求軌跡方程的常用方法例題及變式

1、求軌跡方程的常用方法:題型一直接法此法是求軌跡方程最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件M|P(M)直接翻譯成x,y的形式f(x,y)=0,然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)f(x,y)=0,要注意軌跡方程的純粹性和完備性，即曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)適合這個(gè)條件而毫無(wú)例外(純粹性)；反之，適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏(完備性)。例1過(guò)點(diǎn)A(2,3)任作互相垂直的兩直線AM和AN,分別交x,y軸于點(diǎn)M,N,求線段MN中點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及M,N在軸上得M(0,2y),N(2x,0)(x,yR)AM_ANkAMkAN=-10

2、-32y-3,J.=-1(x¥1),化簡(jiǎn)得4x+6y-13=0(x=1)2x-20-23當(dāng)x=1時(shí)，M(0,3),N(2,0),此時(shí)MN的中點(diǎn)P(1,)它也滿足方程4x+6y13=0,所以中點(diǎn)P的軌跡方程為4x+6y13=0。變式1已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍。(1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2) 過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn)。若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率。題型二定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應(yīng)特別重視利用圓錐曲線的定義解題，包括用定義法求軌跡方程。22例2動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)P(-4,0),且與圓C:x+y

3、8x=0相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。解：根據(jù)題意|MC|-1MP|=4,說(shuō)明點(diǎn)M到定點(diǎn)C、P的距離之差的絕對(duì)值為定值，故點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。2a=4a=2,c=4b=c2-a2=1222故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為=1412變式2在4ABC中，BC=24,AC,AB上的兩條中線長(zhǎng)度之和為39,求ABC的重心的軌跡方程.解：以線段BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)2系，如圖1,M為重心，則有BM+CM=父39=26.3.M點(diǎn)的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓，其中c=12,a=13.b=Ja2c2=5.22：所求ABC的重心的軌跡方程為工+L=1(y#0)16925題型三相關(guān)點(diǎn)法此法

4、的特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)取決于已知曲線C上的點(diǎn)(x',y')的坐標(biāo)，可先用x,y來(lái)表示x',y',再代入曲線C的方程f(x,y)=0,即得點(diǎn)M的軌跡方程。22例3如圖，從雙曲線x-y=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N,求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程分析：從題意看動(dòng)點(diǎn)P的相關(guān)點(diǎn)是Q,Q在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，所以本題適合用相關(guān)點(diǎn)法。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1,y1),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2xx1,2yy1)丁N在直線x+y=2上，,二2x-Xi+2yy1=2又丁PQ垂直于直線x*y=2,yy1=1,即xy+y1Xi=0x一X1由解得y-1

5、y-122_又點(diǎn)Q在雙曲線x-y=1上，x1-y1=1代入，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為2x22y22x+2y1=02變式3已知ABC的頂點(diǎn)B(3,0),C(1,0),頂點(diǎn)A在拋物線y=x上運(yùn)動(dòng)，求4ABC的重心G的軌跡方程.I一31x03，x0=3x+2,解：設(shè)G(x,y),A(%,y0),由重心公式，得3«又|為y0=3y.3'2.2-A(x0,y°)在拋物線y=x上，y0=劭.將，代入，得3y=(3x+2)2(y00),即所求曲線方程是y=3x2+4x+4(y#0).3題型四參數(shù)法選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得其普通方

6、程，選參數(shù)時(shí)必須首先充分考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后在選取合適的參數(shù)，因?yàn)閰?shù)不同，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量的不同，常見(jiàn)的參數(shù)有截距、角度、斜率、線段長(zhǎng)度等。例4已知線段AA'=2a,直線l垂直平分AA'于O,在l上取兩點(diǎn)P,P使有向線段OP,OP,滿足OPOP'=4,求直線AP與AP'的交點(diǎn)M的軌跡方程.解：如圖2,以線段AA'所在直線為x軸，以線段AA'的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)P(0,t)(t00),4則由題意，得P'”4|.由點(diǎn)斜式得直線AP,AP'的方程分別為y=L(x+a),y(x-a).ata兩式相乘，消去t,得4x2

7、+a2y2=4a2(y*0).這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程.2變式4設(shè)橢圓方程為x2+=1，過(guò)點(diǎn)M（0,1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn)，4111l上的動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=（OA+OB），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（萬(wàn),萬(wàn)），當(dāng)l繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）|NP|的最小值與最大值.分析：（1）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出x1+x2,y1+y2,進(jìn)而表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，用消參法求軌跡方程；（2）將|NP|表示成變量x的二次函數(shù)。解：（1）法一：直線l過(guò)點(diǎn)M（0,1）,當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1。設(shè)A（x1，y1），B（x2,y2）,由題設(shè)可列方程為y

8、=kx+12V21x=114將代入并化簡(jiǎn)得:22-一(4+k)x+2kx3=0,所以x2y2=2k4k284k2OPOAOB);)=()2224k4k設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則-k4k244k2消去參數(shù)k得4x2+y2y=0當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)（0,0）,也滿足方程,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2y=0。法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因A(xyi),B(x2,y2)在橢圓上，所以22Xi2X2”=142y2=14一得：x12-x22-(y12-y22)=04一、，、1/所以(xix2)(xi-x2)(yiy2)(yi-y2)=04i.Vi-y2當(dāng)xi#x2時(shí)，有xi+x2+-(yi+y2)=04x1-x2xi+x2x二2并且=2y-1_yi-y2、xx1-x2將代入并整理得4x2+y2y=0當(dāng)xi=x2時(shí)，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0,2)、(0-2),12x2(y-力這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0),也滿足，所以點(diǎn)P的軌跡方程為彳+廣一=1。164111(2)由點(diǎn)P的軌跡方程知x2<