奧數(shù)四年級行程問題

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流奧數(shù)四年級行程問題.精品文檔.第三部分 行程問題第一講 行程基礎【專題知識點概述】行程問題是一類常見的重要應用題，在歷次數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)。行程問題包括：相遇問題、追及問題、火車過橋問題、流水行船問題、環(huán)形行程問題等等。行程問題思維靈活性大，輻射面廣，但根本在于距離、速度和時間三個基本量之間的關(guān)系，即：距離速度時間，時間距離速度，速度距離時間。在這三個量中，已知兩個量，即可求出第三個量。掌握這三個數(shù)量關(guān)系式，是解決行程問題的關(guān)鍵。在解答行程問題時，經(jīng)常采取畫圖分析的方法，根據(jù)題意畫出線段圖，來幫助我們分析、理解題意，從而解決問題。一、行程基本

2、量我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應用題，行程問題主要涉及時間（t）、速度（v）和路程（s）這三個基本量，它們之間的關(guān)系如下：（1）速度時間=路程 可簡記為：s = vt（2）路程速度=時間 可簡記為：t = sv（3）路程時間=速度 可簡記為：v = st顯然，知道其中的兩個量就可以求出第三個量. 二、平均速度平均速度的基本關(guān)系式為：平均速度總路程總時間；總時間總路程平均速度；總路程平均速度總時間?！局攸c難點解析】1. 行程三要素之間的關(guān)系2平均速度的概念3注意觀察運動過程中的不變量【競賽考點挖掘】1.注意觀察運動過程中的不

3、變量【習題精講】【例1】（難度等級 ）郵遞員早晨7時出發(fā)送一份郵件到對面山里，從郵局開始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡時每小時走4千米，下坡時每小時走5千米，到達目的地停留1小時以后，又從原路返回，郵遞員什么時候可以回到郵局?【分析與解】 法一：先求出去的時間，再求出返回的時間，最后轉(zhuǎn)化為時刻。郵遞員到達對面山里需時間：124+85=4.6(小時);郵遞員返回到郵局共用時間：84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小時)郵遞員回到郵局時的時刻是：7+10-12=5(時).郵遞員是下午5時回到郵局的。法二：從整體上考慮，郵遞員走了（12+8）千米的上坡路，走了（1

4、2+8）千米的下坡路，所以共用時間為：（12+8）4+（12+8）5+1=10(小時)，郵遞員是下午7+10-12=5(時) 回到郵局的?！纠?】（難度等級 ）甲、乙兩地相距100千米。下午3點，一輛馬車從甲地出發(fā)前往乙地，每小時走10千米；晚上9點，一輛汽車從甲地出發(fā)駛向乙地，為了使汽車不比馬車晚到達乙地，汽車每小時最少要行駛多少千米？.【分析與解】 馬車從甲地到乙地需要10010=10小時，在汽車出發(fā)時，馬車已經(jīng)走了9-3=6(小時)。依題意，汽車必須在10-6=4小時內(nèi)到達乙地，其每小時最少要行駛1004=25(千米)【例3】（難度等級 ）小明每天早晨6：50從家出發(fā)，7：20到校，老師

5、要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：50從家出發(fā)，那么，每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準時到校。問：小明家到學校多遠？（第六屆小數(shù)報數(shù)學競賽初賽題第1題）【分析與解】原來花時間是30分鐘，后來提前6分鐘，就是路上要花時間為24分鐘。這時每分鐘必須多走25米，所以總共多走了2425=600米，而這和30分鐘時間里，后6分鐘走的路程是一樣的，所以原來每分鐘走6006=100米?？偮烦叹褪?10030=3000米?！纠?】（難度等級 ）韓雪的家距離學校480米，原計劃7點40從家出發(fā)8點可到校，現(xiàn)在還是按原時間離開家，不過每分鐘比原來多走16米，那么韓雪幾點就可到校？【分析

6、與解】原來韓雪到校所用的時間為20分鐘，速度為：48020=24（米/分），現(xiàn)在每分鐘比原來多走16米，即現(xiàn)在的速度為24+16=40（米/分），那么現(xiàn)在上學所用的時間為：48040=12（分鐘），7點40分從家出發(fā)，12分鐘后，即7點52分可到學校【例5】（難度等級 ）王師傅駕車從甲地開往乙地交貨.如果他往返都以每小時60千米的速度行駛,正好可以按時返回甲地.可是,當?shù)竭_乙地時,他發(fā)現(xiàn)從甲地到乙地的速度只有每小時50千米.如果他想按時返回甲地,他應以多大的速度往回開?【分析與解】 假設甲地到乙地的路程為300,那么按時的往返一次需時間300602=10（小時）,現(xiàn)在從甲到乙花費了時間3005

7、0=6（小時）,所以從乙地返回到甲地時所需的時間只能是10-6=4（小時）.即如果他想按時返回甲地,他應以3004=75（千米/時）的速度往回開【例6】（難度等級 ）劉老師騎電動車從學校到韓丁家家訪，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到.如果希望中午12點到，那么應以怎樣的速度行進？【分析與解】 這道題沒有出發(fā)時間，沒有學校到韓丁家的距離，也就是說既沒有時間又沒有路程，似乎無法求速度.這就需要通過已知條件，求出時間和路程.假設有A，B兩人同時從學校出發(fā)到韓丁家，A每小時行10千米，下午1點到；B每小時行15千米，上午11點到.B到韓丁家時，A距韓丁家還有

8、102=20（千米），這20千米是B從學校到韓丁家這段時間B比A多行的路程.因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從學校到韓丁家所用的時間是20（15-10）=4（時）.由此知，A，B是上午7點出發(fā)的，學校離韓丁家的距離是154=60（千米）.劉老師要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，劉老師騎車的速度應為60（12-7）=12（千米/時）【例7】（難度等級 ）小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘.已知小紅下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3時50分，那么下山用了多少時間？【分析與解】上山用了3時50分，即603+50=230（分），

9、由230（30+10）=530，得到上山休息了5次，走了230-105=180（分）.因為下山的速度是上山的2倍，所以下山走了1802=90（分）.由9030=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+52=100（分）=1時40分.【例8】（難度等級 ）老王開汽車從A到B為平地（見右圖），車速是30千米時；從B到C為上山路，車速是22.5千米時；從C到D為下山路，車速是36千米時. 已知下山路是上山路的2倍，從A到D全程為72千米，老王開車從A到D共需要多少時間？【分析與解】設上山路為x千米，下山路為2x千米，則上下山的平均速度是：（x+2x）（x22.5+2x36）=30（千米/時），正

10、好是平地的速度，所以行AD總路程的平均速度就是30千米/時，與平地路程的長短無關(guān).因此共需要72302.4（時）【例9】（難度等級 ）汽車以72千米/時的速度從甲地到乙地，到達后立即以48千米/時的速度返回甲地。求該車的平均速度。【分析與解】想求汽車的平均速度=汽車行駛的全程總時間 ，在這道題目中如果我們知道汽車行駛的全程，進而就能求出總時間，那么問題就迎刃而解了。在此我們不妨采用“特殊值”法，這是奧數(shù)里面非常重要的一種思想，在很多題目中都有應用。把甲、乙兩地的距離視為1千米，總時間為：172+148，平均速度=2（172+148）=57.6千米/時。 我們發(fā)現(xiàn)中的取值在計算過程中不太方便，我

11、們可不可以找到一個比較好計算的數(shù)呢？在此我們可以把甲、乙兩地的距離視為72，48=144千米，這樣計算時間時就好計算一些，平均速度=1442（14472+14448）=57.6千米/時。【例10】（難度等級 ）如圖，從A到B是12千米下坡路，從B到C是8千米平路，從C到D是4千米上坡路.小張步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問小張從A到D的平均速度是多少?【分析與解】 從A到B的時間為：126=2（小時），從B到C的時間為：84=2（小時），從C到D的時間為：42=2（小時），從A到D的總時間為：2+2+2=6（小時），總路程為：12+8+4

12、=24（千米），那么從A到D 的平均速度為：246=4（千米/時）【例11】（難度等級 ）有一座橋，過橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人騎自行車過橋時，上坡、走平路和下坡的速度分別為米/秒、米/秒和米/秒，求他過橋的平均速度?！痉治雠c解】 假設上坡、走平路及下坡的路程均為24米，那么總時間為：244+246+248=13（秒），過橋的平均速度為 （米/秒）【例12】（難度等級 ）汽車往返于A，B兩地，去時速度為40千米時，要想來回的平均速度為48千米時，回來時的速度應為多少？【分析與解】 假設AB兩地之間的距離為4802=240千米，那么總時間=4804

13、8=10（小時），回來時的速度=240（10-24040）=60（千米/時）【例13】（難度等級 ）有一座橋，過橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人騎電動車過橋時，上坡、走平路和下坡的速度分別為11米秒、22米秒和33米秒，求他過橋的平均速度.【分析與解】假設上坡、平路及下坡的路程均為66米，那么總時間=6611+6622+6633=6+3+2=11（秒），過橋的平均速度=66311=18（米/秒）【例14】（難度等級 ）一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由A點開始爬行一周. 在三條邊上它每分鐘分別爬行50cm，20cm，40cm（如右圖）.它爬行一周平均每分鐘

14、爬行多少厘米？【分析與解】假設每條邊長為200厘米，則總時間=20050+20020+20040=4+10+5=19（分鐘），爬行一周的平均速度=200319=（厘米/分鐘）.【例15】（難度等級 ）甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時間平均每分鐘行80米，后一半時間平均每分鐘行70米.問他走后一半路程用了多少分鐘？【分析與解】全程的平均速度是每分鐘（80+70）2=75米，走完全程的時間是6000/75=80分鐘，走前一半路程速度一定是80米，時間是300080=37.5分鐘，后一半路程時間是80-37.5=42.5分鐘第二講 相遇與追及【專題知識點概述】在今天這節(jié)課中，我們

15、來研究行程問題中的相遇與追及問題這一講就是通過例題加深對行程問題三個基本數(shù)量關(guān)系的理解，使學生養(yǎng)成畫圖解決問題的好習慣！在行程問題中涉及到兩個或兩個以上物體運動的問題，其中最常見的是相遇問題和追及問題.一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時出發(fā)，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度相遇時間+乙的速度相遇時間=（甲的速度+乙的速度）相遇時間=速度和相遇時間.一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和相遇時間=路程和，即二、追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就

16、產(chǎn)生了“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內(nèi)：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度追及時間-乙的速度追及時間=（甲的速度-乙的速度）追及時間=速度差追及時間. 一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差追及時間，即【重點難點解析】1直線上的相遇與追及2環(huán)線上的相遇與追及【競賽考點挖掘】1. 多人多次相遇與追及【習題精講】【例1】（難度等級 ）一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行48千米。3.5小時兩車相遇

17、。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？【分析與解】 （46+48）3.5=943.5=329（千米）【例2】（難度等級 ）兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行40千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？【分析與解】 255（45+40）=25585=3（小時）。453=135（千米）。403=120（千米）?！纠?】（難度等級 ）兩地相距3300米，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【分析與解】3300-（82+83）15（82+83）=3300-16515165=33

18、00-2475165=825165=5（分鐘）【例4】（難度等級 ）甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時行駛15千米，乙每小時行駛10千米，問：乙經(jīng)過多長時間能追上甲？【分析與解】 出發(fā)時甲、乙二人相距10千米，以后兩人的距離每小時都縮短15-105（千米），即兩人的速度的差（簡稱速度差），所以10千米里有幾個5千米就是幾小時能追上.10（15-10）1052（小時）【例5】（難度等級 ）南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地s城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時分別往南和往北駛?cè)?，二人的速度分別為50千米/時，60千米/時，那么北轍先生出發(fā)5小時他們相

19、距多少千米?【分析與解】 兩人雖然不是相對而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）5=550（千米）【例6】（難度等級 ）軍事演習中，“我”海軍英雄艦追擊“敵”軍艦，追到A島時，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦?【分析與解】 “我”艦追到A島時，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米（=100010）.又因為“我”艦在距離“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（=10000米

20、-600米）即可開炮射擊.所以，在這個問題中，不妨把9400當作路程差，根據(jù)公式求得追及時間.即（100010-600）（1470-1000）=（10000-600）470=9400470=20（分鐘），所以，經(jīng)過20分鐘可開炮射擊“敵”艦【例7】（難度等級 ）小紅和小藍練習跑步，若小紅讓小藍先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍；若小紅讓小藍先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍.小紅、小藍二人的速度各是多少？【分析與解】小紅讓小藍先跑20米，則20米就是小紅、小藍二人的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍，5秒就是追及時間，據(jù)此可求出他們的速度差為205=4（米/秒）；若小紅讓小藍先跑4秒，則小紅

21、6秒可追上小藍，在這個過程中，追及時間為6秒，根據(jù)上一個條件，由追及差和追及時間可求出在這個過程中的路程差，這個路程差即是小藍4秒鐘所行的路程，路程差就等于46=24（米），也即小藍在4秒內(nèi)跑了24米，所以可求出小藍的速度，也可求出小紅的速度.綜合列式計算如下：小藍的速度為：20564=6（米/秒），小紅的速度為：6+4=10（米/秒）【例8】（難度等級 ）小明步行上學，每分鐘行70米.離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的文具盒忘在家中，爸爸帶著文具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明.問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？【分析與解】爸爸要追及的路程：7012=840（米）,爸爸與小明的速度差：2

22、80-70=210（米/分）,爸爸追及的時間：840210=4（分鐘）【例9】（難度等級 ）上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【分析與解】畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 1243（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8324（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216（

23、千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是88=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.所以這時是8點32分?！纠?0】（難度等級 ）甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，相遇后3時，甲車到達B地。求A，B兩地的距離。【分析與解】 相遇后甲行駛了403=120千米，即相遇前乙行駛了120千米，說明甲乙二人的相遇時間是12060=2小時，則兩地相距（40+60）2=200千米【例11】（難度等級 ）小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不

24、變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠? 【分析與解】 因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第一次少走4分。由（704）（90-70）=14（分），推知小強第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）18=2196（米）【例12】（難度等級 ）甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出，4小時后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛3小時，此時甲車距B地10千米，乙車距A地80千米問：甲車到達B地時，乙車還要經(jīng)過多少時間才能到達A地?【分析與解】 由4時兩車相遇知，4時兩車共行A，B間的一個單程相遇后又行3時，剩下的路程之和108090（千米）應是兩車共行431（時）的路程所以A，B兩地的距離是（1080）（43）4360（千米）。因為7時甲車比乙車共多行801070（千米），所以甲車每時比乙車多行 70710（千米），又因為兩車每時共行90千米，所以每時甲車行 50千米，乙車行40千米行一個單程，乙車比甲車多用360403605097218（時）1時48分【例13】（難度等級 ）甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知