重點難點指導

1、重點難點指導第一章 實數(shù)集與函數(shù)重點： （1）函數(shù)的概念及其有關的性質(zhì) ； （2）幾個常見函數(shù)的表示及圖形； （3）上下確界的概念及其證明；難點： （1）實數(shù)的表示及其比較； （2）上下確界的概念及其證明； （3）函數(shù)有界性的證明；重點難點解析：1、 本教材利用實數(shù)的表示及性質(zhì)證明確界原理，再以確界原理為基礎證明其它5個完備性定理。故實數(shù)及其性質(zhì)是基礎。重點講實數(shù)的表示方法；可適當介紹數(shù)系的發(fā)展從而引入實數(shù)連續(xù)性的概念。2、 證明一個數(shù)集是有界集或無界集時應特別強調(diào)必須將存在的數(shù)具體找出來，這是數(shù)學分析的一個特點。為以后的學習奠定基礎。3、 上下確界的概念對初學者是個難點，利用圖示法幫助理解，

2、教材上只講了一種定義，補充定義，為以后證明奠定基礎；做足夠的課堂練習。確界原理重在以后的應用，可簡單介紹其證明思路。4、 函數(shù)的概念與性質(zhì)中學學過，這里可以作為復習課小結(jié)，另外，重點講解一些常見函數(shù)的表示、圖像以及有界函數(shù)；單調(diào)函數(shù)與中學的單調(diào)函數(shù)有些區(qū)別，應講解清楚。第二章 數(shù)列極限重點： （1）數(shù)列極限的概念以及產(chǎn)生的背景；子列的概念； （2）收斂數(shù)列的性質(zhì)；（3） 數(shù)列極限存在的條件；（4）數(shù)列極限的證明及計算。難點： （1）數(shù)列極限的概念； （2）單調(diào)有界定理及柯西收斂準則的證明及應用； （3）數(shù)列極限存在與不存在的證明。重點難點解析：1、 數(shù)列極限的概念是數(shù)學分析的基礎和難點，應再現(xiàn)

3、極限思想發(fā)展的過程，從圓的面積等具體實例引入數(shù)列極限的描述性定義，抓住隨著的無限增大，無限地接近某一常數(shù)這兩點逐步引入，給出數(shù)列極限的定義；2、 為了學生更好的理解數(shù)列極限的定義，舉例說明如何利用定義驗證數(shù)列極限，在此過程中注意和學生一起總結(jié)證明的思路以及證明方法，即限制法和放縮法；記住一些常見數(shù)列的極限，以備后用；3、 從數(shù)列極限的定義中分析出極限不為的正面敘述；4、 利用幾何直觀幫助理解數(shù)列極限的概念；分析出數(shù)列極限為的等價定義；其中應強調(diào)N以后的各項必須在U()內(nèi)與有無窮項在U()內(nèi)是有區(qū)別的；給出數(shù)列極限不為的等價定義；5、 教材中的例8應重點講解，為學習子列的概念奠定基礎；6、 區(qū)分

4、無窮大數(shù)列與無界數(shù)列并舉例說明；7、 收斂數(shù)列的性質(zhì)重點講解保號性及迫斂性；保號性實質(zhì)由極限的符號可以確定數(shù)列某項以后的各項符號；反之也是成立的；迫斂性不僅可以證明數(shù)列極限存在還可得到極限值；8、 通過對收斂數(shù)列的性質(zhì)的證明總結(jié)利用N證明的方法；四則運算法則重點在應用；9、 在子列的概念中理解的意義以及與的關系，會利用子列證明數(shù)列斂散性；10、單調(diào)有界定理重點在證明及應用；學生應掌握如何利用確界原理得到數(shù)列極限，明確單調(diào)有上界數(shù)列必有極限且極限為數(shù)列的上確界，單調(diào)有下界數(shù)列必有極限且極限為數(shù)列的下確界；應用單調(diào)有界定理證明遞推數(shù)列的極限一般用數(shù)學歸納法；11、教材中P38頁的例3重點講解，書中

5、首次利用構(gòu)造數(shù)列的方法證明，講解如何根據(jù)已知條件構(gòu)造數(shù)列；12、 柯西收斂準則也是重點及難點，給出數(shù)列收斂與發(fā)散的柯西準則，補充例題訓練利用柯西準則證明數(shù)列收斂和發(fā)散；13、 總結(jié)證明數(shù)列收斂與發(fā)散的方法。14、第三章 函數(shù)極限重點： （1）函數(shù)極限概念；（2） 函數(shù)極限的性質(zhì)；（3） 函數(shù)極限存在的條件；（4） 兩個重要的極限（5）無窮小量與無窮大量的概念，性質(zhì)及階的比較，曲線的漸近線。難點： （1）函數(shù)極限的定義及其應用； （2）海涅定理與柯西準則的證明及應用； （3）無窮小量與無窮大量的階的比較。重點難點解析：1、 函數(shù)極限分為兩大類：與；當時函數(shù)極限類似于數(shù)列極限的概念，自然得到定義，

6、強調(diào)離散與連續(xù)的區(qū)別；2、 重點講解當時函數(shù)極限的定義，先通過例子讓同學們觀察充分靠近時，能無限趨于某個定數(shù)，引入定義；3、 單側(cè)極限的定義類似于函數(shù)極限的定義，重點在應用，說明的單側(cè)極限，強調(diào)極限存在的充要條件是左右極限不僅存在而且相等；4、 函數(shù)極限的性質(zhì)類似于收斂數(shù)列的性質(zhì)，強調(diào)局部性；這塊內(nèi)容可采用學生課后分組討論學習，上課教師簡要講解的形式學習；5、 海涅定理的證明與應用是本章的重點和難點，是溝通數(shù)列極限和函數(shù)極限的橋梁；必要性的證明不僅利用函數(shù)極限定義，也利用數(shù)列極限的定義，如何將二者結(jié)合是學習的關鍵，在許多證明中都要用到這一方法，給學生深入分析。充分性的證明中利用反證法從的正面敘

7、述，構(gòu)造數(shù)列得到矛盾。這是本書中第二次出現(xiàn)構(gòu)造數(shù)列，啟發(fā)同學們自己構(gòu)造。6、 給出在其它過程中的海涅定理以及它的增強形式，在利用海涅定理證明極限不存在是個重點，補充例題；7、 單側(cè)極限的單調(diào)有界定理類似于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，啟發(fā)學生自己寫出證明過程，提出問題為什么在上沒有單調(diào)有界定理；8、 柯西準則的應用是重點與難點，給出極限存在與不存在的柯西準則，補充例題增強理解；9、 兩個重要極限相對容易，注意講解它們的變形，即結(jié)構(gòu)的一致性，內(nèi)的形式必須一致；，冪指函數(shù)，+，與互為倒數(shù)；10、無窮小量與無窮大量也是本章重點，雖易于理解但內(nèi)容繁雜， 特別是階的比較，講時應條理清楚，重點講無窮小的性質(zhì)，階

8、的比較，無窮大的相應定理可留做課后小組討論題學生總結(jié)，無窮大應講清概念及它與無界函數(shù)的區(qū)別；11、漸近線重在應用，會求函數(shù)的垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。第四章 函數(shù)的連續(xù)性重點： （1）函數(shù)在一點的連續(xù)性、間斷點及其分類、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的概念；（2）連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)和閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)及應用；（3）一致連續(xù)的概念及證明；（4）利用連續(xù)函數(shù)計算極限。難點： （1）閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)及應用； （2）一致連續(xù)的概念及證明。重點難點解析：1、 從實際出發(fā)讓學生理解連續(xù)的本質(zhì)引出函數(shù)在一點連續(xù)性的兩個等價定義以及它們的定義，補充例題增強理解；2、 間斷點及其分類也是本章的重點，應增

9、強練習正確判斷間斷點的類型；3、 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)類似于函數(shù)極限的局部性質(zhì)可讓學生課后分組討論，上課簡要介紹，重點講復合函數(shù)連續(xù)性的證明；4、 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)重在應用，可講清證明思路，也可適當調(diào)整注重定理的先后順序，先講有界性定理再講最值定理，先講根的存在定理再講介值定理，補充例題增強應用；5、 一致連續(xù)的概念及應用是本章的重點難點也是數(shù)學分析的重點難點，應講清連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別，理解一致連續(xù)的本質(zhì)，會用定義證明一致連續(xù)和非一致連續(xù)，P82頁例10是第四版新增內(nèi)容，可將其作為定理證明非一致連續(xù)；6、 初等函數(shù)的連續(xù)性可簡要介紹，重點練習利用連續(xù)性計算極限。第五章 導數(shù)和微分重點： （

10、1）函數(shù)在一點導數(shù)的定義，幾何意義，函數(shù)的導函數(shù)的定義； （2）會利用導數(shù)定義求導函數(shù)；（3）求導法則；（4）參變量函數(shù)的導數(shù)，高階導數(shù)；（5）微分的概念、幾何意義、運算法則高階微分及微分的近似計算；（6）可微與可導的關系。難點： （1）導數(shù)和微分的概念； （2）復合函數(shù)的導數(shù)計算。重點難點解析：1、 從瞬時速度和曲線的切線斜率引入導數(shù)的定義，通過例題加深導數(shù)定義的理解；2、 證明函數(shù)在一點可導與在該點連續(xù)的關系并舉例說明；3、 會利用導數(shù)定義求函數(shù)的導函數(shù)；4、 強調(diào)函數(shù)在點可導的充要條件是曲線在點處存在不垂直于軸的切線；5、 重點講P96頁例8，引出費馬定理；6、 求導法則重點講商的求導公

11、式、反函數(shù)的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)及其證明；加強復合函數(shù)導數(shù)、對數(shù)求導法的練習；7、 會求參變量函數(shù)的導數(shù)；8、 高階導數(shù)一般用數(shù)學歸納法求解，記住常見函數(shù)的高階導數(shù)，重點講萊布尼茲公式及其應用，分段函數(shù)的高階導數(shù)及參變量函數(shù)的高階導數(shù)的求解方法；9、 從實例引入微分的概念，證明可導與可微的關系；10、講解微分的幾何意義，明確微分的思想就是以直代曲，用切線代替曲線；11、 簡單介紹微分的運算，高階微分，重點介紹一階微分不變性。第六章 微分中值定理及其應用重點： （1）羅爾中值定理和拉格朗日中值定理； （2）用洛必達法則不定式極限的求法； （3）帶皮亞諾型或拉格朗日型余項的泰勒公式和麥克勞林公式；

12、 （4）利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；（5）函數(shù)極值和最值及其應用.難點： （1）中值定理的證明及輔助函數(shù)的作法；（2）泰勒公式； （3）函數(shù)的凸性及應用；（4）導數(shù)的綜合應用.重點難點解析：1、 關于中值定理及其證明（1） 可借助于幾何意義使學生初步理解，體會數(shù)形結(jié)合思想.之后還需通過證明，反例及利用中值定理證明題目加深對數(shù)學邏輯思維能力的訓練.（2） 通過中值定理的學習使學生逐漸學會利用輔助函數(shù)處理問題的方法.一是借助幾何意義作輔助函數(shù)；二是證明中值定理后再講利用分析法作輔助函數(shù).（3） 向?qū)W生分析利用中值定理討論單調(diào)性、證明不等式一些技巧，并補充例題使學生進一步理解并掌握中值定理.2、 關于洛

13、必達法則及不定式的極限（1） 因為學生對拉格朗日定理尚不熟，故要講解柯西中值定理中作輔助函數(shù)的方法.并可從幾何意義說明之.同時應向?qū)W生說明羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理定理結(jié)論中 是與具體函數(shù)有關的，不同函數(shù)的一般不同.（2） 柯西中值定理相應的證明題亦是難點之一，盡量分析若題目中涉及兩個函數(shù)之間的一些關系可考慮使用柯西中值定理.（3） 洛必達法則作為柯西中值定理的一個重要應用，可以作為典型案例說明柯西中值定理的應用.（4） 要強調(diào)洛必達法則的應用性.既要舉例說明洛必達法則的應用，又要講解其它不定式化為型或型不定式的方法，還要說明洛必達法則的局限性.3、 關于泰勒公式（1） 泰勒

14、公式是難點之一，重點使學生理解相關概念：泰勒多項式、泰勒公式、泰勒系數(shù)、余項、佩亞諾余項、拉格朗日余項、麥克勞林公式及相互關系.（2） 使學生理解泰勒公式的意義用多項式研究函數(shù).（3） 泰勒公式特別是麥克勞林公式，可利用定義直接計算，但涉及高階導數(shù)，計算較難.因此重點分析間接法求一般函數(shù)的麥克勞林公式和泰勒公式的方法.（4） 介紹泰勒公式在求極限、近似計算和理論分析中的應用.4、 關于函數(shù)的極值與最值（1） 復習函數(shù)極值和最值相關概念，包括極值、極值點、穩(wěn)定點，不可導點、最值、最值點等.做到概念清楚并理解他們的相互區(qū)別和聯(lián)系.（2） 極值充分條件的證明學生應不難理解，但要講清兩個充分條件的差別

15、，尤其是對不可導點是否為極值點的判別.（3） 分析最值點可能在的位置，端點、不可導點、穩(wěn)定點，在求極值的基礎上介紹求最值的方法.講解閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的最值計算方法，并對非閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值舉一例.可介紹最值的應用，強調(diào)求目標函數(shù)最值是一種優(yōu)化建模.5、 關于函數(shù)的凸性（1） 分析函數(shù)單調(diào)性之間的差別，從中介紹數(shù)學發(fā)展的推動力，不斷的尋求差別和共性，并以幾何意義引入凸函數(shù)的定義，同時給出幾種等價的不同表示形式及更一般的形式，并舉例說明之，例如幾個常見的基本初等函數(shù)，亦可用定義證明其中一個函數(shù)為凸函數(shù).（2） 分析清楚凸函數(shù)、拐點等定義.（3） 凸函數(shù)的等價性條件不必全證，舉幾例說明其應用即可

16、.（4） 利用函數(shù)的凸性證明不等式為難點之一，關鍵在做輔助函數(shù)，可借助凸函數(shù)定義及所證不等式，用分析法作出輔助函數(shù).6、 關于函數(shù)作圖分析與函數(shù)性態(tài)相關的重要概念，單調(diào)性、周期性、有界性、凸性、拐點、漸近線等，講清作圖步驟，必要時還可補充一例.結(jié)合函數(shù)作圖講解利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).第七章 實數(shù)的完備性重點： （1）實數(shù)集完備性定理； （2）區(qū)間套定理與柯西收斂準則、聚點定理與有限覆蓋定理.難點： （1）實數(shù)完備性基本定理的應用；（2）實數(shù)集完備性的基本定理等價性.重點難點解析：1、 實數(shù)完備性是整個數(shù)學分析的基礎，比較抽象且學生難以理解和接受.2、 復習確界原理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準則，

17、指出它們與后面要學習的幾個定理統(tǒng)稱為實數(shù)完備性定理，使學生對實數(shù)完備性理論有一個大致的了解.3、 重點講授幾個概念，如聚點、閉區(qū)間套、有限覆蓋等，并以例子說明之.4、 能應用實數(shù)的完備性定理證明一些簡單的理論問題.第八章 不定積分重點： （1）原函數(shù)與不定積分的概念以及兩者之間的區(qū)別；（2）不定積分的性質(zhì)、運算法則、不定積分的基本公式；（3）不定積分的換元積分法和分部積分法.難點： （1）不定積分計算的技巧；（2）換元積分法與分部積分法； （3）有理函數(shù)積分法、三角函數(shù)有理式的積分法、幾種無理根式的積分.重點難點解析：1、 原函數(shù)與不定積分的概念，這是本章的基本概念，一定要弄清二者之間的區(qū)別.

18、2、 換元積分法和分部積分法是不定積分計算的最基本、最重要的方法.同時讓學生掌握選取替換函數(shù)的原則，能恰當?shù)剡x用替換函數(shù)，熟練地應用變量替換公式.3、 分部積分法的應用大致上可以歸納為“降冪”、“升冪”、“循環(huán)”、“遞推”.對于分部積分公式，要了解分部積分公式使用的基本類型，并能恰當?shù)貙⒈环e表達式分成兩部分的乘積，熟練地應用分部積分公式.在本節(jié)中，學生必須獨立完成大量的不定積分的練習題，從而能迅速，準確地求出不定積分.4、 有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)不定積分的基礎.要求掌握代數(shù)學中關于化有理函數(shù)為部分分式的方法;會求四種有理最簡真分式的不定積分.知道有理函數(shù)的不定積分還是初等函數(shù)

19、.學會求某些有理函數(shù)不定積分的技巧.在此基礎上掌握求兩類簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)不定積分的方法.第九章 定積分重點： （1）定積分的概念及性質(zhì)，構(gòu)造積分和與積分和極限的意義；（2）可積的條件，可積函數(shù)類；（3）變限積分與原函數(shù)的存在性、微積分學基本定理.（4）牛頓萊布尼茲公式、定積分的換元法和分部積分法.難點： （1）定積分的概念的理解；（2）換元積分法與分部積分法； （3）可積的充要條件及可積性的證明.重點難點解析：1、 定積分的概念是本章的重點與難點，從定積分的幾何模型曲邊梯形的面積和物理模型物體運動的路程或變力作功引入函數(shù)在區(qū)間上可積和定積分的定義.可適當介紹（或要求學生自己閱讀附錄I）了解微積分的產(chǎn)生背景及數(shù)學史上微積分發(fā)明權(quán)之爭，使學生了解定積分的客觀背景以及解決這些實際問題的思想方法.2、 定積分的性質(zhì)在積分論中占有重要地位，在定積分的計算問題和論證問題中經(jīng)常應用它們，對這部分內(nèi)容，要求記住定積分的性質(zhì)，并掌握每個性質(zhì)的證明方法.另外要適當補充一些例題，逐步學會應用定積分的性質(zhì)證明定積分的有關問題.3、 在應用可積準則證明函數(shù)的可積性時，使學生掌握這樣的方法：要證明，需從兩個方面入手，一是，所有小區(qū)間上的振幅都可任意小，例如，連續(xù)