虛功原理及其應(yīng)用

1、編輯ppt對(duì)于理想約束體系對(duì)于理想約束體系 iiirR0 iiiziiyiixzFyFxF0)( W 0 iiirF 受有受有理想約束的理想約束的力學(xué)體系，其平衡的充要條件是此力學(xué)力學(xué)體系，其平衡的充要條件是此力學(xué)體系的體系的所有主動(dòng)力所有主動(dòng)力在在任意虛位移任意虛位移中所作中所作元功之和等于零元功之和等于零 .虛功原理虛功原理: :正是虛位移的引入正是虛位移的引入消去這些約束反力消去這些約束反力優(yōu)點(diǎn)：消去約束反力，可由虛功原理求出主動(dòng)力在優(yōu)點(diǎn)：消去約束反力，可由虛功原理求出主動(dòng)力在平衡時(shí)所滿足的平衡條件。平衡時(shí)所滿足的平衡條件。編輯ppt01 niiiziiyiixzFyFxF)( W 01

2、 iinirF zyx ,不是獨(dú)立的不是獨(dú)立的上式上式如果是獨(dú)立變化的如果是獨(dú)立變化的，則則0 iziyixFFF但是體系受但是體系受 k個(gè)幾何約束個(gè)幾何約束 W 0 iiirF 不好用！不好用！zyx ,編輯pptn個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)體系，受個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)體系，受k個(gè)幾何約束，此體系自個(gè)幾何約束，此體系自由度為由度為 3n-k, 其位形由其位形由 s=3n-k 個(gè)互相獨(dú)立的廣義坐標(biāo)個(gè)互相獨(dú)立的廣義坐標(biāo) qi (i=1,2,s)來(lái)描述，即：來(lái)描述，即：),(tqqqrrsii21 ),(),(),(tqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisii2121213、廣義坐標(biāo)形式下的虛功原理、

3、廣義坐標(biāo)形式下的虛功原理編輯ppt體系的位形可表示為：體系的位形可表示為：),(21tqqqrrsii；虛位移用廣義；虛位移用廣義坐標(biāo)的表示式為：坐標(biāo)的表示式為： skkkissiiiiqqrqqrqqrqqrr12211 代入虛功原理：代入虛功原理：1siikikkrWFqq定義定義 廣義力廣義力： NikiikqrFQ101 ikkiiqqrF )( s1k編輯ppt0kkkWQq對(duì)于完整力學(xué)體系來(lái)說(shuō)，對(duì)于完整力學(xué)體系來(lái)說(shuō)， 由于由于 kq是獨(dú)立變分是獨(dú)立變分(互相獨(dú)立的互相獨(dú)立的)，故，故: ) , , ,( skQk210 說(shuō)明：說(shuō)明： 廣義力廣義力 是廣義坐標(biāo)是廣義坐標(biāo) qk 的函數(shù)

4、的函數(shù) ，由定義得：，由定義得： kQ0qQW可知：可知： 00kQQ0 kQ零矢量。即量都正交的矢量一定是任意的，故和任意矢正交，但由于虛位移是廣義坐標(biāo)下虛功原理的表達(dá)式廣義坐標(biāo)下虛功原理的表達(dá)式 niniiiziiyiixiikqzFqyFqxFqrFQ11)( 平衡條件平衡條件編輯ppt虛功原理是分析力學(xué)的基本原理，僅對(duì)慣性系成立虛功原理是分析力學(xué)的基本原理，僅對(duì)慣性系成立;理想約束理想約束理想約束概念是分析力學(xué)的基本假設(shè)，是從客觀實(shí)踐中抽象理想約束概念是分析力學(xué)的基本假設(shè)，是從客觀實(shí)踐中抽象出來(lái)的。例如光滑約束，剛性約束等都是理想約束。出來(lái)的。例如光滑約束，剛性約束等都是理想約束。此假

5、設(shè)不僅運(yùn)用于靜力學(xué)，對(duì)動(dòng)力學(xué)同樣成立。此假設(shè)不僅運(yùn)用于靜力學(xué)，對(duì)動(dòng)力學(xué)同樣成立。對(duì)于保守力學(xué)系統(tǒng)：對(duì)于保守力學(xué)系統(tǒng)：)(kzVjyVixViii VFii 11NiiiNiiiiiiiWFrVVV(xyz )xyz VVii 編輯ppt如果用廣義坐標(biāo)來(lái)表示如果用廣義坐標(biāo)來(lái)表示 V , 即：即： ),(sqqqVV21 skkkssqqVqqVqqVqqVV12211 0WV 0kkkVWVqq 保守力學(xué)體系平衡條件為：保守力學(xué)體系平衡條件為： 0V 由此得保守體系廣義力：由此得保守體系廣義力：kkVQq 0kkkWQq結(jié) 合 ：編輯ppt虛功原理虛功原理一個(gè)受一個(gè)受理想、定常、完整理想、定常、

6、完整（幾何）（幾何）約束的力學(xué)體系，其平衡的充分必要條件是：約束的力學(xué)體系，其平衡的充分必要條件是：作作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零虛功的和等于零?？偨Y(jié)：總結(jié)：虛功原理表示式：虛功原理表示式： W 0 iiirF 0kkkWQq引用廣義坐標(biāo)和定義廣義力：引用廣義坐標(biāo)和定義廣義力：對(duì)于保守力學(xué)體系：對(duì)于保守力學(xué)體系：0WV 編輯ppt保守力學(xué)系統(tǒng)：保守力學(xué)系統(tǒng)： 0ikiikrQFq ( 1 , 2, , )ks質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件是：質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件是：系統(tǒng)中所有廣義力都等于零。系統(tǒng)中所有廣義力都等于零。 保

7、守力學(xué)系統(tǒng)處于平衡位形的充要條件：保守力學(xué)系統(tǒng)處于平衡位形的充要條件：勢(shì)能函數(shù)對(duì)每個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)都等于零，勢(shì)能函數(shù)對(duì)每個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)都等于零，或者勢(shì)能在平衡位置取駐值?；蛘邉?shì)能在平衡位置取駐值。力學(xué)系統(tǒng)平衡條件力學(xué)系統(tǒng)平衡條件0V 編輯ppt求力學(xué)系統(tǒng)平衡條件下廣義力的幾種方法求力學(xué)系統(tǒng)平衡條件下廣義力的幾種方法a、定義：、定義： ikiikqrFQb、虛功原理：、虛功原理： ikkkiiqQrFW0 c、保守力學(xué)系統(tǒng)：、保守力學(xué)系統(tǒng)： kkqVQ ) , , ,( skQk210 編輯pptxyR例例1:求套在鉛直平面內(nèi)光滑圓環(huán)上、質(zhì)量為求套在鉛直平面內(nèi)光滑圓環(huán)上、質(zhì)量為m的小珠的平

8、衡位置。的小珠的平衡位置。 解：自由度為解：自由度為1，取，取 q方法一：方法一： 主動(dòng)力：主動(dòng)力： yFmg 有用坐標(biāo)：有用坐標(biāo)： sinRy zFyFxFQzyx ikiikqrFQ0 cos mgR 2 編輯ppt方法二：因體系是保守系，取原點(diǎn)勢(shì)能為零，則體系勢(shì)能函數(shù)為方法二：因體系是保守系，取原點(diǎn)勢(shì)能為零，則體系勢(shì)能函數(shù)為： sinmgRmgyV 20 cosmgRVQ編輯ppt應(yīng)用虛功原理求系統(tǒng)平衡條件的解題步驟應(yīng)用虛功原理求系統(tǒng)平衡條件的解題步驟a、明確系統(tǒng)的約束類型，看是否滿足虛功原理所要求的條件；、明確系統(tǒng)的約束類型，看是否滿足虛功原理所要求的條件；b、確定系統(tǒng)的自由度，選取合

9、適的廣義坐標(biāo)，、確定系統(tǒng)的自由度，選取合適的廣義坐標(biāo)， c、建立坐標(biāo)系，分析并圖示系統(tǒng)受到的所有主動(dòng)力；、建立坐標(biāo)系，分析并圖示系統(tǒng)受到的所有主動(dòng)力； 并用廣義坐標(biāo)表示力作用點(diǎn)的并用廣義坐標(biāo)表示力作用點(diǎn)的有用坐標(biāo)，即：有用坐標(biāo)，即：將將 表示為廣表示為廣義坐標(biāo)義坐標(biāo)qk (k=1,2,s) 的函數(shù)，并求出：的函數(shù)，并求出： u 如果求某一約束力如果求某一約束力, ,則可把其劃入主動(dòng)力則可把其劃入主動(dòng)力, ,不再考慮不再考慮這一約束這一約束, ,但其它約束必須是理想約束。但其它約束必須是理想約束。iiizyx,d、應(yīng)用虛功原理列出平衡方程，由廣義力等于零求出平衡條件。應(yīng)用虛功原理列出平衡方程，由

10、廣義力等于零求出平衡條件。ir編輯ppt例例2半徑為半徑為r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均勻的光滑半球形碗，固定在平面上。一均勻棒斜靠在碗緣，一端在碗內(nèi)，一端在碗外，在碗內(nèi)棒斜靠在碗緣，一端在碗內(nèi)，一端在碗外，在碗內(nèi)的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為c，試證棒的全長(zhǎng)為，試證棒的全長(zhǎng)為 ：crc)2(422解：解：1個(gè)自由度個(gè)自由度q 取取設(shè)棒的設(shè)棒的質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)為為:(xD, yD)yxomgr 編輯ppt(/2)sinDycl i0iDiWFrmg y (2 cos/2)sin ( sin2/2sin )(2 cos2cos )2Dyrlrllr 2 coscr 224(2)crlc (2 cos2c

11、os )02lmgr 2 cos2cos2lr Q(2 cos)sin 22 cos2cos20iiikDrQFqlrym gm glryxomgr 編輯ppt例3解解 ：自由度數(shù)為自由度數(shù)為1 qsinsin21rlrx120sinsin232xrlrxcos2coscoscos321rarlyrlyrly編輯pptsin2sinsinsin321rrlyrlyrly重力是主動(dòng)力重力是主動(dòng)力由虛功原理由虛功原理: 01iniirF0sin2sinsinsin0332211rrlrlrlyPyPyP 12編輯ppt因因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須有：在約束條件下是任意的，要使上式成

12、立，必須有：0sin2sin3rrlsin3sin2rlr又由又由 coscos21rlrx得得： coscos2rlr由由可得：可得：tan3tansinsin21rlrx編輯ppt例例4 4：如下圖示，已知：如下圖示，已知P P、l l，求：輕桿所受的力？，求：輕桿所受的力？解：自由度為解：自由度為1 1，廣義坐標(biāo)取為，廣義坐標(biāo)取為 , ,體系所受體系所受主動(dòng)力如圖所示，有用坐標(biāo)為：主動(dòng)力如圖所示，有用坐標(biāo)為：sinDxl cosEyl xyBDCA 4PETD iiirF W由虛功原理：由虛功原理：sinBxl 40BDET xT xP y 編輯ppt40BDET xT xP y cos

13、Bxl coscos4sin0TlTlpl cosDxl sinEyl 2Tptg (2cos4sin)0Tlpl 編輯pptsinDxl cosEyl sincoscoscos)sin(PlTlTlTllPxTxTyPrFQBDEinii42441 由廣義坐標(biāo)表示的虛功原理可知，由廣義坐標(biāo)表示的虛功原理可知，體系平衡條件為：廣義力為零體系平衡條件為：廣義力為零. .所以：所以：2Tptg 由定義求：廣義力由定義求：廣義力sinBxl 編輯ppt解：解：兩個(gè)自由度兩個(gè)自由度21qqyx o12ABFp1p21111（x ,yx ,y ）2 22 2（x x , ,y y ）3 33 3（x x

14、 , ,y y ）編輯ppt112123121sin21sinsin2coscosxlxllyll 111cos2xl 2121coscos2xll 312sinsinyll yx o12ABFp1p21111（x ,yx ,y ）2 22 2（x x , ,y y ）3 33 3（x x , ,y y ）編輯ppt112 112 2211coscossincossin022PlPlF lPlF l 122222PPtgFPtgF 廣義力廣義力Q1廣義力廣義力Q2由虛功原理由虛功原理112230P xP xF y編輯ppt應(yīng)用虛功原理求系統(tǒng)平衡條件的解題步驟應(yīng)用虛功原理求系統(tǒng)平衡條件的解題步驟

15、a、明確系統(tǒng)的約束類型，看是否滿足虛功原理所要求的條件；、明確系統(tǒng)的約束類型，看是否滿足虛功原理所要求的條件；b、確定系統(tǒng)的自由度，選取合適的廣義坐標(biāo)，、確定系統(tǒng)的自由度，選取合適的廣義坐標(biāo)， c、建立坐標(biāo)系，分析并圖示系統(tǒng)受到的所有主動(dòng)力；、建立坐標(biāo)系，分析并圖示系統(tǒng)受到的所有主動(dòng)力； 并用廣義坐標(biāo)表示力作用點(diǎn)的并用廣義坐標(biāo)表示力作用點(diǎn)的有用坐標(biāo)，即：有用坐標(biāo)，即：將將 表示為廣表示為廣義坐標(biāo)義坐標(biāo)qk (k=1,2,s) 的函數(shù)，并求出：的函數(shù)，并求出： u 如果求某一約束力如果求某一約束力, ,則可把其劃入主動(dòng)力則可把其劃入主動(dòng)力, ,不再考慮不再考慮這一約束這一約束, ,但其它約束必須

16、是理想約束。但其它約束必須是理想約束。iiizyx,d、應(yīng)用虛功原理列出平衡方程，由廣義力等于零求出平衡條件。應(yīng)用虛功原理列出平衡方程，由廣義力等于零求出平衡條件。ir編輯ppt例例5:5: 圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu),連桿連桿A、B長(zhǎng)為長(zhǎng)為l,，桿重和摩擦力不計(jì)，試，桿重和摩擦力不計(jì)，試求求:在圖示位置平衡時(shí)主動(dòng)力在圖示位置平衡時(shí)主動(dòng)力FA和和FB之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。coslxBlsinyA0BBAAxFyF解：解：sinlxBlcosyA xyO BFAF rB rAtan:BAFF則編輯ppt例例6:6:已知各桿長(zhǎng)均為已知各桿長(zhǎng)均為L(zhǎng) L，重為，重為W W , ,試求維持平衡所需力

17、試求維持平衡所需力F F 的大小的大小? ?0)(iiyiixyFxF0)cos4sin4(FLWL解：解：0不不計(jì)計(jì)摩摩擦擦W2W2W2W2Fxy12345tanWF 自由度：1,cos24321Lyyyysin21Lysin45Lx cos45Lx 5142xFyWQ或廣義力平衡條件：n1ijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ0cos4sin4FLWLtanWF 選為廣義坐標(biāo)編輯ppt例例7 7、圖示平面緩沖機(jī)構(gòu)圖示平面緩沖機(jī)構(gòu), ,各桿的重量和摩擦不記各桿的重量和摩擦不記, ,彈簧彈簧原長(zhǎng)為原長(zhǎng)為l, ,剛性系數(shù)為剛性系數(shù)為k. .求求: :平衡的位置平衡的位置解：解：,)sin2(21)cos2(2lkhlPV,V0 , 0sincos4sin22klPl, 0, 0sin1,2