第12章二叉樹模型入門

1、.二叉樹模型入門二叉樹模型入門Chapter 12Introduction to Binomial Trees2022-3-6.12.212.1 單步二叉樹模型單步二叉樹模型l一只股票現(xiàn)價(jià)一只股票現(xiàn)價(jià)$20l三個月內(nèi)價(jià)格為三個月內(nèi)價(jià)格為 $22 或或 $18股票價(jià)格= $22股票價(jià)格 = $18股票價(jià)格= $202022-3-6.12.3Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $0Stock price = $20Option Price=?看漲期權(quán)看漲期權(quán)(Figure 12.1)一只三月期股票的看漲

2、期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為一只三月期股票的看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為212022-3-6.12.4l考慮資產(chǎn)組合考慮資產(chǎn)組合: D D 股票股票 + short 1 call optionl當(dāng)當(dāng)22D D 1 = 18D D時(shí)，時(shí)，資產(chǎn)組合是無資產(chǎn)組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，風(fēng)險(xiǎn)的， 此時(shí)此時(shí)D D = 0.2522D 118D配置一個無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合配置一個無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合2022-3-6.12.5資產(chǎn)組合的估值資產(chǎn)組合的估值(無風(fēng)險(xiǎn)利率為無風(fēng)險(xiǎn)利率為 12%)l無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合為: 股票為股票為 0.25份份賣空賣空1份看漲期權(quán)份看漲期權(quán)l(xiāng)三個月后組產(chǎn)組合的價(jià)值為三個月后組產(chǎn)組合的價(jià)值為22 0.25 1 =

3、4.50l資產(chǎn)組合現(xiàn)值為資產(chǎn)組合現(xiàn)值為 4.5e 0.120.25 = 4.36702022-3-6.12.6期權(quán)估價(jià)期權(quán)估價(jià)l包括包括0.25份股票和一份看漲期權(quán)空頭份股票和一份看漲期權(quán)空頭的組合的期初價(jià)值為的組合的期初價(jià)值為 4.367l其中，股票價(jià)值為其中，股票價(jià)值為5.000 (= 0.25 20 )l期權(quán)的價(jià)值期權(quán)的價(jià)值f因此為因此為f=0.633 (由由 5.000 f = 4.367 )2022-3-6.12.7推廣推廣(Figure 12.2)一個關(guān)于一種股票的衍生品持有時(shí)間一個關(guān)于一種股票的衍生品持有時(shí)間TS0u uS0d dS02022-3-6.12.8推廣推廣 l假設(shè)資產(chǎn)

4、組合由假設(shè)資產(chǎn)組合由D D份股票和份股票和1份衍生品空頭構(gòu)成份衍生品空頭構(gòu)成l當(dāng)當(dāng)S0uD D u = S0d D D d，資產(chǎn)組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，即資產(chǎn)組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，即dSuSf fdu00DS0uD uS0dD d2022-3-6.12.9推廣推廣lT時(shí)刻資產(chǎn)組合的價(jià)值為時(shí)刻資產(chǎn)組合的價(jià)值為 S0u D D ul資產(chǎn)組合的貼現(xiàn)值為資產(chǎn)組合的貼現(xiàn)值為 (S0u D D u )erTl資產(chǎn)組合的構(gòu)建成本資產(chǎn)組合的構(gòu)建成本 S0 D D fl因此因此 = S0D D (S0u D D u )erT 2022-3-6.12.10推廣推廣 l替換替換D D 就得到就得到 = p u + (1 p )d

5、 erT其中：其中： pedudrT2022-3-6.12.11股票預(yù)期收益的無關(guān)性股票預(yù)期收益的無關(guān)性l當(dāng)利用無套利原理對期權(quán)定價(jià)時(shí)，標(biāo)的股當(dāng)利用無套利原理對期權(quán)定價(jià)時(shí)，標(biāo)的股票的期望收益是無關(guān)的。票的期望收益是無關(guān)的。lWhen we are valuing an option in terms of the underlying stock the expected return on the stock is irrelevantl為什么？為什么？2022-3-6.12.1212.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)l = p u + (1 p )d e-rTl變量變量p 和和 (1 p )

6、是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)股票期權(quán)上漲和下跌的是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)股票期權(quán)上漲和下跌的概率概率l衍生品的價(jià)格是風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境中用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)的衍生品的價(jià)格是風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境中用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)的其預(yù)期得益其預(yù)期得益Su uSd dSp(1 p )2022-3-6.12.13示例示例l p 是風(fēng)險(xiǎn)中性概率是風(fēng)險(xiǎn)中性概率20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523l或者或者 使用公式使用公式6523.09 .01 .19 .00.250.12edudeprTSu = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S p(1 p )2022-3-6.12.14期權(quán)股價(jià)期權(quán)股價(jià)期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)的

7、價(jià)格是e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S0.65230.34772022-3-6.12.1512.3 兩步二叉樹兩步二叉樹Figure 12.3l每步長3個月20221824.219.816.22022-3-6.12.16看漲期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格Figure 12.4lB 點(diǎn)價(jià)格點(diǎn)價(jià)格= e0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257lA 點(diǎn)價(jià)格點(diǎn)價(jià)格 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823201.2823221824.23

8、.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF2022-3-6.12.17看漲期權(quán)定價(jià)推廣看漲期權(quán)定價(jià)推廣Figure 12.4S0fS0uS0dS0u2fuuS0udfudS0d2fddfufd)1 ()1 (2222dduduutrfpfppfpefD2022-3-6.12.18看跌期權(quán)估價(jià)看跌期權(quán)估價(jià)K=52Figure 12.7504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF2022-3-6.12.1912.5 美式期權(quán)美式期權(quán) (Figure 12.8) 505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF2022-3-6.12.2012.6 DeltalDelta (D D)是股票期權(quán)價(jià)格的變化與是股票期權(quán)價(jià)格的變化與標(biāo)的股票價(jià)格的變化之比標(biāo)的股票價(jià)格的變化之比 lDelta hedgingl 二叉樹中二叉樹中D D 的值在每一節(jié)點(diǎn)均不同的值在每一節(jié)點(diǎn)均不同2022-3-6.12.2112.7 u and d的確定的確定波動的確定方法波動的確定方法當(dāng)當(dāng) s s 是波動率且是波動率且 D Dt 是一步的時(shí)間長是一步的時(shí)間長. 這是這是Cox, Ross, 和和 Rubinstein使用的方法使用的方法tteudeuDsDs12022-3-6.12.22上漲概率上漲概率