歷年名牌大學自主招生數(shù)學考試試題及答案

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流歷年名牌大學自主招生數(shù)學考試試題及答案.精品文檔.上海交通大學2007年冬令營選拔測試數(shù)學試題一、填空題（每小題5分，共50分）1設(shè)函數(shù)滿足，則 2設(shè)均為實數(shù)，且，則 3設(shè)且，則方程的解的個數(shù)為 4設(shè)扇形的周長為6，則其面積的最大值為 5 6設(shè)不等式與的解集分別為M和N若，則k的最小值為 7設(shè)函數(shù)，則 8設(shè)，且函數(shù)的最大值為，則 96名考生坐在兩側(cè)各有通道的同一排座位上應考，考生答完試卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷離開座位，則其中一人交卷時為到達通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為 10已知函數(shù)，對于，定義，若，則 二、計算與證明題（

2、每小題10分，共50分）11工件內(nèi)圓弧半徑測量問題為測量一工件的內(nèi)圓弧半徑，工人用三個半徑均為的圓柱形量棒放在如圖與工件圓弧相切的位置上，通過深度卡尺測出卡尺水平面到中間量棒頂側(cè)面的垂直深度，試寫出用表示的函數(shù)關(guān)系式，并計算當時，的值12設(shè)函數(shù)，試討論的性態(tài)（有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性），求其極值，并作出其在內(nèi)的圖像13已知線段長度為，兩端均在拋物線上，試求的中點到軸的最短距離和此時點的坐標參考答案：1. 2. 3. 2 4. 5. 6. 27. 8. 9. 10. 11.，12. ；偶函數(shù)；周期為 13. ；14.略；反證法 15. 2；3；2008年交大冬令營數(shù)學試題參考答案2008.

3、1.1一填空題1若，則22函數(shù)的最大值為_3等差數(shù)列中，則前項和取最大值時，的值為_204復數(shù),若存在負數(shù)使得，則5若，則6數(shù)列的通項公式為，則這個數(shù)列的前99項之和7中的系數(shù)為39212258數(shù)列中，此數(shù)列的通項公式為 9甲、乙兩廠生產(chǎn)同一種商品甲廠生產(chǎn)的此商品占市場上的80%，乙廠生產(chǎn)的占20%；甲廠商品的合格率為95%，乙廠商品的合格率為90%若某人購買了此商品發(fā)現(xiàn)為次品，則此次品為甲廠生產(chǎn)的概率為10若曲線 與 的圖像有3個交點，則 二解答題130個人排成矩形，身高各不相同把每列最矮的人選出，這些人中最高的設(shè)為；把每行最高的人選出，這些人中最矮的設(shè)為（）是否有可能比高？（）和是否可能相

4、等？1 解：不可能 若為同一人，有； 若在同一行、列，則均有； 若不在同一行、列，同如圖1以5*6的矩形為例，記所在列與所在行相交的人為。因為為列最矮的人，所以有；又因為為列最高的人，所以有；于是有。綜上，不可能有 有可能，不妨令30個人身高由矮至高分別為，如圖2所示： 此時有3世界杯預選賽中，中國、澳大利亞、卡塔爾和伊拉克被分在A組，進行主客場比賽規(guī)定每場比賽勝者得三分，平局各得一分，敗者不得分比賽結(jié)束后前兩名可以晉級（）由于4支隊伍均為強隊，每支隊伍至少得3分于是 甲專家預測：中國隊至少得10分才能確保出線； 乙專家預測：中國隊至少得11分才能確保出線問：甲、乙專家哪個說的對？為什么？（）

5、若不考慮中條件，中國隊至少得多少分才能確保出線？解：乙專家 若中國隊得10分，則可能出現(xiàn)其余三隊12分、10分、10分的情況，以澳大利亞12分，卡塔爾10分，伊拉克3分為例，得分情況如下表。中國隊無法確保晉級，因此甲專家說的不對。澳澳中中卡卡伊伊總分澳30303312中03130310卡03103310伊0030003 假設(shè)中國隊得了11分而無法晉級，則必為第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12場比賽四隊總得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四隊總分36分時不能出現(xiàn)一場平局，而11不是3的倍數(shù)，故出線平局，矛盾！ 所以中國隊得11分可以確保出線。 若中國隊

6、得12分，則可能出線如表情況，仍無法確保晉級。澳澳中中卡卡伊伊總分澳30303312中03033312卡03303312伊0000000 假設(shè)中國隊得13分仍無法出線，則必為第3名，則第一名、第二名均不少于13分，總得分已經(jīng)不少于39分大于36分，矛盾！ 故中國隊至少得13分才可以確保出線。4通信工程中常用n元數(shù)組表示信息，其中或1，設(shè)，表示和中相對應的元素不同的個數(shù)（）問存在多少個5元數(shù)組 使得；（）問存在多少個5元數(shù)組 使得；（）令，求證：解：5； ；記中對應項同時為0的項的個數(shù)為，對應項同時為1的項的個數(shù)為，則對應項一個為1，一個為0的項的個數(shù)為；即是中1的個數(shù)，即是中1的個數(shù)，是中對應

7、項一個為1，一個為0的項的個數(shù)。于是有中1一共有個，即所以有于是5曲線與圓交于兩點，線段的中點在上，求解：設(shè)， 聯(lián)立與，得：知，； 且 得 又 所以 解得或（舍）2011年同濟大學等九校(卓越聯(lián)盟)自主招生 數(shù)學試題一、選擇題,1.已知向量為非零向量,則夾角為( ) A. B. C. D. 2.已知則( ) A. B. C . D.3.在正方體中,為棱的中點,是棱上的點,且,則異面直線與所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 4.為虛數(shù)單位,設(shè)復數(shù)滿足,則的最大值為( ) A. B. C. D. 5.已知拋物線的頂點在原點,焦點在軸上,三個頂點都在拋物線上,且的重心為拋物線的焦點,若邊

8、所在的直線方程為,則拋物線方程為( ) A. B. C. D. 6.在三棱柱中,底面邊長與側(cè)棱長均不等于2,且為的中點,則點到平面的距離為( ) A. B. C. D. 7.若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解,則的取值范圍為( ) A. B. C. D. 8.如圖,內(nèi)接于,過中點作平行于的直線交于,交于,交在點處的切線于,若,則的長為( )OABCDEFGPl第8題圖 A. B. C. D.9.數(shù)列共有11項,且 滿足這種條件的不同數(shù)列的個數(shù)為( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 16010.設(shè)是坐標平面按順時針方向繞原點做角度為的旋轉(zhuǎn),表示坐標平面關(guān)于軸的鏡面反射.用表示變換的

9、復合,先做,再做.用表示連續(xù)次的變換,則是( ) A. B. C. D.二、解答題13.已知橢圓的兩個焦點為,且橢圓與直線相切.(1)求橢圓的方程;(2)過作兩條互相垂直的直線,與橢圓分別交于及,求四邊形面積的最大值與最小值.14.一袋中有個白球和個黑球.從中任取一球,如果取出白球,則把它放回袋中;如果取出黑球,則該黑球不再放回,另補一個白球放到袋中.在重復次這樣的操作后,記袋中白球的個數(shù)為.(1)求;(2)設(shè),求(3)證明:參考答案:一.選擇題二.解答題13.【解】設(shè)橢圓方程為,因為它與直線只有一個公共點,所以方程組只有一解,整理得.所以得.又因為焦點為,所以聯(lián)立上式解得所以橢圓方程為.(2

10、)若斜率不存在(或為0)時,則.若斜率存在時,設(shè)為,則為.所以直線方程為.設(shè)與橢圓交點坐標為聯(lián)立方程化簡得.則所以同理可得所以因為（當且僅當時取等號）所以,也所以所以綜上所述,的面積的最小值為,最大值為2.14.【解】(1)時,袋中的白球的個數(shù)可能為個(即取出的是白球),概率為;也可能為個(即取出的是黑球),概率為,故.(2)首先,時,第次取出來有個白球的可能性有兩種;第次袋中有個白球,顯然每次取出球后,球的總數(shù)保持不變,即個白球(故此時黑球有個),第次取出來的也是白球,這種情況發(fā)生的概率為第次袋中有個白球,第次取出來的是黑球,由于每次球的總數(shù)為個,故此時黑球的個數(shù)為.這種情況發(fā)生的概率為.故

11、(3)第次白球的個數(shù)的數(shù)學期望分為兩類: 第次白球個數(shù)的數(shù)學期望,即.由于白球和黑球的總個數(shù)為,第次取出來的是白球,這種情況發(fā)生的概率是;第次取出來的是黑球,這種情況發(fā)生的概率是,此時白球的個數(shù)是 故清華大學保送生暨自主招生北京冬令營數(shù)學筆試試題（2009年12月30日）1.求的單調(diào)區(qū)間及極值.2.設(shè)正三角形邊長為，是的中點三角形，為除去后剩下三個三角形內(nèi)切圓面積之和.求.3.已知某音響設(shè)備由五個部件組成，A電視機，B影碟機，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個部件工作的概率如下圖所示.能聽到聲音，當且僅當A與B中有一工作，C工作，D與E中有一工作；且若D和E同時工作則有立體聲效果.A 0.9

12、0B 0.95C 0.95D 0.94E 0.94求：（1）能聽到立體聲效果的概率； （2）聽不到聲音的概率.4.(1)求三直線，所圍成三角形上的整點個數(shù)； (2)求方程組的整數(shù)解個數(shù).5.已知，ABC是正三角形，且B、C在雙曲線一支上.(1)求證B、C關(guān)于直線對稱；(2)求ABC的周長.復旦大學2010年選拔生考試數(shù)學試題一、填空(每小題5分，共45分)1sinx+siny=0，則cos2x-sin2y=_2平面p1, p2成a的二面角，平面p1中的橢圓在平面p2中的射影是圓，那么橢圓短軸與長軸之比為_3(x2+2x+2)(y2-2y+2)1，則x+y=_4電話號碼0，1不能是首位，則本市電

13、話號碼從7位升到8位，使得電話號碼資源增加_52002=83a3+82a2+8a1+a0，0a0,a1,a2,a37正整數(shù)，則a0=_6的常數(shù)項為_7_8空間兩平面a,b，是否一定存在一個平面均與平面a,b垂直？_9在ABC中，cos(2A-C)cos(2C-B)，則此三角形的形狀是_二、解答題(共87分)1求解：cos3xtan5xsin7x2數(shù)列3，3-lg2，,3-(n-1)lg2問當n為幾時，前n項的和最大？3求證：xR時，|x-1|4|x3-1|4a為何值時，方程有解？只有一解？5一艘船向西以每小時10公里的速度航行，在它的西南方向有一臺風中心正以每小時20公里速度向正北方向移動，船

14、與臺風中心距離300米，在臺風中心周圍100米處將受到影響，問此船航行受臺風影響的時間段長度？6x3-2y31的所有整數(shù)解(x,y)，試證明：1設(shè)f(x)的原函數(shù)是，則_2設(shè)，則函數(shù)(的最小值是_3方程的解x_4向量在向量上的投影_5函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是_6兩個等差數(shù)列200，203，206，和50，54，58都有100項，它們共同的項的個數(shù)是_7方程7x2-(k+13)x+k2-k-20的兩根分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)，則k的取值范圍是_8將3個相同的球放到4個盒子中，假設(shè)每個盒子能容納的球數(shù)不限，而且各種不同的放法的出現(xiàn)是等可能的，則事件“有3個盒子各放一個球”的概率是_2、選擇題

15、(本題共15分，每小題3分在每小題給出的4個選項中，只有一項正確，把所選項的字母填在括號內(nèi))1若今天是星期二，則31998天之后是( )A星期四B星期三C星期二D星期一2用13個字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戲，若字母的各種排列是隨機的，恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率是( )ABCD3方程cos2x-sin2x+sinxm+1有實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是( )ABm >-3Cm >-1D4若一項數(shù)為偶數(shù)2m的等比數(shù)列的中間兩項正好是方程x2+px+q0的兩個根，則此數(shù)列各項的積是( )ApmBp2mCqmDq2m5設(shè)f (x0)2

16、，則( )A-2B2C-4D43、證明與計算（本題61分）1(6分)已知正數(shù)列a1，a2，an，且對大于1的n有，試證：a1，a2，an中至少有一個小于12(10分)設(shè)3次多項式f(x)滿足：f(x+2)-f(-x)，f(0)1，f(3)4，試求f(x)3(8分)求極限4(10分)設(shè)在x0處可導，且原點到f(x)中直線的距離為，原點到f(x)中曲線部分的最短距離為3，試求b，c，l，m的值(b,c>0)5(8分)證明不等式：，6(8分)兩名射手輪流向同一目標射擊，射手甲和射手乙命中目標的概率都是若射手甲先射，誰先命中目標誰就獲勝，試求甲、乙兩射手獲勝的概率OyxB1A2A1B27(11分

17、)如圖所示，設(shè)曲線上的點與x軸上的點順次構(gòu)成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，直角頂點在曲線上試求An的坐標表達式，并說明這些三角形的面積之和是否存在1. 數(shù)的位數(shù)是_。2. 求_。3. ，則用表示_。4. ，求_。5. ，求的最小值為_。6. 有一盒大小相同的球，它們既可排成正方形，又可排成一個正三角形，且正三角形每邊上的球恰比每邊上正方形多2個小球，球數(shù)為_。7. 數(shù)列中，求_。8. 展開式中系數(shù)為_。9. 一人排版，有三角形的一個角，大小為，角的兩邊一邊長，一邊長，排版時把長的那邊錯排成長，但發(fā)現(xiàn)角和對邊長度沒變，則_。10. 擲三粒骰子，三個朝上點恰成等差列的概率為_。11. ，

18、則（ ）12. A B C D13. 某人向正東走，再左轉(zhuǎn)朝新方向走了，結(jié)果離出發(fā)點，則（ ）A B C3 D不確定A B C D14. ，則（ ）A， B的面積 C對，第一象限 D，的圓心在上15. 一個圓盤被條等間隔半徑與一條割線所分割，則不交疊區(qū)域最多有（ ）個A B C DA B C D16. 對，定義，則滿足（ ）A交換律 B結(jié)合律 C都不 D都可17. ，則（ ）A3 B4 C5 D618. ，在上最小值為，求。19. ，求的最小值。20. ，求21. （為參數(shù)）求頂點軌跡，求在上截得最大弦長的拋物線及其長。22. 為遞增數(shù)列，在上對應為，以與曲線圍成面積為，若為的等比數(shù)列，求和。

19、1三次多項式f(x)滿足f(3)2f(1)，且有兩個相等的實數(shù)根2，則第三個根為_2用長度為12的籬笆圍成四邊形，一邊靠墻，則所圍成面積S的最大值是_3已知，x+2y1，則的最小值是_4有4個數(shù)，前3個成等比數(shù)列，后3個成等差數(shù)列，首末兩數(shù)和為32，中間兩數(shù)和為24，則這四個數(shù)是_5已知f(x)=ax7+bx5+x2+2x-1，f(2)=-8，則f(-2)=_6投三個骰子，出現(xiàn)三個點數(shù)的乘積為偶數(shù)的概率是_7正四面體的各個面無限延伸，把空間分為_個部分8有n個元素的集合分為兩部分，空集除外，可有_種分法9有一個整數(shù)的首位是7，當7換至末位時，得到的數(shù)是原數(shù)的三分之一，則原數(shù)的最小值是_10100!末尾連續(xù)有_個零二、解答題（本大題共60分，每題10分）11數(shù)列an的a1=1，a2=3，3an+2=2an+1+an，求an和123個自然數(shù)倒數(shù)和為1求所有的解13已知x1000+x999(x+1)+(x+1)1000，求x50的系數(shù)14化簡：(1) ；(2) 15求證：為最簡分式1函數(shù)，當x=1時，則f(x)