正弦定理知識點總結(jié)(精華)與試題

1、正弦定理知識點總結(jié)（精華）與試題1.特殊情況：直角三角形中的正弦定理:sinA= a sinB= b sinC=1 即: cca c= 一 sin Ac=bsin Bcc=sin Casin Asin B sin C-可編輯修改-2.能否推廣到斜三角形?證明一（傳統(tǒng)證法）在任意斜 ABC當中:c11 .一Szabc= ab sin C acsin B221一bcsin A2一 ,一八 1-兩邊同除以abc即得: 2sin A sin Bcsin C3.用向量證明:證二：過A作單位向量j垂直于ACAC + CB = AB兩邊同乘以單位向量j?(AC+CB尸j?AB則：j?AC+j?CB=j?AB

2、A).|j|?|AC|cos90+|j|?|CB|cos(90C)=|j|?|AB|cos(90asinCcsinAsinAsinC同理：若過C作j垂直于CB得:sinCsinBasinAsinBsinCj垂直于向量ACsin A sin B sin C當AABC為鈍角三角形時，設(shè)A>90過A作單位向量正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等,（1）正弦定理適合于任何三角形。(2)可以證明=2R ( R為那BC外接圓半徑)sinAsinBsinC(3)每個等式可視為一個方程：知三求一5.知識點整理(1)正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、C的對邊，R為Cabc_的外接圓的半徑

3、，則有2R.sinsinsinC(2)正弦定理的變形公式:a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC；abcsin,sinsinC；2R2R2Ra:b:csin:sin:sinC；abcabcsinsinsinCsinsinsinC6、應(yīng)用：i:正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題。例1、已知在ABC中，c10,A450,C300，求a,b和B“accsinA10sin450解：,a010、2sinAsinCsinCsin30B1800(AC)1050bbc,csinB10sin105006.2又,b020sin75205652sinBsinCsinCsin304練習(xí)：1、在

4、ABC中，已知A=450,B=600,a=42,解三角形.2、在4ABC中，AC=J3,/A=45°,ZC=75°,貝UBC的長為3、在ABC中，B=45,C=60,c=1,則最短邊的邊長等于ii:正弦定理可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題例2.1在ABC中，bJ3,B600,c1,求a和A,C.bc._csinB1sin6001解：,sinCsinBsinCb、32bc,B600,CB,C為銳角，C300,B900a舊""c22例2.2ABC中，c瓜A450,a2,求b和B,C解:sin Acsin Ccsin A sin C a6 s

5、in 4502csin A ac, C600或1200當C 600時,o75 ,bcsin Bsin C0. 6sin750-3 1sin 60當C 1200時,150,bcsin Bsin C-6皿三3 1sin 60b V3 1,B 750,C 600或 b 33 1,B 150,C 1200注意：在 ABC中，已知a,b和A時解三角形的情況:(1) 當A為銳角(2) 當A為直角或鈍角gfrsln A 一手Asin胃印幼網(wǎng)解。A 8 一解練習(xí)：1. ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若c也b任,B120°,則a等于()A.6qB.2C.x/3D.722、已知ABC中，

6、A,B,C的對邊分別為a,b,c若acnJ2且A75°,則b()A.2B.4+26C.4273D.V672.1.°3、在zXABC中，若tanA-,C150,BC1,則AB34、已知ABC中，a在b72,B450，解三角形iii：運用正弦定理判定三角形的個數(shù)問題例3:在4ABC中，分別根據(jù)下列條件指出解的個數(shù)(1)、a=4,b=5,A=300;(2)、a=5,b=4,A=600-可編輯修改-、a 曲,b 72, B 1200；、a 品 b 76, A 600.練習(xí):1.符合下列條件的三角形有且只有一個的是()A.a=1,b=2,c=3B.a=1,b=22，/A=30C. a

7、=1,b=2, ZA=100D. b=c=1,/B=45iv：正弦定理變形運用1、在ABC中，a=5,b=3,C=1200,則sinA:sinB=2、在ABC中，acosB=bcosA,則/ABC為()A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、鈍角三角形3、在4ABC中，若b=2asinB,則A=HsinAcosB-4、在4ABC中，若，則B的值為ab2sinAsinB/古斗5、在ABC中，a:b:c=1:3:5,貝1的值為sinC6、在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=30,則a=7、若三角形的三個內(nèi)角之比為1:2:3,則該三角形的三邊之比為8、在4ABC中，a600,a而，則一a-b-c等于sinAsinBsinC9.ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊邊長分別為a,b,c,若a亟b,A2B,則cosB()A)2f5J57555-3-(B)(C)(D)10、在ABC中，若