船舶流體力學(xué)第5章(打印)

1、第五章 旋渦理論本章主要研究：旋渦運(yùn)動(dòng)，不涉及力，屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)范疇。 由于旋渦場(chǎng)的特性不同于一般流場(chǎng)，在這里我們專(zhuān)門(mén)對(duì)其進(jìn)行分析研究。旋渦與船體的阻力、振動(dòng)、噪聲等問(wèn)題密切相關(guān)。旋渦運(yùn)動(dòng)理論廣泛地應(yīng)用于工程實(shí)際，比如 機(jī)翼、螺旋槳理論等。旋渦的產(chǎn)生：與壓力差、質(zhì)量力和粘性力等因素有關(guān)。根據(jù)邊界層理論，流體流過(guò)固體壁面時(shí)，除壁面附近粘性影響嚴(yán)重的一薄層外，其余區(qū)域的流動(dòng)可視為理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。圖片：§5.1 旋渦運(yùn)動(dòng)的基本概念流體微團(tuán)：由大量流體質(zhì)點(diǎn)所組成的，具有線性尺度效應(yīng)的微小流體團(tuán)。 剛體的運(yùn)動(dòng)是由于平移和繞某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分組成。 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)一般除了平移和繞某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

2、之外，還有線變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)。一. 速度分解定理： 設(shè)t時(shí)刻流場(chǎng)中任一流體微團(tuán)中某點(diǎn)A(x,y,z)的速度為Vx、Vy、Vz，則與點(diǎn)A相鄰的點(diǎn)M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度為： 引入符號(hào)： 同理： 上式稱(chēng)為海姆霍茨（Helmholtz）速度分解定理。二.流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式：這里僅分析正交微小六面體流體微團(tuán)的一個(gè)平面的運(yùn)動(dòng)情況（其它平面的情況可按同樣的原則類(lèi)推）。設(shè)t時(shí)刻矩形ABCD上A(x,y)點(diǎn)的速度分量為 Vx 、Vy ，則B(x+dx,y)點(diǎn)的速度分量為： D(x,y+dy)點(diǎn)的速度分量為： t+dt時(shí)刻，矩形ABCD變形運(yùn)動(dòng)至ABCD，如圖所示。 A、B和D的移動(dòng)距離如圖

3、所示。1. Vx、Vy (及Vz )分別是流體微團(tuán)在x,y (及z)方向的平移速度。 如上圖，沿x方向的絕對(duì)變形量為： 對(duì)于不可壓縮連續(xù)流體，有： 稱(chēng)為流體的體積變形率。 事實(shí)上，這是不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程。 定義：角變形量的一半對(duì)時(shí)間的變化率為角變形速度。故，流體微團(tuán)在xoy平面上的角變形率為： 同理，流體微團(tuán)在yoz及zox平面上的角變形速度分別為： xzy記憶法則角變形又稱(chēng)為剪切變形，角變形率也稱(chēng)為剪切變形率。 同理，流體微團(tuán)繞x、y軸的旋轉(zhuǎn)角速度分別為： 定義角速度矢量為： 在圓柱坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)角速度的三個(gè)分量表示為： 旋轉(zhuǎn)角速度矢量的正方向按右手螺旋法則確定?？傊?，流體微團(tuán)的運(yùn)

4、動(dòng)一般包括：平移，線變形運(yùn)動(dòng)，角變形運(yùn)動(dòng)和繞某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。三.有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)：每一流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度都等于零的流動(dòng)，稱(chēng)為無(wú)旋流（無(wú)渦流）。 這時(shí)：最后說(shuō)明一下：1.流動(dòng)是有旋流或無(wú)旋流取決于流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)，與其運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，但為無(wú)旋流。 運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，卻為有旋流。2.無(wú)旋流一般存在于理想流體之中，而有旋流一般存在于粘性流體之中。（由于內(nèi)摩擦切應(yīng)力使流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)。）例1：已知流體流動(dòng)的流速場(chǎng)為: Vx = ax ,Vy = by , Vz = 0，試判斷該流動(dòng)是無(wú)旋流還是有旋流？解： 故流體流動(dòng)是無(wú)旋流。四.旋渦強(qiáng)度：1.渦量：渦量速度矢量的旋度。 即旋轉(zhuǎn)角速度的兩

5、倍值，稱(chēng)為渦量。 由矢量運(yùn)算規(guī)則，有： 這是渦矢量的一個(gè)重要特性。 2.渦通量（渦管強(qiáng)度）：面積S上的渦通量 - 旋轉(zhuǎn)角速度在S上法向分量的積分。若S為渦管截面也稱(chēng)為渦管強(qiáng)度(或渦強(qiáng))。常用J表示。 五.渦線、渦面和渦管：1.渦線：.渦線的定義：某瞬時(shí), 如果流場(chǎng)中的某一條曲線上每一點(diǎn)的切線都與該點(diǎn)的流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度方向相同, 則稱(chēng)此曲線為該瞬時(shí)的一條渦線。渦線就是沿該曲線上各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。 .渦線的特征：1）.只有當(dāng)流體的流動(dòng)為有旋流動(dòng)時(shí)，才存在渦線。2）.渦線具有瞬時(shí)性，在不同的瞬時(shí)，渦線的形狀一般不同。定常流動(dòng)時(shí)渦線的形狀保持不變。3）.一般情況下，渦線與流線不是重合而是相

6、交。.渦線微分方程：設(shè)渦線微段為： 該點(diǎn)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度為： 若已知x、y、z，積分上式可得渦線。與流線的積分一樣，將看成參數(shù)。取定值就得到該瞬時(shí)的渦線。2.渦面、渦管：某瞬時(shí)通過(guò)給定曲線（不是渦線）C上的每一點(diǎn)的渦線所構(gòu)成的曲面稱(chēng)為渦面。在渦量場(chǎng)中任意繪一條非渦線的封閉曲線，在該曲線上的每一點(diǎn)作渦線，這些渦線所圍成的管狀面稱(chēng)為渦管（vortex tube）。渦管橫截面積上的旋渦強(qiáng)度也稱(chēng)為渦管強(qiáng)度。渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體，稱(chēng)為渦束。截面積為無(wú)限小的渦束稱(chēng)為渦索（或渦絲vortex filament）。也有的教材把上述概念用張量表示為： 例2：設(shè)流場(chǎng)的速度分布為Vr， V= r，con

7、st.，求渦線方程。解： 容易驗(yàn)證： xy。 積分得: =1 ， =2 垂直于xoy平面的直線。§5.2 速度環(huán)量和斯托克斯定理一. 速度環(huán)量：1.定義：速度矢量在積分路徑方向的分量沿該路徑的線積分稱(chēng)為沿該曲線的速度環(huán)量。 速度環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量，可為正值，亦可為負(fù)值。當(dāng)速度方向和曲線方向同向（或成銳角）時(shí)，速度環(huán)量為正值；異向（或成鈍角）時(shí)，速度環(huán)量為負(fù)值。線積分方向相反的速度環(huán)量，相差一個(gè)負(fù)號(hào)。 沿封閉曲線的速度環(huán)量： L 注意：積分路線的方向?yàn)榍€邊界的正方向。即，使曲線所圍的區(qū)域D永遠(yuǎn)保持在它的左側(cè)。2.速度環(huán)量的計(jì)算：1)已知速度場(chǎng)，求沿一條開(kāi)曲線的速度環(huán)量。對(duì)于無(wú)旋流場(chǎng)：對(duì)于

8、有旋流場(chǎng)：2）已知速度場(chǎng)，求沿一條閉曲線的速度環(huán)量。對(duì)于無(wú)旋場(chǎng)： 對(duì)于有旋場(chǎng)： 此式稱(chēng)為斯托克斯定理。二.斯托克斯定理：由高等數(shù)學(xué)知： 沿任意閉曲線的速度環(huán)量等于以該曲線為邊界的曲面內(nèi)的旋渦強(qiáng)度的兩倍,即 J。 現(xiàn)將斯托克斯定理證明如下：如圖，在流場(chǎng)中取微元矩形abcd。0cdabdxxydy微矩形面積dS上的速度環(huán)量： 將C所圍區(qū)域分為若干個(gè)微矩形, 對(duì)各微分面積求dG。兩相鄰矩形公共邊積分路線相反,速度環(huán)量的和為零。 故，內(nèi)部線段環(huán)量相互抵消，只剩外部邊界的環(huán)量。 斯托克斯定理將速度環(huán)量與旋渦強(qiáng)度通過(guò)線積分與面積分聯(lián)系起來(lái)了。封閉曲線C上的速度環(huán)量與 C所圍單連通區(qū)域S上的旋渦強(qiáng)度之間具有

9、數(shù)量關(guān)系。 斯托克斯定理中的S可以是空間曲面面積，而不一定要求是平面面積。 注意：上述斯托克斯定理只適用于“單連通區(qū)域”。單連通區(qū)域： C所包圍的區(qū)域S內(nèi)全部是流體，沒(méi)有固體或空洞。復(fù)連通域(多連通域)：C的內(nèi)部有空洞或者包含其他的物體。CSC區(qū)域在走向的左側(cè)如圖用AB線將S切開(kāi)，則沿周線ABB´A´EA前進(jìn)所圍的區(qū)域?yàn)閱芜B通域。由斯托克斯定理有： ：沿外邊界逆時(shí)針的環(huán)量。 L：沿內(nèi)邊界順時(shí)針的環(huán)量。 積分路線相反，抵消掉了。這就是雙連通域的斯托克斯定理。推論一：?jiǎn)芜B域內(nèi)的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，流場(chǎng)中處處為零，則沿任意封閉周線的速度環(huán)量為零。反之，若沿任意封閉周線的速度環(huán)量都等于零，可

10、得流場(chǎng)中處處為零的結(jié)論。但若沿某封閉周線的速度環(huán)量為零，則并不一定無(wú)旋（可能包圍強(qiáng)度相同轉(zhuǎn)向相反的旋渦）。推論二：對(duì)于包含一固體在內(nèi)的雙連通域，若流動(dòng)無(wú)旋，則沿包含固體在內(nèi)的任意兩個(gè)封閉周線的環(huán)量彼此相等。則 有：C。 當(dāng)積分路徑方向一致時(shí)，則：C。例3：對(duì)于平面流動(dòng)，設(shè)面積A´外的區(qū)域是無(wú)旋流動(dòng)區(qū)。試證明包圍A´的任一條封閉曲線L上的速度環(huán)量等于區(qū)域的邊界曲線L´上的速度環(huán)量。證： 如圖所示，作割線并記割線兩側(cè)為ab和a´b´。 顯然，封閉曲線abcb´a´da所圍的區(qū)域是無(wú)旋流動(dòng)區(qū)域，其速度環(huán)量應(yīng)為零，即： 由于ab和b

11、´a´ 是同一割線的兩側(cè)，而且積分方向相反，故： 例4：在大圓內(nèi)包含了A、B、C、D四個(gè)旋渦,其強(qiáng)度分別為：A =B =， C = D =。 求：沿周線S的速度環(huán)量。解：由斯托克斯定理： 故，S所圍區(qū)域內(nèi)速度環(huán)量為零，但該區(qū)域內(nèi)并非處處無(wú)旋。例5：已知速度場(chǎng)： 求：繞圓心的速度環(huán)量。解：在極坐標(biāo)下：§5.3 湯姆遜定理湯姆遜（Thomson）定理又稱(chēng)為開(kāi)爾文（Kelvin）定理。 流體線的定義： 由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)曲線稱(chēng)為流體線?；炯僭O(shè)：（1）理想流體； （2）質(zhì)量力有勢(shì)； （3）正壓流體（流體密度僅為壓力的函數(shù)）。正壓流體：流體的密度只是當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)的單值函

12、數(shù)，這種流體稱(chēng)為正壓流體。即 =（p）。不可壓縮均質(zhì)流體、等熵流動(dòng)的均質(zhì)氣體等都是正壓流體。對(duì)于正壓流體，引入壓力函數(shù)PF（x，y，z）： 湯姆遜定理:沿流體質(zhì)點(diǎn)組成的任一封閉流體周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變。 考察封閉流體線 L 上的速度環(huán)量： 將 這里， 以及 代入理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，即： 并代入上式，可得：這表明，理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿任意封閉流體線的速度環(huán)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不隨時(shí)間變化。 這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為湯姆遜定理（也稱(chēng)為開(kāi)爾文定理）。 §5.4 拉格朗日定理拉格朗日定理: 理想正壓流體在有勢(shì)力場(chǎng)中可以持續(xù)地作無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。 現(xiàn)簡(jiǎn)單證明如下： （復(fù)習(xí)）斯托克斯定理

13、：沿任意閉曲線的速度環(huán)量等于以該曲線為邊界的曲面內(nèi)的旋渦強(qiáng)度的兩倍,即 J。斯托克斯定理表述了封閉曲線L上的速度環(huán)量與L所圍單連通區(qū)域S上的旋渦強(qiáng)度之間所具有數(shù)量關(guān)系。 故，當(dāng)理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果在某一時(shí)刻流體的運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則在此前和此后的所有時(shí)刻流體的運(yùn)動(dòng)也必定無(wú)旋。因此，如果理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則流動(dòng)將始終無(wú)旋。例如，從靜止開(kāi)始的波浪運(yùn)動(dòng)，由于流體靜止時(shí)是無(wú)旋的，因此產(chǎn)生波浪以后，波浪運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。總之，由湯姆遜定理和斯托克斯定理說(shuō)明：1) 在理想流體中,速度環(huán)量和旋渦不生不滅。因?yàn)椴淮嬖谇邢驊?yīng)力，不能傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 2) 推論:

14、 流場(chǎng)中原來(lái)有旋渦和速度環(huán)量的，永遠(yuǎn)有旋渦并保持環(huán)量不變，原來(lái)沒(méi)有旋渦和速度環(huán)量的, 就永遠(yuǎn)無(wú)旋渦和速度環(huán)量。 比如繞流物體的流動(dòng)，遠(yuǎn)前方流動(dòng)對(duì)物體無(wú)擾動(dòng)，該處流動(dòng)無(wú)旋，接近物體時(shí)流動(dòng)不再是均勻流，根據(jù)湯姆遜定理和斯托克斯定理，則流動(dòng)仍將保持為無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。注意：貼近物體表面的極薄一層流體（即邊界層內(nèi)的流體）要除外，由于粘性的存在，邊界層內(nèi)的流體的流動(dòng)為有旋運(yùn)動(dòng)。因此： 拉格朗日定理也可表述為：在理想、正壓流體、質(zhì)量力有勢(shì)的條件下，渦量不生不滅。由湯姆遜定理（或開(kāi)爾文定理）和斯托克斯定理還可以得出如下結(jié)論：流體具有粘性，流體是非正壓的或在非有勢(shì)的質(zhì)量力的作用下運(yùn)動(dòng)是生成旋渦運(yùn)動(dòng)的原因。 下面舉例說(shuō)

15、明：(1) 粘性：均勻流體經(jīng)過(guò)物體邊界層時(shí)運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛行?2) 非正壓流場(chǎng)：大氣和海洋中的密度分層形成旋渦；(3) 非有勢(shì)力場(chǎng)：地球哥氏力使氣流生成旋渦（旋風(fēng)）；(4) 流場(chǎng)的間斷（非連續(xù)）：曲面激波后形成有旋流動(dòng)。 §5.5 海姆霍茲定理海姆霍茨（Helmholtz）有三個(gè)關(guān)于渦管的定理。海姆霍茲第一定理 渦管強(qiáng)度守恒定理。 即：在同一瞬時(shí)，沿渦管長(zhǎng)度各截面的渦通量保持不變。 證明：如圖所示： 得證。若渦量在截面S1、S2上均勻分布，記為1、2，得： 可見(jiàn)，渦量與截面積S成反比，S大則渦量小，S小則渦量大。若S縮為零，則渦量或角速度將增至無(wú)窮大。這在物理上是不可能的。 因此，渦管不

16、能在流體中以尖端形式終止或開(kāi)始，否則S時(shí)有。 不可能的情況渦管存在的形式：要么終止于流體邊界或固體邊界，要么自行封閉形成渦環(huán)。也就是說(shuō)渦管不可能在流體中開(kāi)始或終止，它只能自成封閉形，或開(kāi)始、終止于邊界面或伸展到無(wú)窮遠(yuǎn)。比如煙圈成呈環(huán)形、龍卷風(fēng)開(kāi)始和終止于地面與云層。 圖片：海姆霍茲第二定理渦管保持定理。 即：理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，渦管永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。證明：渦管在渦管表面上取封閉流體周線C。由斯托克斯定理知沿周線C的G=0，由湯姆遜定理該速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零。 即C所圍的區(qū)域永遠(yuǎn)沒(méi)有渦線通過(guò)。也就是說(shuō)：渦管永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。但渦管的形狀和位置可能隨時(shí)間變化。海

17、姆霍茲第三定理渦管旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。 即：理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化。由斯托克斯定理知繞渦管的速度環(huán)量等于渦管的旋渦強(qiáng)度，又由湯姆遜定理知該速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化，因而渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化。海姆霍茲第一定理既適用于理想流體又適用于粘性流體。海姆霍茲第二、第三定理只適用于理想流體。因?yàn)榱黧w的粘性將導(dǎo)致流體微團(tuán)的剪切變形、速度等參數(shù)的脈動(dòng)以及能量耗散，旋渦強(qiáng)度將隨時(shí)間而衰減。綜上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正壓流體在有勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)渦量演化的規(guī)律：若流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢(shì)，無(wú)旋運(yùn)動(dòng)將永遠(yuǎn)無(wú)旋，有

18、旋運(yùn)動(dòng)將永遠(yuǎn)有旋；渦線、渦面、渦管及渦管強(qiáng)度具有保持性。若不滿足其中任一條件，則流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生新的旋渦，使無(wú)旋變成有旋，不具備保持性。圖片：§5.6 旋渦的誘導(dǎo)速度問(wèn)題：由§5.2知，如果已知速度場(chǎng)可通過(guò)求偏導(dǎo)來(lái)確定旋渦場(chǎng)?，F(xiàn)若已知旋渦場(chǎng)，能否反過(guò)來(lái)確定速度場(chǎng)？ 這是本節(jié)要討論的問(wèn)題。問(wèn)題的前提：流場(chǎng)中只存在一部分旋渦，其它區(qū)域全為無(wú)旋區(qū)。例如流場(chǎng)中有若干弧立渦絲，必然影響周?chē)鸁o(wú)旋區(qū)的速度分布。由渦絲引起的速度場(chǎng)稱(chēng)為旋渦誘導(dǎo)速度場(chǎng)。渦絲的誘導(dǎo)速度：水電比擬: 物理現(xiàn)象不同，但滿足相同的數(shù)學(xué)方程，其數(shù)學(xué)解相同。電流誘導(dǎo)磁場(chǎng)強(qiáng)度 旋渦誘導(dǎo)流體速度。 電磁場(chǎng) 流場(chǎng) 方程磁

19、場(chǎng)強(qiáng)度 H v 流體速度 磁場(chǎng)勢(shì) V 速度勢(shì) 電流面密度 渦量 電流強(qiáng)度 i 速度環(huán)量 渦絲誘導(dǎo)的速度場(chǎng)的計(jì)算:為了求渦絲（或渦索）誘導(dǎo)的速度場(chǎng)，現(xiàn)將電磁場(chǎng)中的畢奧沙伐爾定理引用過(guò)來(lái)。誘導(dǎo)速度場(chǎng)與電磁場(chǎng)的類(lèi)比磁 場(chǎng) 誘導(dǎo)速度場(chǎng)帶電導(dǎo)線 渦絲(渦索)電流強(qiáng)度 旋渦強(qiáng)度G誘導(dǎo)磁場(chǎng)強(qiáng)度 誘導(dǎo)速度場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)電磁學(xué)中，電流強(qiáng)度為的導(dǎo)線，其微元段ds對(duì)場(chǎng)點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度由畢奧沙伐爾公式得： ： ds離場(chǎng)點(diǎn)P的矢徑， ：是ds與的夾角。dH的方向： 垂直于ds和所在的平面，按右手法則確定。下面對(duì)應(yīng)地可寫(xiě)出流體力學(xué)中的畢奧沙伐爾（BiotSavart）公式。流體力學(xué)中畢奧沙伐爾公式的形式：旋渦強(qiáng)度為（環(huán)量2）的

20、ds段渦絲對(duì)于點(diǎn)所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度：流場(chǎng)中單一有限長(zhǎng)渦絲在P點(diǎn)的誘導(dǎo)速度沿整個(gè)渦絲積分：該式可算出任意單一渦絲所引起的誘導(dǎo)速度場(chǎng)。流場(chǎng)中多條渦絲可組成一渦面, 每條渦絲的誘導(dǎo)速度求得后，沿渦面積分就可求得整個(gè)渦面上的誘導(dǎo)速度。流體力學(xué)中速度場(chǎng)可以看成是渦絲誘導(dǎo)出來(lái)的。典型實(shí)例：無(wú)限長(zhǎng)直渦絲直渦絲如圖，dx段對(duì)點(diǎn)的誘導(dǎo)速度是： 由圖可見(jiàn)： 故，段對(duì)點(diǎn)的誘導(dǎo)速度為： 方向垂直于紙面向外。1.對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)直渦絲：=， =180°。 2.對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)直渦絲：=90°，=180°。在垂直于無(wú)限長(zhǎng)直渦絲的任何平面內(nèi), 流動(dòng)都是相同的，可視為二維流動(dòng), 相當(dāng)于一個(gè)平面點(diǎn)渦。如環(huán)量為

21、，則在平面極坐標(biāo)內(nèi)的誘導(dǎo)速度為： R為場(chǎng)點(diǎn)至點(diǎn)渦的距離。可以證明平面點(diǎn)渦誘導(dǎo)的速度場(chǎng)除點(diǎn) R = 0 外處處無(wú)旋 Ñ´V = 0。盡管渦絲本身是有旋的，它誘導(dǎo)的速度場(chǎng)卻是無(wú)旋的（見(jiàn)書(shū) P70）。例6：如圖為強(qiáng)度相等的兩點(diǎn)渦的初始位置，試就(a)和(b)兩種情況分析此兩點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)。解:(a)：在(a)中，兩點(diǎn)渦大小相等，方向相反。由BS定律：點(diǎn)： B點(diǎn)： 積分得： 令時(shí)： 代入方程得：1=，2=， 3=-，4=。故，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 點(diǎn)： 點(diǎn)： 由于在(a)中，兩點(diǎn)渦大小相等，方向相反。故，在運(yùn)動(dòng)中兩點(diǎn)渦相對(duì)位置會(huì)保持不變。它們同時(shí)沿方向等速向下移動(dòng)。對(duì)于情況( b )：點(diǎn)： B點(diǎn)： 開(kāi)始時(shí)點(diǎn)向上，點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，形成圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)，沿半徑為的圓周的等速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為： 旋渦中心點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 對(duì)于： 對(duì)于： §5.7 蘭 金 渦蘭金（Rankine）渦是有核旋渦的一個(gè)簡(jiǎn)化模型。蘭金提出