構(gòu)造對(duì)偶式的八種途徑

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上構(gòu)造對(duì)偶式的八種途徑在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中,合理地構(gòu)造形式相似，具有某種對(duì)稱關(guān)系的一對(duì)對(duì)偶關(guān)系式，并通過(guò)對(duì)這對(duì)對(duì)偶關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?差,積等運(yùn)算，往往能使問(wèn)題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果。一 和差對(duì)偶對(duì)于表達(dá)式，我們可構(gòu)造表達(dá)式作為它的對(duì)偶關(guān)系式。例若，且，求的值。解析：構(gòu)造對(duì)偶式：則得再由，得：。點(diǎn)評(píng)：這種構(gòu)造對(duì)偶式的方法靈巧，富有創(chuàng)意，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力。例已知：，且，求證：。解：則有：又，故，即原不等式成立。例解方程：解：構(gòu)造對(duì)偶式：，再由原方程聯(lián)立可解得：那么得：得：，即，代入（）中得：，整理得：，解得：。二 互倒對(duì)偶互倒對(duì)偶是指針對(duì)式子的結(jié)

2、構(gòu)，通過(guò)對(duì)式中的某些元素取倒數(shù)來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例若，求證：。解：設(shè),構(gòu)造對(duì)偶式：，則而，故，即。例設(shè)為互不相等的正整數(shù)，求證：。解：設(shè)，構(gòu)造對(duì)偶式：則又為互不相等的正整數(shù)，所以，因此。點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)巧妙構(gòu)思，對(duì)其構(gòu)造了“意料之中”的對(duì)偶式，化新為舊，等價(jià)轉(zhuǎn)化，完成對(duì)難點(diǎn)的突破，以達(dá)化解問(wèn)題這目的。例已知對(duì)任意總有，求函數(shù)的解析式。解析：因用替代上式中的，構(gòu)造對(duì)偶式：由得：故。三 共軛對(duì)偶共軛對(duì)偶是反映利用共軛根式或共軛復(fù)數(shù)來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例已知，解方程：。解析：由構(gòu)造對(duì)偶式：由得，代入得，故或。例若，已知且，證明：為純虛數(shù)。解：設(shè)，則，構(gòu)造對(duì)偶式：則（因?yàn)椋┯郑ㄒ驗(yàn)椋榧兲摂?shù)。例已知：，

3、且，求證：。證明：設(shè)，構(gòu)造對(duì)偶式：，即原不等式成立。四 倒序?qū)ε嫉剐驅(qū)ε际侵羔槍?duì)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)和式或積式進(jìn)行倒序構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例求和：解析：觀察和式聯(lián)想到，故首先在和式右邊添上一項(xiàng)，則構(gòu)造對(duì)偶式：即亦為：由得：點(diǎn)評(píng)：利用現(xiàn)成的對(duì)偶式，使問(wèn)題本身變得簡(jiǎn)單，便易，如此處理，可謂“勝似閑庭信步”，豈不妙哉！例正項(xiàng)等比數(shù)列中，試用，表示。解析：傳統(tǒng)解法都用表示，及，然后通過(guò)和找到，的等量關(guān)系，這種解法雖思路正確，但運(yùn)算繁瑣，加之在用等比數(shù)列求和公式時(shí)還要討論和兩種情形，如此解題會(huì)陷入漫漫無(wú)期的運(yùn)算之中，很少有人能夠到達(dá)終點(diǎn)。其實(shí)，觀察和式子與積式特征不妨采取“本末倒置”構(gòu)造倒序?qū)ε夹蚴揭辉嚒Ｓ深}

4、意知：構(gòu)造倒序?qū)ε际剑河傻茫海丛賮?lái)看：構(gòu)造倒序?qū)ε际剑杭吹茫?，即。由等比?shù)列性質(zhì)可知，右邊的分母均為，故即，又。五 定值對(duì)偶定值對(duì)偶是指能利用和，差，積，商等運(yùn)算產(chǎn)生定值，并借此構(gòu)造出對(duì)偶式的方法。例已知函數(shù)。，則。解析：發(fā)現(xiàn)定值：。那么構(gòu)造對(duì)偶式：由得：，即。六 奇偶數(shù)對(duì)偶奇偶數(shù)對(duì)偶指利用整數(shù)的分類中奇數(shù)與偶數(shù)的對(duì)稱性構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例求證：。解：設(shè)，構(gòu)造對(duì)偶式：。由于因此，從而故。例求證：證明：待證不等式的左邊為：。令：構(gòu)造兩個(gè)對(duì)偶式：故原不等式成立。七 輪換對(duì)偶輪換對(duì)偶是指針對(duì)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)輪換字母而構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有不等式成立。證明：設(shè)構(gòu)造對(duì)偶式，則，即而，即。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。例設(shè)，求證：。證明：設(shè)，構(gòu)造對(duì)偶式：，。又，即，。八 互余對(duì)偶三角中的正弦與余弦是兩個(gè)對(duì)稱元素，利用互余函數(shù)構(gòu)造對(duì)偶式，借用配對(duì)思想可以輕松完成有關(guān)三角題的解答。例已知，解方程：解析：若令，構(gòu)造對(duì)偶式：則：由得：，又或或。例求的值。解析：令，構(gòu)造對(duì)偶式：，則點(diǎn)評(píng)：這是一道比較典型的三角求值題。通過(guò)對(duì)題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，由目標(biāo)導(dǎo)向，構(gòu)造對(duì)偶式，從而獨(dú)辟蹊徑，出奇制勝。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，如果我們恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造對(duì)偶關(guān)系式，不僅能提高解題速度，而且能收到以簡(jiǎn)馭