柯西中值定理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§2 柯西中值定理和不等式極限一  柯西中值定理 定理(6.5) 設 、滿足(i)  在區(qū)間 上連續(xù)，(ii) 在 內(nèi)可導(iii)  不同時為零;(iv)  則至少存在一點  使得                            

2、60;   柯西中值定理的幾何意義  曲線 由參數(shù)方程     給出，除端點外處處有不垂直于 軸的切線，則 上存在一點 P處的切線平行于割線 .。   注意曲線 AB在點 處的切線的斜率為 ，  而弦  的斜率為 .     受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下：由于，   類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù)        &

3、#160;              容易驗證 滿足羅爾定理的條件且 根據(jù)羅爾定理，至少有一點    使得   ，即 由此得注2：在柯西中值定理中，取 ，則公式（3）可寫成 這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，則 .  這恰恰是.注3:設 在區(qū)間 I上連續(xù)，則 在區(qū)間 I上為常數(shù) ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點：由拉格朗日中值定理知：滿足定理條件的曲線上任意兩點的弦，必

4、與兩點間某點的切線平行?？梢杂眠@種幾何解釋進行思考解題：    例1：設 在 （a ，b） 可導，且在 a，b 上嚴格遞增，若，則對一切有 。證明：記A（），對任意的x，記C（），作弦線AB，BC，應用拉格朗日中值定理，使得分別等于AC，BC弦的斜率，但因嚴格遞增，所以，從而注意到，移項即得， 2、利用其有限增量公式要點：借助于不同的輔助函數(shù)，可由有限增量公式進行思考解題：例2：設上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有二階導數(shù)，試證存在使得證：上式左端作輔助函數(shù)則上式= ，=，其中 3、作為函數(shù)的變形要點：若在a，b上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可微，則在a，b上 &

5、#160; （介于與之間）此可視為函數(shù)的一種變形，它給出了函數(shù)與導數(shù)的一種關系，我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)。例3  設在上可導，并設有實數(shù)A0，使得在上成立，試證證明 ：在0，上連續(xù)，故存在 使得 =M于是  M=A。故 M=0，在0， 上恒為0。用數(shù)學歸納法，可證在一切（ i=1,2,）上恒有=0, 所以=0, 。 利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性 1.  證明中值點的存在性:   例 1  設函數(shù)在區(qū)間  上連續(xù),  在  內(nèi)可導,  則 , 使得.證  在

6、Cauchy中值定理中取 .例2  設函數(shù)在區(qū)間  上連續(xù), 在  內(nèi)可導, 且有.試證明:  .2. 證明恒等式:  例3  證明: 對,  有 .例4  設函數(shù)和可導且又  則 .證明 . 例5   設對,  有 ,  其中是正常數(shù). 則函數(shù)是常值函數(shù).      (證明  ). 3. 證明不等式:  例6 證明不

7、等式:  時,  .例7 證明不等式:  對，有.4.  證明方程根的存在性:  證明方程  在  內(nèi)有實根.例8 證明方程  在  內(nèi)有實根. 四 、小結本節(jié)課重點是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點是用輔助函數(shù)解決問題的方法。1°  拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來我們要學習的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導數(shù)的橋梁，是數(shù)學分

8、析的重要定理之一。2°  構造輔助函數(shù)法是應用微分中值定理的基本方法。實際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問題的一種重要手段，通過巧妙地數(shù)學變換，將一般問題化為特殊問題，將復雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數(shù)學分析的重要而常用的數(shù)學思維的體現(xiàn)。關于如何恰當?shù)貥嬙旌瓦x用輔助函數(shù)問題，請同學們結合第三部分的題目仔細體會總結。 二   不定式的極限 一.   型:定理 6.6  (Hospital法則 )  若函數(shù) 和滿足：(i)   (ii)   在點 的某空心鄰域內(nèi)而這可導，

9、且；(iii)  可為實數(shù)，也可為 ）則   ( 證 )     注意: 若將定理中的x 換成 ，只要相應地求證條件(ii)中的鄰域，也可以得到同樣的結論。例1   例2  .例3  .   ( 作代換 或利用等價無窮小代換直接計算. )例4  .   ( Hospital法則失效的例 ) 二.   型不定式 極限:定理 6.7  (Hospital法則 )  若函數(shù)

10、 和滿足：(i)   (ii)   在點 的某右鄰域內(nèi)二這可導，且；(iii)  可為實數(shù)，也可為 ）則     例5   .例6   . 註:   關于 當 時的階. x=5:0.1:50; y1=log(x); y2=x.(1/2); plot(x,y1,'b',x,y2,'m')       

11、0;    右圖看出    高于  clf, x=1:0.1:5; y1=exp(x); y2=x.2;plot(x,y1,'b',x,y2,'m)  右圖看出    高于                            注意1     不存在，并不能說明     不存在（為什么？）注意2  不能對任何比式極限都按洛必達法則來求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達法則條件例  求極限     .   ( Hospital法則失效的例 )三.  其他待定型:  .前四個是冪指型的.例7