微積分課件：6-8 多元函數(shù)的極值

1、第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值條件極值條件極值實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的

2、收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出一、問題的提出 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值

3、；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值(1)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz -10-50510 x-10-50510y-10-50z-10-50510 xxyz定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏

4、導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極大值處有極大值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似

5、地地可可證證 0),(00 yxfy.例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).偏導(dǎo)數(shù)存在下偏導(dǎo)數(shù)存在下, 駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(

6、00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求

7、出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值.33224( , )339f x yxyxyx 例例 ：討討論論的的極極值值 06y-3yf 0963:2y2 xxfx解解2 , 0y3, 1x 駐點(diǎn)駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)xyyy66, f0, f66xxfxy 在在(1,0)處處A=120,B=0,C=606122 BAC在在(1,0)處取得極小值處取得極小值-5在在(1,2)處處A

8、=120,B=0,C=-606122 BAC在在(1,2)處沒有極值處沒有極值在在(-3,0)處處 A=-12,B=0,C=606122 BAC在在(-3,0)處沒有極值處沒有極值在在(-3,2)處處A=-120,B=0,C=-606122 BAC在在(-3,2)處取得極大值處取得極大值31求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一

9、元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，xyo6 yxDD如圖如圖,解方程組解方程組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0),( yxf,在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,6

10、4)2 , 4( f 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為最大值為最大值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 由由即邊界上的值為零即邊界上的值為零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)對(duì)自變

11、量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件外，并無其他條件.問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)A(x,y)2(xyyzzx) xyz2 三、條件極值三、條件極值-拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法3 3實(shí)實(shí)例例: :某某工工廠廠要要用用鐵鐵板板做做成成一一體體積積為為2m2m 的的有有蓋蓋長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體水水箱箱, ,問問當(dāng)當(dāng)長(zhǎng)長(zhǎng), ,寬寬, ,高高各各取取多多少少尺尺寸寸時(shí)時(shí), ,可可以以使使用用料料最最省省? ?條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題例如例如 ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(x,y)0,在在條條件件下下zf(

12、x,y) 求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值(x,y)0y(x) 從從條條件件中中解解出出zf(x, (x)( )yx 注注: :此此方方法法僅僅適適用用于于可可解解出出情情況況(x,y)0,在在條條件件下下方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法如方法 1 所述所述 ,則問題等價(jià)于一元函數(shù)則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題的極值問題,極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足設(shè)設(shè) 記zf(x,y). 求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值(x,y)0y(x), zf(x, (x)故故 xydzdyff0dxdxxydy,dx 因因xxyyff0 yxxyff 故有故有極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足xxf0 yy

13、f0 (x,y)0例例 7 7 將正數(shù)將正數(shù) 12 分成三個(gè)正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)zyx,之和之和 使得使得zyxu23 為最大為最大.解解22x3y32zL3x y z0L2x yz0Lx y0Lxyz12 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為例例 8 8 在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)作作橢橢球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積最最小小，求求切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo).解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222

14、czbyaxzyxF, 過過),(000zyxP的切平面方程為的切平面方程為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為 1202020 czzbyyaxx,該切平面在三個(gè)軸上的截距各為該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,可得可得即即30ax 30by ，30cz 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、

15、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？思考題解答思考題解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取極值不取極值.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf 在在_點(diǎn)取點(diǎn)取得極得

16、極_值為值為_._.2 2、 函數(shù)函數(shù)xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值為為_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所確定的所確定的函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的極大值是的極大值是_,_,極小值極小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 點(diǎn)點(diǎn) , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. .三三、 求求內(nèi)內(nèi)接接于于半半徑徑為為a的的球球且且有有最最大大體體積積的的長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體. .練練 習(xí)習(xí) 題題四、四、 在第一卦限內(nèi)作球面在第一卦限內(nèi)作球面1222 zyx的切平面的切平面,

17、 ,使使得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小, ,求求切點(diǎn)的坐標(biāo)切點(diǎn)的坐標(biāo). .一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,58(. .三三、當(dāng)當(dāng)長(zhǎng)長(zhǎng), ,寬寬, ,高高都都是是32a時(shí)時(shí), ,可可得得最最大大的的體體積積. .四四、).31,31,31(練習(xí)題答案練習(xí)題答案的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)