線性代數(shù)課件：2-2 行列式的性質(zhì)

1、2.2 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 TDD 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .說(shuō)明說(shuō)明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則

2、如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kk行列式的某一行（列）中所有元行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面111213111213212223212223313233313233 aaaaaakakakak aaaaaaaaa 如如在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)常倒過(guò)來(lái)用，如在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)常倒過(guò)來(lái)用，如211121311121302122232122233132333132331r k(

3、 k)aaaaaaaaakakakakaaaaaa 而矩陣提取公因子是提取矩陣中所有元素而矩陣提取公因子是提取矩陣中所有元素的公因子的公因子11122122kakalala 如如: : 11122122aal kaa 1112111221222122kakaaakkakaaa 注意注意:行列式提取公因子是提取某行行列式提取公因子是提取某行(或某列或某列)的公因子的公因子推論推論1行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaa

4、aaaaaaaaak21212111211 . 0 推論推論2 若行列式中某行（列）的元素全為零，則此行列若行列式中某行（列）的元素全為零，則此行列式等于零式等于零. . 性質(zhì)性質(zhì)4 4若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如 例例635241654321975654321

5、 654654321321654321 000 性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjni1nj2j2j2i221n1j1j1i111jiaa)kaa(aaa)kaa(aaa)kaa(akcc k例如例如例1. 設(shè) 273342731A，求 detA.解. 232017100731det A196001710073110196 例2 計(jì)算29031132434124141

6、D解 29035500341281707 D2935508177)1(22 101132575 例例3 3 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解12ncccabbbbabbDbbabbbba abbbnababbnabbabnabbbbna1111 i1r ri 2,3, nbbb1a ba (n 1)ba ba b .)() 1(1 nbabna 11(1)11bbbabbanbbabbba 例4 計(jì)算nnnnaaaaaaaaaD 111212121解加邊法加邊法 nnnnnaaaaaaaaaaaaD101010121212121100101010011121

7、 naaa1000010000101211nniiaaaa niia11 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立時(shí)（時(shí)（當(dāng)當(dāng)12 n例例5證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對(duì)于）對(duì)于假設(shè)（假設(shè)（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因

8、因子子列列展展開(kāi)開(kāi)，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式例例6計(jì)算計(jì)算6427811694143211111D4 1ji4ji)(xx12)34)(23)(24)(12)(13)(14( 例例7.)3(,)2(,)1(,),(,31423131501112532423222141311114131211MMMMAAAAAAAAMjiDDijij 求求和和依次記作依次記作式式元的余子式和代

9、數(shù)余子元的余子式和代數(shù)余子的的設(shè)設(shè)3142313150111111)1(14131211 AAAA.4 3141313150101251)2(413111 AAA.125 24232221)3(MMMM 24232221AAAA 3142313111111253 .10 性質(zhì)性質(zhì)6 6 行列式第行列式第 行的元素與第行的元素與第 行的對(duì)應(yīng)行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即i()j ji 行列式第行列式第 列的元素與第列的元素與第 列的對(duì)應(yīng)元素的列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即代數(shù)余子式乘積之和等于零，即i()j ji . ji,AaAaAaj

10、ninjiji 02211(2.10)11220 ()1 2,ijijninja Aa Aa A ji i jn , , , , ,(2.11)即即: :行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同例例8 已知五階行列式已知五階行列式D D中第一行元素依次為

11、中第一行元素依次為u,2u+1,3,u,2u+1,3,1,u1,u, ,而第三行元素的余子式分別為而第三行元素的余子式分別為2,5,2,1,-3,2,5,2,1,-3,求求u u0)3()1(11)1(23)1()12(5)1(2)1(5343332313 uuu解：解：0 u性質(zhì)性質(zhì)7 7 設(shè)設(shè) 階方陣，階方陣， 為為m m階方陣，則階方陣，則,A Bn為為C(1) TAA ; (2) nAA ; (4) ABA B , .BAAB (3) ,AOOA A C DCCD (1)mnA C 設(shè)設(shè)A A為為3 3階方陣，階方陣，B B為為2 2階方陣，且階方陣，且2,3AB例例9020AB求求24)1(20020202322 BABABA解：解：注意注意1)1)一般地，一般地， 2) 2) 性質(zhì)性質(zhì)(4)(4)要求要求A,BA,B都是方陣才成立，因方陣才有都是