微積分課件：9-6 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用

1、一、近似計算一、近似計算二、計算定積分二、計算定積分三、微分方程的冪級數(shù)解法三、微分方程的冪級數(shù)解法四、小結四、小結 第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用應用 一、近似計算一、近似計算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar誤差誤差兩類問題兩類問題: :1.給定項數(shù)給定項數(shù),求近似值并估計精度求近似值并估計精度;2.給出精度給出精度,確定項數(shù)確定項數(shù).關鍵關鍵: :通過估計余項通過估計余項,確定精度或項數(shù)確定精度或項數(shù).常用方法常用方法:1.若余項是交錯級數(shù)若余項是交錯級數(shù),則可用余和的首項來解決則可用余和的首項來解決;2.若不是交錯級數(shù)若不是交錯級數(shù),則

2、放大余和中的各項則放大余和中的各項,使之成使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出其和從而求出其和.例例1 1.10,5 使使其其誤誤差差不不超超過過的的近近似似值值計計算算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 例例2 2.,9sin! 3sin03并估計誤差并

3、估計誤差的近似值的近似值計算計算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 30000013750001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 .510 二、計算定積分二、計算定積分.,ln1,sin,2難難以以計計算算其其定定積積分分函函數(shù)數(shù)表表示示原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等例例如如函函數(shù)數(shù)xxxex 解法解法逐項積分逐項積分展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)定積分的近似值定積分的近似值被積函數(shù)被積函數(shù)第四項第四項30001!771 ,104 取前三項作為積分的近

4、似值取前三項作為積分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精確到精確到的近似值的近似值計算計算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收斂的交錯級數(shù)收斂的交錯級數(shù)三、微分方程的冪級數(shù)解法三、微分方程的冪級數(shù)解法,22yxdxdy 例如例如解不能用初等函數(shù)或其積分式表達解不能用初等函數(shù)或其積分式表達.尋求近似解法尋求近似解法: 冪級數(shù)解法冪級數(shù)解法;1 1、一階方程的初值問題特解求法、一階方程的初值問題特解求法問題問題.),(00的特解的特解滿足滿足求

5、求yyyxfdxdyxx .)()()()(),(0000101000mllmyyxxayyaxxaayxf 其中其中 202010)()(xxaxxayy.,21為待定的系數(shù)為待定的系數(shù)其中其中naaa,xx0的冪級數(shù)的冪級數(shù)假設所求特解可展開為假設所求特解可展開為 .0|02的的特特解解滿滿足足求求 xyyxdxdy解解，00 x, 00 y,33221 nnxaxaxaxay設設方程的冪級數(shù)展開式代入原將yy, 342321432xaxaxaa24433221)( xaxaxaxax,32123121 nnxnaxaxaay例例4 4,201, 0, 0,21, 054321 aaaaa

6、.2012152 xxy所求解為所求解為 43122321221)2(2xaaaxaaxax比較恒等式兩端比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)的同次冪的系數(shù), 得得注注: :無初始條件求解無初始條件求解 1nnnxaCy可設可設(C是任意常數(shù)是任意常數(shù)) 如果方程如果方程0)()( yxQyxPy中的系數(shù)中的系數(shù))(xP與與)(xQ可在可在RxR 內展為內展為x的冪級數(shù)的冪級數(shù), ,那么在那么在RxR 內原方程必有形如內原方程必有形如 nnnxay 0的解的解. .定理定理2 2、二階變系數(shù)齊次線性方程冪級數(shù)求法、二階變系數(shù)齊次線性方程冪級數(shù)求法作法作法,0 nnnxay設解為設解為的冪級數(shù)，的冪級

7、數(shù)，展開為展開為將將xxfxQxP)(),(),(比較恒等式兩端比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)的同次冪的系數(shù), 確定確定y.0的解的解求方程求方程 yyxy,0nnnxay 設方程的解為設方程的解為解解例例5 5,10 nnnxnay則則21)1( nnnxanny, 0, yyxyyyy代入將,)1)(2(02nnnxann , 00 nnnxa10 nnnxnaxnnnxann 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02 nnnnxanann,22 naann, 2 , 1 , 0 n,313aa ,1515aa ,!)!12(112 kaak, 3 , 2 , 1 k,202aa ,8

8、04aa ,2!02kkkaa 原方程的通解原方程的通解 0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是任意常數(shù)是任意常數(shù)aa四、小結四、小結、近似計算、近似計算,求不可積類函數(shù)的定積分，求不可積類函數(shù)的定積分， 3、微分方程的冪級數(shù)的解法、微分方程的冪級數(shù)的解法 2、,求不可積類函數(shù)的定積分，求不可積類函數(shù)的定積分，思考題思考題利用冪級數(shù)展開式利用冪級數(shù)展開式, 求極限求極限.sinarcsinlim30 xxxx 思考題解答思考題解答,54231321arcsin53 xxxx)1( x,sinarcsinlim30 xxxx 將上兩式代入將上兩式代入3 35 5x x

9、0 01 1x x1 13 3x xx xx x2 23 32 24 45 5l li im m 3 3x x原式原式=33333 3x0 x01 1xo(x )xo(x )6 6limlimx x .61 一、一、 利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值: : 1 1、3ln ( (精確到精確到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精確到精確到0001. 0).).二、二、 利 用 被 積 函 數(shù) 的 冪 級 數(shù) 展 開 式 求 定 積 分利 用 被 積 函 數(shù) 的 冪 級 數(shù) 展 開 式 求 定 積 分 5 . 00arctandxxx ( (精確到精確到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 將函數(shù)將函數(shù)xexcos展開成展開成的冪級數(shù)的冪級數(shù)x . .練練 習習