移動界面流速的求解.docx

1、第6卷第2期1995年6月Vol.6*No-2Jun.t1995水科學進展ADVANCESINWATERSCIENCE移動界面流速的求解呂賢弼(清華大學水利水電工程系北京/OOOB4)提9提出了基于Shwarzhriscoffel變換求解含水層成淡水移動界面流速的方法,其基本步彝為：(1)將流動平面n的淡水區(qū)和成水區(qū)分別映射為輔助平面"和的上半部分,(2)利用勺和平面與復勢平面和”.的映射關系并引入某些幾何參數(shù)，建立關于復勢多邊形邊長比方程則問題歸結(jié)為這些參數(shù)的求解'<3)建立關于邊界條件的方程,其中包括淡水入流條件和物質(zhì)面條件I(4)聯(lián)立求解這些方程并求解界面流速這一

2、方法與一般數(shù)值方法的區(qū)別主要是直接求解流速，不需要將流動區(qū)域離散化，因而誤差較小.算例表明這神方法是可行的.美姓調(diào)地卜水卷建Schwarz-Christoffel變換分類號P64K2'引言濱海含水層的咸淡水突變界面模型經(jīng)常應用于研究和模擬海水入侵現(xiàn)象曰,這類模型長期以來一直是一個研究的焦點。近年來,沿移動界面的流速分布開始受到注意，它對于分析界面移動及咸淡水流量動態(tài)分布特征很有意義°本文應用Schwarz-Christoffel變換原理及非線性方程組求解方法，首先求解淡水流動區(qū)和咸水流動區(qū)的物理平面至相應兩個輔助平面的映射.在此基礎上建立輔助平面與復勢平面的映射關系并利用界面

3、為物質(zhì)面等條件，直接求解界面的流速。這一方法基本上是解析法.因而相對將連續(xù)場離散化的數(shù)值法有較好的求解精度。圖I(Q流動平面zFig-.(a)Flowplanez(b)界面(b)Interface2基本方程討論如圖1所示垂直剖面二維流動情形,AJSDEE為淡水區(qū),BCD為咸水區(qū),8。為成淡水界面處于移動過程中的某一狀態(tài)。滲流的基本方程是淡水區(qū)7初=0,V2/=0(1)咸水區(qū)W=o,VV-=o(2)收稿日期：1994617普國家自然科學基金資助論文。2期呂賢，移動界面流速的求解95其中，物=一丁+/>./S，g),侈=一】+力,/(p.g)，為滲流的勢函數(shù)，pf，為流函數(shù)；A，/>.

4、為壓強g為重力加速度；下標八s分別表示淡水區(qū)和咸水區(qū)所屬的量。邊界條件為沿召Q(mào)飽r=0；沿化4吻=s/K沿EF的=(1y/AOgo/K；沿A8啊=】(P./Pr1)(3)沿況歸=0,沿CQ飽=。I沿界面BD啊=pJpfyCp,/p/1)(4)壽3V)=0其中如為淡水入流單位寬度流量，K為滲透系數(shù)，M為含水層厚度，"為界面縱坐標。3物理平面與輔助平面映射關系的確定作為問題求解的第一步，選擇分和心(圖2(a)和圖3(a)作為輔助平面，首先建立之平面淡水區(qū)和成水區(qū)分別與。和t.平面的映射關系。(a)n*幻.1D6,(；/GwBE圖2淡水區(qū)(a)輔助平面"(b)復勢平面粉圖3咸水區(qū)

5、(a>輔助平血LU)復勢平面站Fig.2.Freshwaterregion(a)Auxiliaryplane。Fig.3，Saltwaterregion(a)Auxiliaryplanet,(b)Complexpotentialplane妙/(b)Complexpotentialplanea先討論z平面淡水區(qū)至。平面的映射以折線8GG?逼近界面HD，如圖1(5),應用Schwarz-Christoffel變換將淡水區(qū)ABGGG.DEP映射為tf的上半平面，z=MuKnd/+NI】(6)Jo其中(f0,g,g.).(7)=0(/-d)匕aiUQ_g.)匕W-JIMeNn為待定常數(shù).NB,N

6、D和NG為淡水區(qū)(多邊形)內(nèi)角",d和&為B.Q和G,在。平面上的映射點，是待定參數(shù)m為G,的數(shù)目。據(jù)保角變換原理，Z平面多邊形邊長比A應滿足(8)JJJi.i=23次+3其中J*=I4是已知的.=XfGjFA、兀uGlG/FA,式（8）是非線性方程組，應用線性化方法求解，（誓f）時+去（若等）冶叮+哈f券心=。醉+1=gV出I=gfigf，61=必+'-dKJ*=I4是已知的.=XfGjFA、兀uGlG/FA,式（8）是非線性方程組，應用線性化方法求解，（誓f）時+去（若等）冶叮+哈f券心=。醉+1=gV出I=gfigf，61=必+'-dK其中IJFn<

7、;it|，1+a=G.DjFA。J=1點，E(10)(11)上標K為迭代次數(shù)。1,2,(10)1以給定待求參數(shù)如d.g.,1=1,2,>m的初始（K=0）試探值求解式所求結(jié)果為下一次迭代的試探值，如此迭代循環(huán)直至求得滿足某一收斂要求的結(jié)果。參數(shù)Ad,g,確定后，根據(jù)之平面與打平面已知點的映射關系，利用式（6）可求得和Nn°應用類似方法將z平面的咸水區(qū)BCD映射為辦平面的上半部分.映射關系式為：(12)(13)zAfzljFmdf+N2l其中b=也1(，幻，g.)=+l)f"Sy-1)5T立(t一g,W”】«1待定常數(shù)AG.Ng】及gi=L2,m,同理可求4輔

8、助平面。和。與復勢平面映射關系的確定淡水區(qū)和咸水區(qū)映射在復勢平面"=啊+卻7和3,=站沖,上的圖形假定如圖2（b）和圖3（b）所示,其中BC仍以折線近似，形狀待定。為了便于確定折線的形狀和位置，引入如下幾何參數(shù)：3=1，2,，m+3一紡平面上A至。各線段長度；%、i2,m+3Z,與橫軸夾角；玷=1，2,，血+1平面上5至。各線段長度；S1=1+2，帆+15與橫軸夾角.其中，/】可以由代及物（已知邊界條件）求得j+3=0。所以待定的參數(shù)總計為4m+6個。據(jù)SchwarzChristoffel變換，應有叫平面與tf平面映射關系：%=M”Flzdt+N12（14）=產(chǎn)一1)一。5%-】愆b

9、)一Qd)-j，,n(t-g/)T氣x-vm)/(is)M*,Mz為待定常數(shù)木b,d,備為據(jù)式(10)求得的參數(shù)。>皿平面與&平面映射關系：其中=%0用，耕=+Ng，Bn*，S?，十)(16)=(，+1)一小匹0，7危一1)一es+牛氣口Q-幻)肱”N”為待定常數(shù)，£,平面上的島是已求得鬲參數(shù)°只有當式(14),(16)中所含的待定參數(shù)分和s求得后，"和擊與"和皿平面間的映射關系才能完全確定。4.14平面邊長比關系式如式(8),可建立(17)其中J=U-!F2dr|*3=IJjrffdtIJ?=+3J；=I“dfI(18)/=2.3,<

10、;/£+3=IJ尸12山|FA=S-44,2據(jù)淡水入流邊界條件建立的關系式淡水入流單寬流量如已知，據(jù)式(3),應有E+2SAsina.=q°/Krl(19)43g平面邊長比關系式如4-1節(jié)中，同理可建立</；(20)ro其中44界面上的壓強相等關系式據(jù)式(4),咸水區(qū)和淡水區(qū)在界面同一點上的壓強相等，因而有、/COSE=工云£COsRr1P/rLk=2.m%<COS=令豆色亍女無切印篇Pf其中yck*，。為z平面上G#,A=l2.45關于界面是物質(zhì)面的關系式據(jù)式(5)所表示的界面是物質(zhì)面的性質(zhì).可知咸水區(qū)和淡水區(qū)在界面同一點上./和D點的縱坐標.為已知

11、量。(21)沿界面淺線方向的分速應相等,因而有i=1+1(22)（wsin+區(qū)cosQ）/龍.=（sin。+其中。，為Z平面上相應線段與橫軸的夾角,如圖10力吟為"的分速,上標，和S表示淡水區(qū)和成水區(qū)J上為界面處有效孔隙率."可進一步表示為(23)(23)4=3!«=I.X女，=RE,Y=以復變量表示的合成流速/和"'則按下式導出（/過為無量綱形式，即表示為滲透速度與滲透系數(shù)的比）(24)<25)(24)<25)df/dz=33f/d，）i（dz/d，）（,MU/Mn）_dJdz=一其中尸“/Mi和七/M.可以式（7）,（13）,（1

12、5）、（17）代入具有較簡單的形式Flt/En=n/w'（r&）*廠</）一，廠£6/】n(/(26)H（/-因此，式（22最終可&表示為以待定參數(shù)為變量的關系式.關系式（18）（22）共含有（4質(zhì)+6）個方程，因此可求解同樣數(shù)目的待定參數(shù)£和“這樣，輔助平面與復勢平面的映射關系式（14）,（16）也就完全確定.從而界面的流速可由式（24）.（25）求得。對于式（18）至（22）表示的非線性方程組,本文采用可變多面體法求解,待求參數(shù)的初始試探值應用移動界面的簡化一維解析解四給出。設有類似于圖1流動圖形。淡水入流單位寬度流量（無量綱形式表示）為q

13、。/（KM）=0.90j流動區(qū)包括界面各邊界點的坐標（表示為含水層厚度M的倍數(shù)）如表1.其中界面BD為在移動過程中某一時刻的位置，以9個線段的折線近似，加=8。求沿界面曲的流速分布.首先應用式（10）求解z平面至輔助平面的映射關系。應用式（18）式（22）求解。和，平面至,/和他的映射關系，共有4皿+6=38個方程聯(lián)解。表2表示的是沿BD界面由8至D每一線段中點的淡水區(qū)分速和咸水區(qū)分速心，u；（，=1,2.9）.同時也表示了各相應線段的法向分速，將淡水區(qū)和成水區(qū)的計算值同時列出.兩者相差不大以上流速均為無量綱值,表示為滲透系數(shù)K的倍數(shù).由表2可以看出，雖然水平分速吼相對于垂向分速您>心占

14、優(yōu)勢,但是后者不再是可以忽略的了£/$可達到5.8的比值.2期呂賢弼：移動界面流速的求解99TableL表1Z平面多邊形頂點的坐標Coordinatesofpolygonvertexintheplanez頂點ABCDEFGiGzdGiG5GeG72221001.891-781-671-561.441-331-221-11y00.211100.330.470.580.670-750.820.880.94表2界面流速求解結(jié)果Table2,SolutionofJhevelocityintheinterface編號123456789O.9S70.8300-890D.8盼0.8820-8980

15、.8750.8790.8786.47X10-3-0.1410.11&0.1530-1110.1200.0530.0478.52H1QT0.8810-8640.8620一8S90.8640.8450-8740.8490、861Tw0.089-0.1170-1300.126o.m一0.0920.062-0.0237.54X1"0.401e.3900.490。.瑚0.5000.4370.7000.5970-7400.4010.3380.4&60.3790.6060.4400.637。5990.734Cl）本文所提出方法的基本依據(jù)是Schwarz-Christoffel變換。

16、基本步驟是：建立z平面淡水區(qū)和咸水區(qū)與輔助平面捉和tr的映射關系；建立tf和t.平面與復勢平面3/和a的映射關系.這是一個已知上半平面與未知多邊形形狀映射關系確定的問題。（2）為了確定復勢平面上與成淡水界面相應的折線形狀,引入線段水平傾角和線段長度作為待定參數(shù)。因此，問題歸結(jié)為這些待定參數(shù)的求解。聯(lián)解方程通過邊長比關系.邊界入流條件，界面的壓強相等條件和物質(zhì)面條件而建立。（3）本文所提出的方法與滲流的一般數(shù)值方法的區(qū)別主要是：對求解域不必作離散化處理，不需要通過水頭的差商就可直接求解流速。參考文獻1呂賢弼.咸淡水界面動態(tài)變化的研究.水科學進腰.1991,2?32-41LueXianbietaL

17、SimulationofseawaterintrusioninDaXiaoLingRiverFan.theXXV1AHRCongressProcedangs-Tokyo.Sept.1993：32。3272 JRChanHongetal-theinterfacebetweenfreshandsaltgroundwatersanumericalstudy。TheGroundwaterNumericalSimulationSymposium.Beijing,19883 JBear.Dynamicsoffluidsinporousmedia.AmericanElsevierPublCo1972：563

18、569SolutionofVelocityatMovingInterfacesbetweenFresh-andSalt-WaterinAquifersLueXianbi.DepartmentofHydraulicEngineeringsTainghuaUniversityBeijing100084)Abstract；AmethodbasedontheSchwarz-Christoffcltrans-formationisdevelopedforthesolutionofvelocityatmovinginterfacesbetweenfresh-andsalt-waterinaquifers.

19、Itinvolvesthefollowingprimarysteps:(1)Mapthegivenfresh-andsaltwaterregionsofthe(lowplaneZontotheupperhalvesofauxiliaryplanes/andrespectively.<2)Useamappingbetweentheplanes/and匚andthecomplexpotentialplanes3/andatosetupequationsfortheside-lengthrationsofcomplexpotentialpolygonscontainingsomegeometricparameters,sothattheproblembecomesoneofsolutionfortheparameters-(3)Setupequationsforboundaryconditionsincludingthoseoffresh-waterinfluxandmaterialinterface-(4)SolvethecoupledequationsforthevelocityatinterfacesAmaindistinctionbetweenthemethod