）C上的每一點的渦線所構成的曲面稱為渦面。在渦量場中任意繪一條非渦線的封閉曲線，在該曲線上的每一點作渦線，這些渦線所圍成的管狀面稱為渦管（vortex tube）。渦管橫截面積上的旋渦強度也稱為渦管強度。渦管中充滿著作旋轉運動的流體，稱為渦束。截面積為無限小的渦束稱為渦索（或渦絲vortex filament）。也有的教材把上述概念用張量表示為： 例2：設流場的速度分布為Vr， V= r，con

7、st.，求渦線方程。解： 容易驗證： xy。 積分得: =1 ， =2 垂直于xoy平面的直線。§5.2 速度環(huán)量和斯托克斯定理一. 速度環(huán)量：1.定義：速度矢量在積分路徑方向的分量沿該路徑的線積分稱為沿該曲線的速度環(huán)量。 速度環(huán)量是一個標量，可為正值，亦可為負值。當速度方向和曲線方向同向（或成銳角）時，速度環(huán)量為正值；異向（或成鈍角）時，速度環(huán)量為負值。線積分方向相反的速度環(huán)量，相差一個負號。 沿封閉曲線的速度環(huán)量： L 注意：積分路線的方向為曲線邊界的正方向。即，使曲線所圍的區(qū)域D永遠保持在它的左側。2.速度環(huán)量的計算：1)已知速度場，求沿一條開曲線的速度環(huán)量。對于無旋流場：對于

8、有旋流場：2）已知速度場，求沿一條閉曲線的速度環(huán)量。對于無旋場： 對于有旋場： 此式稱為斯托克斯定理。二.斯托克斯定理：由高等數學知： 沿任意閉曲線的速度環(huán)量等于以該曲線為邊界的曲面內的旋渦強度的兩倍,即 J。 現將斯托克斯定理證明如下：如圖，在流場中取微元矩形abcd。0cdabdxxydy微矩形面積dS上的速度環(huán)量： 將C所圍區(qū)域分為若干個微矩形, 對各微分面積求dG。兩相鄰矩形公共邊積分路線相反,速度環(huán)量的和為零。 故，內部線段環(huán)量相互抵消，只剩外部邊界的環(huán)量。 斯托克斯定理將速度環(huán)量與旋渦強度通過線積分與面積分聯系起來了。封閉曲線C上的速度環(huán)量與 C所圍單連通區(qū)域S上的旋渦強度之間具有

9、數量關系。 斯托克斯定理中的S可以是空間曲面面積，而不一定要求是平面面積。 注意：上述斯托克斯定理只適用于“單連通區(qū)域”。單連通區(qū)域： C所包圍的區(qū)域S內全部是流體，沒有固體或空洞。復連通域(多連通域)：C的內部有空洞或者包含其他的物體。CSC區(qū)域在走向的左側如圖用AB線將S切開，則沿周線ABB´A´EA前進所圍的區(qū)域為單連通域。由斯托克斯定理有： ：沿外邊界逆時針的環(huán)量。 L：沿內邊界順時針的環(huán)量。 積分路線相反，抵消掉了。這就是雙連通域的斯托克斯定理。推論一：單連域內的無旋運動，流場中處處為零，則沿任意封閉周線的速度環(huán)量為零。反之，若沿任意封閉周線的速度環(huán)量都等于零，可

10、得流場中處處為零的結論。但若沿某封閉周線的速度環(huán)量為零，則并不一定無旋（可能包圍強度相同轉向相反的旋渦）。推論二：對于包含一固體在內的雙連通域，若流動無旋，則沿包含固體在內的任意兩個封閉周線的環(huán)量彼此相等。則 有：C。 當積分路徑方向一致時，則：C。例3：對于平面流動，設面積A´外的區(qū)域是無旋流動區(qū)。試證明包圍A´的任一條封閉曲線L上的速度環(huán)量等于區(qū)域的邊界曲線L´上的速度環(huán)量。證： 如圖所示，作割線并記割線兩側為ab和a´b´。 顯然，封閉曲線abcb´a´da所圍的區(qū)域是無旋流動區(qū)域，其速度環(huán)量應為零，即： 由于ab和b

11、´a´ 是同一割線的兩側，而且積分方向相反，故： 例4：在大圓內包含了A、B、C、D四個旋渦,其強度分別為：A =B =， C = D =。 求：沿周線S的速度環(huán)量。解：由斯托克斯定理： 故，S所圍區(qū)域內速度環(huán)量為零，但該區(qū)域內并非處處無旋。例5：已知速度場： 求：繞圓心的速度環(huán)量。解：在極坐標下：§5.3 湯姆遜定理湯姆遜（Thomson）定理又稱為開爾文（Kelvin）定理。 流體線的定義： 由相同流體質點組成的連續(xù)曲線稱為流體線?；炯僭O：（1）理想流體； （2）質量力有勢； （3）正壓流體（流體密度僅為壓力的函數）。正壓流體：流體的密度只是當地壓強的單值函

12、數，這種流體稱為正壓流體。即 =（p）。不可壓縮均質流體、等熵流動的均質氣體等都是正壓流體。對于正壓流體，引入壓力函數PF（x，y，z）： 湯姆遜定理:沿流體質點組成的任一封閉流體周線的速度環(huán)量不隨時間而變。 考察封閉流體線 L 上的速度環(huán)量： 將 這里， 以及 代入理想流體的運動微分方程，即： 并代入上式，可得：這表明，理想、正壓流體在有勢質量力的作用下運動時，沿任意封閉流體線的速度環(huán)量在運動過程中不隨時間變化。 這個結論稱為湯姆遜定理（也稱為開爾文定理）。 §5.4 拉格朗日定理拉格朗日定理: 理想正壓流體在有勢力場中可以持續(xù)地作無旋運動。 現簡單證明如下： （復習）斯托克斯定理

13、：沿任意閉曲線的速度環(huán)量等于以該曲線為邊界的曲面內的旋渦強度的兩倍,即 J。斯托克斯定理表述了封閉曲線L上的速度環(huán)量與L所圍單連通區(qū)域S上的旋渦強度之間所具有數量關系。 故，當理想、正壓流體在有勢質量力的作用下運動時，如果在某一時刻流體的運動無旋，則在此前和此后的所有時刻流體的運動也必定無旋。因此，如果理想、正壓流體在有勢質量力的作用下從靜止狀態(tài)開始運動，則流動將始終無旋。例如，從靜止開始的波浪運動，由于流體靜止時是無旋的，因此產生波浪以后，波浪運動是無旋運動?？傊?，由湯姆遜定理和斯托克斯定理說明：1) 在理想流體中,速度環(huán)量和旋渦不生不滅。因為不存在切向應力，不能傳遞旋轉運動。 2) 推論:

14、 流場中原來有旋渦和速度環(huán)量的，永遠有旋渦并保持環(huán)量不變，原來沒有旋渦和速度環(huán)量的, 就永遠無旋渦和速度環(huán)量。 比如繞流物體的流動，遠前方流動對物體無擾動，該處流動無旋，接近物體時流動不再是均勻流，根據湯姆遜定理和斯托克斯定理，則流動仍將保持為無旋運動。注意：貼近物體表面的極薄一層流體（即邊界層內的流體）要除外，由于粘性的存在，邊界層內的流體的流動為有旋運動。因此： 拉格朗日定理也可表述為：在理想、正壓流體、質量力有勢的條件下，渦量不生不滅。由湯姆遜定理（或開爾文定理）和斯托克斯定理還可以得出如下結論：流體具有粘性，流體是非正壓的或在非有勢的質量力的作用下運動是生成旋渦運動的原因。 下面舉例說

15、明：(1) 粘性：均勻流體經過物體邊界層時運動變?yōu)橛行?2) 非正壓流場：大氣和海洋中的密度分層形成旋渦；(3) 非有勢力場：地球哥氏力使氣流生成旋渦（旋風）；(4) 流場的間斷（非連續(xù)）：曲面激波后形成有旋流動。 §5.5 海姆霍茲定理海姆霍茨（Helmholtz）有三個關于渦管的定理。海姆霍茲第一定理 渦管強度守恒定理。 即：在同一瞬時，沿渦管長度各截面的渦通量保持不變。 證明：如圖所示： 得證。若渦量在截面S1、S2上均勻分布，記為1、2，得： 可見，渦量與截面積S成反比，S大則渦量小，S小則渦量大。若S縮為零，則渦量或角速度將增至無窮大。這在物理上是不可能的。 因此，渦管不

16、能在流體中以尖端形式終止或開始，否則S時有。 不可能的情況渦管存在的形式：要么終止于流體邊界或固體邊界，要么自行封閉形成渦環(huán)。也就是說渦管不可能在流體中開始或終止，它只能自成封閉形，或開始、終止于邊界面或伸展到無窮遠。比如煙圈成呈環(huán)形、龍卷風開始和終止于地面與云層。 圖片：海姆霍茲第二定理渦管保持定理。 即：理想、正壓流體在有勢質量力作用下運動時，渦管永遠由相同的流體質點所組成。證明：渦管在渦管表面上取封閉流體周線C。由斯托克斯定理知沿周線C的G=0，由湯姆遜定理該速度環(huán)量永遠為零。 即C所圍的區(qū)域永遠沒有渦線通過。也就是說：渦管永遠由相同的流體質點所組成。但渦管的形狀和位置可能隨時間變化。海

17、姆霍茲第三定理渦管旋渦強度不隨時間而變。 即：理想、正壓流體在有勢質量力作用下運動時，渦管的旋渦強度不隨時間而變化。由斯托克斯定理知繞渦管的速度環(huán)量等于渦管的旋渦強度，又由湯姆遜定理知該速度環(huán)量不隨時間而變化，因而渦管的旋渦強度不隨時間而變化。海姆霍茲第一定理既適用于理想流體又適用于粘性流體。海姆霍茲第二、第三定理只適用于理想流體。因為流體的粘性將導致流體微團的剪切變形、速度等參數的脈動以及能量耗散，旋渦強度將隨時間而衰減。綜上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正壓流體在有勢場中運動時渦量演化的規(guī)律：若流體理想、正壓、質量力有勢，無旋運動將永遠無旋，有

18、旋運動將永遠有旋；渦線、渦面、渦管及渦管強度具有保持性。若不滿足其中任一條件，則流體在運動過程中會產生新的旋渦，使無旋變成有旋，不具備保持性。圖片：§5.6 旋渦的誘導速度問題：由§5.2知，如果已知速度場可通過求偏導來確定旋渦場。現若已知旋渦場，能否反過來確定速度場？ 這是本節(jié)要討論的問題。問題的前提：流場中只存在一部分旋渦，其它區(qū)域全為無旋區(qū)。例如流場中有若干弧立渦絲，必然影響周圍無旋區(qū)的速度分布。由渦絲引起的速度場稱為旋渦誘導速度場。渦絲的誘導速度：水電比擬: 物理現象不同，但滿足相同的數學方程，其數學解相同。電流誘導磁場強度 旋渦誘導流體速度。 電磁場 流場 方程磁

19、場強度 H v 流體速度 磁場勢 V 速度勢 電流面密度 渦量 電流強度 i 速度環(huán)量 渦絲誘導的速度場的計算:為了求渦絲（或渦索）誘導的速度場，現將電磁場中的畢奧沙伐爾定理引用過來。誘導速度場與電磁場的類比磁 場 誘導速度場帶電導線 渦絲(渦索)電流強度 旋渦強度G誘導磁場強度 誘導速度場場點電磁學中，電流強度為的導線，其微元段ds對場點所產生的磁場強度由畢奧沙伐爾公式得： ： ds離場點P的矢徑， ：是ds與的夾角。dH的方向： 垂直于ds和所在的平面，按右手法則確定。下面對應地可寫出流體力學中的畢奧沙伐爾（BiotSavart）公式。流體力學中畢奧沙伐爾公式的形式：旋渦強度為（環(huán)量2）的

20、ds段渦絲對于點所產生的誘導速度：流場中單一有限長渦絲在P點的誘導速度沿整個渦絲積分：該式可算出任意單一渦絲所引起的誘導速度場。流場中多條渦絲可組成一渦面, 每條渦絲的誘導速度求得后，沿渦面積分就可求得整個渦面上的誘導速度。流體力學中速度場可以看成是渦絲誘導出來的。典型實例：無限長直渦絲直渦絲如圖，dx段對點的誘導速度是： 由圖可見： 故，段對點的誘導速度為： 方向垂直于紙面向外。1.對于無限長直渦絲：=， =180°。 2.對于半無限長直渦絲：=90°，=180°。在垂直于無限長直渦絲的任何平面內, 流動都是相同的，可視為二維流動, 相當于一個平面點渦。如環(huán)量為

21、，則在平面極坐標內的誘導速度為： R為場點至點渦的距離?？梢宰C明平面點渦誘導的速度場除點 R = 0 外處處無旋 Ñ´V = 0。盡管渦絲本身是有旋的，它誘導的速度場卻是無旋的（見書 P70）。例6：如圖為強度相等的兩點渦的初始位置，試就(a)和(b)兩種情況分析此兩點渦的運動。解:(a)：在(a)中，兩點渦大小相等，方向相反。由BS定律：點： B點： 積分得： 令時： 代入方程得：1=，2=， 3=-，4=。故，兩點的運動方程為： 點： 點： 由于在(a)中，兩點渦大小相等，方向相反。故，在運動中兩點渦相對位置會保持不變。它們同時沿方向等速向下移動。對于情況( b )：點： B點： 開始時點向上，點向下運動，形成圍繞坐標原點，沿半徑為的圓周的等速轉動。轉動的角速度為： 旋渦中心點和點的運動方程為： 對于： 對于： §5.7 蘭 金 渦蘭金（Rankine）渦是有核旋渦的一個簡化模型。蘭金提出