船舶流體力學(xué)第5章(打印)

1、第五章 旋渦理論本章主要研究：旋渦運(yùn)動(dòng)，不涉及力，屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)范疇。 由于旋渦場(chǎng)的特性不同于一般流場(chǎng)，在這里我們專門(mén)對(duì)其進(jìn)行分析研究。旋渦與船體的阻力、振動(dòng)、噪聲等問(wèn)題密切相關(guān)。旋渦運(yùn)動(dòng)理論廣泛地應(yīng)用于工程實(shí)際，比如 機(jī)翼、螺旋槳理論等。旋渦的產(chǎn)生：與壓力差、質(zhì)量力和粘性力等因素有關(guān)。根據(jù)邊界層理論，流體流過(guò)固體壁面時(shí)，除壁面附近粘性影響嚴(yán)重的一薄層外，其余區(qū)域的流動(dòng)可視為理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。圖片：§5.1 旋渦運(yùn)動(dòng)的基本概念流體微團(tuán)：由大量流體質(zhì)點(diǎn)所組成的，具有線性尺度效應(yīng)的微小流體團(tuán)。 剛體的運(yùn)動(dòng)是由于平移和繞某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分組成。 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)一般除了平移和繞某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

2、之外，還有線變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)。一. 速度分解定理： 設(shè)t時(shí)刻流場(chǎng)中任一流體微團(tuán)中某點(diǎn)A(x,y,z)的速度為Vx、Vy、Vz，則與點(diǎn)A相鄰的點(diǎn)M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度為： 引入符號(hào)： 同理： 上式稱為海姆霍茨（Helmholtz）速度分解定理。二.流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式：這里僅分析正交微小六面體流體微團(tuán)的一個(gè)平面的運(yùn)動(dòng)情況（其它平面的情況可按同樣的原則類推）。設(shè)t時(shí)刻矩形ABCD上A(x,y)點(diǎn)的速度分量為 Vx 、Vy ，則B(x+dx,y)點(diǎn)的速度分量為： D(x,y+dy)點(diǎn)的速度分量為： t+dt時(shí)刻，矩形ABCD變形運(yùn)動(dòng)至ABCD，如圖所示。 A、B和D的移動(dòng)距離如圖

3、所示。1. Vx、Vy (及Vz )分別是流體微團(tuán)在x,y (及z)方向的平移速度。 如上圖，沿x方向的絕對(duì)變形量為： 對(duì)于不可壓縮連續(xù)流體，有： 稱為流體的體積變形率。 事實(shí)上，這是不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程。 定義：角變形量的一半對(duì)時(shí)間的變化率為角變形速度。故，流體微團(tuán)在xoy平面上的角變形率為： 同理，流體微團(tuán)在yoz及zox平面上的角變形速度分別為： xzy記憶法則角變形又稱為剪切變形，角變形率也稱為剪切變形率。 同理，流體微團(tuán)繞x、y軸的旋轉(zhuǎn)角速度分別為： 定義角速度矢量為： 在圓柱坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)角速度的三個(gè)分量表示為： 旋轉(zhuǎn)角速度矢量的正方向按右手螺旋法則確定?？傊?，流體微團(tuán)的運(yùn)

4、動(dòng)一般包括：平移，線變形運(yùn)動(dòng)，角變形運(yùn)動(dòng)和繞某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。三.有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)：每一流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度都等于零的流動(dòng)，稱為無(wú)旋流（無(wú)渦流）。 這時(shí)：最后說(shuō)明一下：1.流動(dòng)是有旋流或無(wú)旋流取決于流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)，與其運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，但為無(wú)旋流。 運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，卻為有旋流。2.無(wú)旋流一般存在于理想流體之中，而有旋流一般存在于粘性流體之中。（由于內(nèi)摩擦切應(yīng)力使流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)。）例1：已知流體流動(dòng)的流速場(chǎng)為: Vx = ax ,Vy = by , Vz = 0，試判斷該流動(dòng)是無(wú)旋流還是有旋流？解： 故流體流動(dòng)是無(wú)旋流。四.旋渦強(qiáng)度：1.渦量：渦量速度矢量的旋度。 即旋轉(zhuǎn)角速度的兩

5、倍值，稱為渦量。 由矢量運(yùn)算規(guī)則，有： 這是渦矢量的一個(gè)重要特性。 2.渦通量（渦管強(qiáng)度）：面積S上的渦通量 - 旋轉(zhuǎn)角速度在S上法向分量的積分。若S為渦管截面也稱為渦管強(qiáng)度(或渦強(qiáng))。常用J表示。 五.渦線、渦面和渦管：1.渦線：.渦線的定義：某瞬時(shí), 如果流場(chǎng)中的某一條曲線上每一點(diǎn)的切線都與該點(diǎn)的流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度方向相同, 則稱此曲線為該瞬時(shí)的一條渦線。渦線就是沿該曲線上各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。 .渦線的特征：1）.只有當(dāng)流體的流動(dòng)為有旋流動(dòng)時(shí)，才存在渦線。2）.渦線具有瞬時(shí)性，在不同的瞬時(shí)，渦線的形狀一般不同。定常流動(dòng)時(shí)渦線的形狀保持不變。3）.一般情況下，渦線與流線不是重合而是相

6、交。.渦線微分方程：設(shè)渦線微段為： 該點(diǎn)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度為： 若已知x、y、z，積分上式可得渦線。與流線的積分一樣，將看成參數(shù)。取定值就得到該瞬時(shí)的渦線。2.渦面、渦管：某瞬時(shí)通過(guò)給定曲線（不是渦線）C上的每一點(diǎn)的渦線所構(gòu)成的曲面稱為渦面。在渦量場(chǎng)中任意繪一條非渦線的封閉曲線，在該曲線上的每一點(diǎn)作渦線，這些渦線所圍成的管狀面稱為渦管（vortex tube）。渦管橫截面積上的旋渦強(qiáng)度也稱為渦管強(qiáng)度。渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體，稱為渦束。截面積為無(wú)限小的渦束稱為渦索（或渦絲vortex filament）。也有的教材把上述概念用張量表示為： 例2：設(shè)流場(chǎng)的速度分布為Vr， V= r，con

7、st.，求渦線方程。解： 容易驗(yàn)證： xy。 積分得: =1 ， =2 垂直于xoy平面的直線。§5.2 速度環(huán)量和斯托克斯定理一. 速度環(huán)量：1.定義：速度矢量在積分路徑方向的分量沿該路徑的線積分稱為沿該曲線的速度環(huán)量。 速度環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量，可為正值，亦可為負(fù)值。當(dāng)速度方向和曲線方向同向（或成銳角）時(shí)，速度環(huán)量為正值；異向（或成鈍角）時(shí)，速度環(huán)量為負(fù)值。線積分方向相反的速度環(huán)量，相差一個(gè)負(fù)號(hào)。 沿封閉曲線的速度環(huán)量： L 注意：積分路線的方向?yàn)榍€邊界的正方向。即，使曲線所圍的區(qū)域D永遠(yuǎn)保持在它的左側(cè)。2.速度環(huán)量的計(jì)算：1)已知速度場(chǎng)，求沿一條開(kāi)曲線的速度環(huán)量。對(duì)于無(wú)旋流場(chǎng)：對(duì)于

8、有旋流場(chǎng)：2）已知速度場(chǎng)，求沿一條閉曲線的速度環(huán)量。對(duì)于無(wú)旋場(chǎng)： 對(duì)于有旋場(chǎng)： 此式稱為斯托克斯定理。二.斯托克斯定理：由高等數(shù)學(xué)知： 沿任意閉曲線的速度環(huán)量等于以該曲線為邊界的曲面內(nèi)的旋渦強(qiáng)度的兩倍,即 J。 現(xiàn)將斯托克斯定理證明如下：如圖，在流場(chǎng)中取微元矩形abcd。0cdabdxxydy微矩形面積dS上的速度環(huán)量： 將C所圍區(qū)域分為若干個(gè)微矩形, 對(duì)各微分面積求dG。兩相鄰矩形公共邊積分路線相反,速度環(huán)量的和為零。 故，內(nèi)部線段環(huán)量相互抵消，只剩外部邊界的環(huán)量。 斯托克斯定理將速度環(huán)量與旋渦強(qiáng)度通過(guò)線積分與面積分聯(lián)系起來(lái)了。封閉曲線C上的速度環(huán)量與 C所圍單連通區(qū)域S上的旋渦強(qiáng)度之間具有

9、數(shù)量關(guān)系。 斯托克斯定理中的S可以是空間曲面面積，而不一定要求是平面面積。 注意：上述斯托克斯定理只適用于“單連通區(qū)域”。單連通區(qū)域： C所包圍的區(qū)域S內(nèi)全部是流體，沒(méi)有固體或空洞。復(fù)連通域(多連通域)：C的內(nèi)部有空洞或者包含其他的物體。CSC區(qū)域在走向的左側(cè)如圖用AB線將S切開(kāi)，則沿周線ABB´A´EA前進(jìn)所圍的區(qū)域?yàn)閱芜B通域。由斯托克斯定理有： ：沿外邊界逆時(shí)針的環(huán)量。 L：沿內(nèi)邊界順時(shí)針的環(huán)量。 積分路線相反，抵消掉了。這就是雙連通域的斯托克斯定理。推論一：?jiǎn)芜B域內(nèi)的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，流場(chǎng)中處處為零，則沿任意封閉周線的速度環(huán)量為零。反之，若沿任意封閉周線的速度環(huán)量都等于零，可

10、得流場(chǎng)中處處為零的結(jié)論。但若沿某封閉周線的速度環(huán)量為零，則并不一定無(wú)旋（可能包圍強(qiáng)度相同轉(zhuǎn)向相反的旋渦）。推論二：對(duì)于包含一固體在內(nèi)的雙連通域，若流動(dòng)無(wú)旋，則沿包含固體在內(nèi)的任意兩個(gè)封閉周線的環(huán)量彼此相等。則 有：C。 當(dāng)積分路徑方向一致時(shí)，則：C。例3：對(duì)于平面流動(dòng)，設(shè)面積A´外的區(qū)域是無(wú)旋流動(dòng)區(qū)。試證明包圍A´的任一條封閉曲線L上的速度環(huán)量等于區(qū)域的邊界曲線L´上的速度環(huán)量。證： 如圖所示，作割線并記割線兩側(cè)為ab和a´b´。 顯然，封閉曲線abcb´a´da所圍的區(qū)域是無(wú)旋流動(dòng)區(qū)域，其速度環(huán)量應(yīng)為零，即： 由于ab和b

11、´a´ 是同一割線的兩側(cè)，而且積分方向相反，故： 例4：在大圓內(nèi)包含了A、B、C、D四個(gè)旋渦,其強(qiáng)度分別為：A =B =， C = D =。 求：沿周線S的速度環(huán)量。解：由斯托克斯定理： 故，S所圍區(qū)域內(nèi)速度環(huán)量為零，但該區(qū)域內(nèi)并非處處無(wú)旋。例5：已知速度場(chǎng)： 求：繞圓心的速度環(huán)量。解：在極坐標(biāo)下：§5.3 湯姆遜定理湯姆遜（Thomson）定理又稱為開(kāi)爾文（Kelvin）定理。 流體線的定義： 由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)曲線稱為流體線。基本假設(shè)：（1）理想流體； （2）質(zhì)量力有勢(shì)； （3）正壓流體（流體密度僅為壓力的函數(shù)）。正壓流體：流體的密度只是當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)的單值函

12、數(shù)，這種流體稱為正壓流體。即 =（p）。不可壓縮均質(zhì)流體、等熵流動(dòng)的均質(zhì)氣體等都是正壓流體。對(duì)于正壓流體，引入壓力函數(shù)PF（x，y，z）： 湯姆遜定理:沿流體質(zhì)點(diǎn)組成的任一封閉流體周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變。 考察封閉流體線 L 上的速度環(huán)量： 將 這里， 以及 代入理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，即： 并代入上式，可得：這表明，理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿任意封閉流體線的速度環(huán)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不隨時(shí)間變化。 這個(gè)結(jié)論稱為湯姆遜定理（也稱為開(kāi)爾文定理）。 §5.4 拉格朗日定理拉格朗日定理: 理想正壓流體在有勢(shì)力場(chǎng)中可以持續(xù)地作無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。 現(xiàn)簡(jiǎn)單證明如下： （復(fù)習(xí)）斯托克斯定理

13、：沿任意閉曲線的速度環(huán)量等于以該曲線為邊界的曲面內(nèi)的旋渦強(qiáng)度的兩倍,即 J。斯托克斯定理表述了封閉曲線L上的速度環(huán)量與L所圍單連通區(qū)域S上的旋渦強(qiáng)度之間所具有數(shù)量關(guān)系。 故，當(dāng)理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果在某一時(shí)刻流體的運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則在此前和此后的所有時(shí)刻流體的運(yùn)動(dòng)也必定無(wú)旋。因此，如果理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則流動(dòng)將始終無(wú)旋。例如，從靜止開(kāi)始的波浪運(yùn)動(dòng)，由于流體靜止時(shí)是無(wú)旋的，因此產(chǎn)生波浪以后，波浪運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)?？傊蓽愤d定理和斯托克斯定理說(shuō)明：1) 在理想流體中,速度環(huán)量和旋渦不生不滅。因?yàn)椴淮嬖谇邢驊?yīng)力，不能傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 2) 推論:

14、 流場(chǎng)中原來(lái)有旋渦和速度環(huán)量的，永遠(yuǎn)有旋渦并保持環(huán)量不變，原來(lái)沒(méi)有旋渦和速度環(huán)量的, 就永遠(yuǎn)無(wú)旋渦和速度環(huán)量。 比如繞流物體的流動(dòng)，遠(yuǎn)前方流動(dòng)對(duì)物體無(wú)擾動(dòng)，該處流動(dòng)無(wú)旋，接近物體時(shí)流動(dòng)不再是均勻流，根據(jù)湯姆遜定理和斯托克斯定理，則流動(dòng)仍將保持為無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。注意：貼近物體表面的極薄一層流體（即邊界層內(nèi)的流體）要除外，由于粘性的存在，邊界層內(nèi)的流體的流動(dòng)為有旋運(yùn)動(dòng)。因此： 拉格朗日定理也可表述為：在理想、正壓流體、質(zhì)量力有勢(shì)的條件下，渦量不生不滅。由湯姆遜定理（或開(kāi)爾文定理）和斯托克斯定理還可以得出如下結(jié)論：流體具有粘性，流體是非正壓的或在非有勢(shì)的質(zhì)量力的作用下運(yùn)動(dòng)是生成旋渦運(yùn)動(dòng)的原因。 下面舉例說(shuō)

15、明：(1) 粘性：均勻流體經(jīng)過(guò)物體邊界層時(shí)運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛行?2) 非正壓流場(chǎng)：大氣和海洋中的密度分層形成旋渦；(3) 非有勢(shì)力場(chǎng)：地球哥氏力使氣流生成旋渦（旋風(fēng)）；(4) 流場(chǎng)的間斷（非連續(xù)）：曲面激波后形成有旋流動(dòng)。 §5.5 海姆霍茲定理海姆霍茨（Helmholtz）有三個(gè)關(guān)于渦管的定理。海姆霍茲第一定理 渦管強(qiáng)度守恒定理。 即：在同一瞬時(shí)，沿渦管長(zhǎng)度各截面的渦通量保持不變。 證明：如圖所示： 得證。若渦量在截面S1、S2上均勻分布，記為1、2，得： 可見(jiàn)，渦量與截面積S成反比，S大則渦量小，S小則渦量大。若S縮為零，則渦量或角速度將增至無(wú)窮大。這在物理上是不可能的。 因此，渦管不

16、能在流體中以尖端形式終止或開(kāi)始，否則S時(shí)有。 不可能的情況渦管存在的形式：要么終止于流體邊界或固體邊界，要么自行封閉形成渦環(huán)。也就是說(shuō)渦管不可能在流體中開(kāi)始或終止，它只能自成封閉形，或開(kāi)始、終止于邊界面或伸展到無(wú)窮遠(yuǎn)。比如煙圈成呈環(huán)形、龍卷風(fēng)開(kāi)始和終止于地面與云層。 圖片：海姆霍茲第二定理渦管保持定理。 即：理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，渦管永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。證明：渦管在渦管表面上取封閉流體周線C。由斯托克斯定理知沿周線C的G=0，由湯姆遜定理該速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零。 即C所圍的區(qū)域永遠(yuǎn)沒(méi)有渦線通過(guò)。也就是說(shuō)：渦管永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。但渦管的形狀和位置可能隨時(shí)間變化。海

17、姆霍茲第三定理渦管旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。 即：理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化。由斯托克斯定理知繞渦管的速度環(huán)量等于渦管的旋渦強(qiáng)度，又由湯姆遜定理知該速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化，因而渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化。海姆霍茲第一定理既適用于理想流體又適用于粘性流體。海姆霍茲第二、第三定理只適用于理想流體。因?yàn)榱黧w的粘性將導(dǎo)致流體微團(tuán)的剪切變形、速度等參數(shù)的脈動(dòng)以及能量耗散，旋渦強(qiáng)度將隨時(shí)間而衰減。綜上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正壓流體在有勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)渦量演化的規(guī)律：若流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢(shì)，無(wú)旋運(yùn)動(dòng)將永遠(yuǎn)無(wú)旋，有

18、旋運(yùn)動(dòng)將永遠(yuǎn)有旋；渦線、渦面、渦管及渦管強(qiáng)度具有保持性。若不滿足其中任一條件，則流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生新的旋渦，使無(wú)旋變成有旋，不具備保持性。圖片：§5.6 旋渦的誘導(dǎo)速度問(wèn)題：由§5.2知，如果已知速度場(chǎng)可通過(guò)求偏導(dǎo)來(lái)確定旋渦場(chǎng)?，F(xiàn)若已知旋渦場(chǎng)，能否反過(guò)來(lái)確定速度場(chǎng)？ 這是本節(jié)要討論的問(wèn)題。問(wèn)題的前提：流場(chǎng)中只存在一部分旋渦，其它區(qū)域全為無(wú)旋區(qū)。例如流場(chǎng)中有若干弧立渦絲，必然影響周?chē)鸁o(wú)旋區(qū)的速度分布。由渦絲引起的速度場(chǎng)稱為旋渦誘導(dǎo)速度場(chǎng)。渦絲的誘導(dǎo)速度：水電比擬: 物理現(xiàn)象不同，但滿足相同的數(shù)學(xué)方程，其數(shù)學(xué)解相同。電流誘導(dǎo)磁場(chǎng)強(qiáng)度 旋渦誘導(dǎo)流體速度。 電磁場(chǎng) 流場(chǎng) 方程磁

19、場(chǎng)強(qiáng)度 H v 流體速度 磁場(chǎng)勢(shì) V 速度勢(shì) 電流面密度 渦量 電流強(qiáng)度 i 速度環(huán)量 渦絲誘導(dǎo)的速度場(chǎng)的計(jì)算:為了求渦絲（或渦索）誘導(dǎo)的速度場(chǎng)，現(xiàn)將電磁場(chǎng)中的畢奧沙伐爾定理引用過(guò)來(lái)。誘導(dǎo)速度場(chǎng)與電磁場(chǎng)的類比磁 場(chǎng) 誘導(dǎo)速度場(chǎng)帶電導(dǎo)線 渦絲(渦索)電流強(qiáng)度 旋渦強(qiáng)度G誘導(dǎo)磁場(chǎng)強(qiáng)度 誘導(dǎo)速度場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)電磁學(xué)中，電流強(qiáng)度為的導(dǎo)線，其微元段ds對(duì)場(chǎng)點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度由畢奧沙伐爾公式得： ： ds離場(chǎng)點(diǎn)P的矢徑， ：是ds與的夾角。dH的方向： 垂直于ds和所在的平面，按右手法則確定。下面對(duì)應(yīng)地可寫(xiě)出流體力學(xué)中的畢奧沙伐爾（BiotSavart）公式。流體力學(xué)中畢奧沙伐爾公式的形式：旋渦強(qiáng)度為（環(huán)量2）的

20、ds段渦絲對(duì)于點(diǎn)所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度：流場(chǎng)中單一有限長(zhǎng)渦絲在P點(diǎn)的誘導(dǎo)速度沿整個(gè)渦絲積分：該式可算出任意單一渦絲所引起的誘導(dǎo)速度場(chǎng)。流場(chǎng)中多條渦絲可組成一渦面, 每條渦絲的誘導(dǎo)速度求得后，沿渦面積分就可求得整個(gè)渦面上的誘導(dǎo)速度。流體力學(xué)中速度場(chǎng)可以看成是渦絲誘導(dǎo)出來(lái)的。典型實(shí)例：無(wú)限長(zhǎng)直渦絲直渦絲如圖，dx段對(duì)點(diǎn)的誘導(dǎo)速度是： 由圖可見(jiàn)： 故，段對(duì)點(diǎn)的誘導(dǎo)速度為： 方向垂直于紙面向外。1.對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)直渦絲：=， =180°。 2.對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)直渦絲：=90°，=180°。在垂直于無(wú)限長(zhǎng)直渦絲的任何平面內(nèi), 流動(dòng)都是相同的，可視為二維流動(dòng), 相當(dāng)于一個(gè)平面點(diǎn)渦。如環(huán)量為

21、，則在平面極坐標(biāo)內(nèi)的誘導(dǎo)速度為： R為場(chǎng)點(diǎn)至點(diǎn)渦的距離?？梢宰C明平面點(diǎn)渦誘導(dǎo)的速度場(chǎng)除點(diǎn) R = 0 外處處無(wú)旋 Ñ´V = 0。盡管渦絲本身是有旋的，它誘導(dǎo)的速度場(chǎng)卻是無(wú)旋的（見(jiàn)書(shū) P70）。例6：如圖為強(qiáng)度相等的兩點(diǎn)渦的初始位置，試就(a)和(b)兩種情況分析此兩點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)。解:(a)：在(a)中，兩點(diǎn)渦大小相等，方向相反。由BS定律：點(diǎn)： B點(diǎn)： 積分得： 令時(shí)： 代入方程得：1=，2=， 3=-，4=。故，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 點(diǎn)： 點(diǎn)： 由于在(a)中，兩點(diǎn)渦大小相等，方向相反。故，在運(yùn)動(dòng)中兩點(diǎn)渦相對(duì)位置會(huì)保持不變。它們同時(shí)沿方向等速向下移動(dòng)。對(duì)于情況( b )：點(diǎn)： B點(diǎn)： 開(kāi)始時(shí)點(diǎn)向上，點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，形成圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)，沿半徑為的圓周的等速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為： 旋渦中心點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 對(duì)于： 對(duì)于： §5.7 蘭 金 渦蘭金（Rankine）渦是有核旋渦的一個(gè)簡(jiǎn)化模型。蘭金提出