一輪復習函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性2.3函數(shù)的奇偶性與周期性第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性2知識梳理考點自測1.函數(shù)的奇偶性f(-x)=f(x) y軸 f(-x)=-f(x) 原點 第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性3知識梳理考點自測2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個周期,則需滿足條件:T0;對定義域內的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個,那么這個就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(xR)的一個周期,則nT(nZ,且n0)也是

2、函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x) 最小的正數(shù) 最小正數(shù) 第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性4知識梳理考點自測1.函數(shù)奇偶性的四個重要結論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(3)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性.(4)在公共定義域內有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性5知識梳理考點自測2.周期

3、性的幾個常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x(其中a0,且為常數(shù)):(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a;第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性6知識梳理考點自測3.對稱性的四個常用結論(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱;(2)若對于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱;(3)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),即f(-x+b)+f(x+b)=0,則函數(shù)y=f(x)關于點(b,0)中心對稱.(4)若y=f(x)對任意的

4、xR,都有f(a-x)=f(b+x),則f(x)的圖象關于直線第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性7知識梳理考點自測234151.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+)內是偶函數(shù).()(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0.()(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱.()(4)如果函數(shù)f(x),g(x)是定義域相同的偶函數(shù),那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù).()(5)已知函數(shù)y=f(x

5、)是定義在R上的偶函數(shù),若在(-,0)內f(x)是減少的,則在(0,+)內f(x)是增加的.()(6)若T為y=f(x)的一個周期,則nT(nZ)是函數(shù)f(x)的周期.() 答案 答案關閉(1)(2)(3)(4)(5)(6)第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性8知識梳理考點自測23415 答案解析解析關閉 答案解析關閉第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性93. 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=x(1+x),則當x0時,f(x)的解析式為()A.f(x)=x(1+x)B.f(x)=x(1-x)C.f(x)=-x(1+x)D.f

6、(x)=x(x-1)知識梳理考點自測23415 答案解析解析關閉(方法一)由題意得f(2)=2(1+2)=6.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(-2)=-6.經(jīng)驗證,僅有f(x)=x(1-x)時,f(-2)=-6.故選B.(方法二)當x0,f(-x)=-x1+(-x).又f(x)為奇函數(shù),f(-x)=-f(x).-f(x)=-x(1-x),f(x)=x(1-x),故選B. 答案解析關閉B第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性104. 已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),在區(qū)間(0,+)內是減函數(shù),且在區(qū)間a,b(ab0時,-x0,此時f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-

7、2x-1=-f(x);當x0,此時f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故對于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性14考點1考點2考點3考點4第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性15考點1考點2考點3考點4解題心得解題心得判斷函數(shù)的奇偶性要注意兩點:(1)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提.(2)判斷關系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么? 第二章第二章2.3函數(shù)

8、的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性16考點1考點2考點3考點4 答案 答案關閉第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性17考點1考點2考點3考點4例2(1)(2017齊魯名校模擬)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=2x+m,則f(-2)=()(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-,-1)(2,+) B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)(3)已知f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)= ,則函數(shù)f(x)的解析式為;(4)已知

9、函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當x0時,f(x)=x2-x,則當x0時,函數(shù)f(x)的最大值為.第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性18考點1考點2考點3考點4解析: (1)因為f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,則f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.(2)因為f(x)是奇函數(shù),所以當xf(a),得2-a2a,解得-2a0時,f(x)=x3-8,則x|f(x-2)0=() A.x|-2x2B.x|0 x4 C.x|x0或2x4D.x|x2 答案解析解析關閉 答案解析關閉第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期

10、性22考點1考點2考點3考點4例3(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當-3x-1時,f(x)=-(x+2)2;當-1x3時,f(x)=x,則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于 ()A.336 B.337 C.1 678D.2 012(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)= .若當2x3時,f(x)=x,則f(105.5)=.答案: (1)B(2)2.5 第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性23考點1考點2考點3考點4解析: (1)f(x+6)=f(x),函數(shù)f(x)的周期T=6.當-3x-1時,f(x)=-(x

11、+2)2;當-1xf(-3)f(-2) B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)32,且當x0,+)時,f(x)是增加的,所以f()f(3)f(2).又函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù),所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),故f()f(-3)f(-2).第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性31考點1考點2考點3考點4(3)因為f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.又對任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以當x=-3時,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x

12、),周期為6.故f(2 017)=f(1)=2.第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性32考點1考點2考點3考點4思考解有關函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性的綜合問題的策略有哪些?解題心得解題心得函數(shù)性質綜合應用問題的常見類型及解題策略:(1)函數(shù)單調性與奇偶性結合.注意奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反.(2)周期性與奇偶性結合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行轉換,將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的定義域內求解.(3)周期性、奇偶性與單調性結合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間,再利用奇偶性和單調性求解.第二章

13、第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性33考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練4(1)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),若f(1)1, ,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(-1,4)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(-1,2)(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則()A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)答案: (1)A(2)D 第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性34考點1

14、考點2考點3考點4解析: (1)f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù),f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),解得-1a4.(2)因為f(x)滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因為f(x)在區(qū)間0,2上是增加的,f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(x)在區(qū)間-2,2上是增加的,所以f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11).第二章第二章2.3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性35考點1考點2考點3考點41.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個關鍵點:(1)“定義域關于原點對稱”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)”的必要不充分條件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.2.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù).為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要將函數(shù)進行化簡,或應