利用三角形全等解決實(shí)際問題(一)

1、無利用三角形全等解決實(shí)際問題（一）利用三角形全等解決實(shí)際問題（一）測(cè)量距離測(cè)量距離執(zhí)教：上海市清流中學(xué) 孫靜賢一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能、知識(shí)與技能（1） 進(jìn)一步鞏固和理解全等三角形的性質(zhì)與判定。（2） 能利用三角形全等解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系。2、過程能力與方法、過程能力與方法（1） 在解決實(shí)際問題的過程中， 或與同伴交流的過程中發(fā)展有條理地思考與表達(dá)的能力。（2） 通過引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的探求過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和合作能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心。3、態(tài)度與價(jià)值觀、態(tài)度與價(jià)值觀（1） 通過生動(dòng)、有趣、現(xiàn)實(shí)的例子來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。（

2、2） 通過對(duì)問題的探索、思考、討論，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與科學(xué)態(tài)度。（3） 通過課內(nèi)的活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。二、教學(xué)重點(diǎn)二、教學(xué)重點(diǎn)與與教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)：利用三角形全等來測(cè)量距離。2、教學(xué)難點(diǎn)：如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)建模） 。三、教學(xué)過程三、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)全等三角形的性質(zhì)及判定條件。請(qǐng)學(xué)生回答，并板書。思考后， 舉手回答問題。創(chuàng)設(shè)情景引入新課情境一情境一在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望，為了炸掉這個(gè)碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地距離，在不能過河測(cè)量又沒有任何測(cè)量工具的情況下，一個(gè)戰(zhàn)士想出來這樣一個(gè)辦法，他面

3、向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部，然后，他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在了自顯示并講述此故事后， 提出如下問題：（1）按這個(gè)戰(zhàn)士的方法，找出教室中與你距離相等的兩個(gè)點(diǎn)，并通過測(cè)量加以驗(yàn)證。1、 對(duì) 這 個(gè) 戰(zhàn) 士的方法進(jìn)行實(shí)踐驗(yàn)證。無教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)創(chuàng)設(shè)情景引入新課己所在岸的某一點(diǎn)上，接著他用步測(cè)的辦法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他民碉堡間的距離。情境二情境二課間，小明和小聰在操場(chǎng)上突然爭論起來。他們都說自己比對(duì)方長得高，這時(shí)數(shù)學(xué)老師走過來，笑著對(duì)他們說：“你們不用爭了，其實(shí)你們一樣高，瞧瞧地上，你倆的影子一樣長！”，你知道數(shù)

4、學(xué)老師為什么能從他們的影長相等就斷定它們的身高相同？你能運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)說明一下其中的道理嗎？（假定太陽光線是平行的）（2）你能理解其中的道理嗎？（3）解釋戰(zhàn)士采用的方法的數(shù)學(xué)道理。（4）引導(dǎo)學(xué)生用全等的方法解釋戰(zhàn)士所采用的方法的數(shù)學(xué)依據(jù)。（5）2、 學(xué)生分組討論，解釋其中的道理。分組討論探索研究想一想如圖，A、B 兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端， 小明想用繩子測(cè)量A、B 間的距離，但繩子不夠長，一個(gè)叔叔幫他出了這樣一個(gè)主意，先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的C點(diǎn)， 連接 AC 并延長到 D， 使 CD=AC，連接 BC 并延長到 E，使 CE=BC，連接 DE，并測(cè)量出它的長度，DE

5、 的長度就是 A、B 間的距離。提出問題 1 和問題2 并鼓勵(lì)學(xué)生積極探索、討論，找出解決問題的方案.并根據(jù)學(xué)生的討論情況作一定的提示.1、學(xué)生先分組討論，通過合作、探究交流后， 小組代表發(fā)言， 用自己語言說明道理.2、 在教師引導(dǎo)下，積極探索解決問題1和問題2的方案， 并能從多個(gè)角度進(jìn)行思考， 盡可能多的給出不同的方法.附：問題 1 參考圖：ABCED無教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)應(yīng)用與鞏固練一練練一練1.如圖要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B 的距離，先在 AB 的垂線BF 上取兩點(diǎn) C、D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂線 DE， 可以證明EDCABC，得 ED=AB，因此，測(cè)得 ED

6、 的長就是 AB 的長 判定EDCABC 的理由是()A、SSSB、ASAC、AASD、SAS2.如圖所示小明設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑 AB 的卡鉗，問：在卡鉗的設(shè)計(jì)中， 要使 DC=AB，AO、BO、CO、DO 應(yīng)滿足下列的哪個(gè)條件？（）A、AO=COB、BO=DOC、AC=BDD、AO=CO 且 BO=DO做一做做一做1如圖是掛在墻上的一面大鏡子，上面有兩點(diǎn) A、 B。 小麗想知道 A、B 兩點(diǎn)之間的距離，但鏡子掛得太高，無法直接測(cè)量，旁邊又沒有梯子，只有一根長度比圓的直徑稍長點(diǎn)的竹竿和一把卷尺。小麗做了如下操作：在她夠的著的圓上找到一點(diǎn) C ， 接下去小麗卻忘了應(yīng)該怎么做？你能幫助她完成嗎？

7、學(xué)生舉牌回答選擇題，可分組討論，教師巡視學(xué)生完成情況，并對(duì)個(gè)別掌握情況較差的學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)輔導(dǎo)。附：練一練 3 參考圖：1、 問2、 學(xué) 生 舉 牌 回答選擇題，3、4、 1 較直觀，學(xué)生獨(dú)立思考完成；2、對(duì)問題 2，學(xué)生分小組討論或獨(dú)立思考， 設(shè)計(jì)解決方案， 寫出解題過程， 并舉手用自己的語言敘述出來.FEBACDABC無教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)應(yīng)用與鞏固2圖，要計(jì)算這個(gè)花瓶的容積，需要測(cè)量其內(nèi)直徑， 由于瓶頸較小，無法直接測(cè)量，你能想出一種測(cè)量方案嗎？3某城市搞亮化工程，如圖，在甲樓底部、乙樓頂部分別安裝一盞射燈.已知 A 燈恰好照到 B 燈，B燈恰好照到甲樓的頂部，如果兩盞燈的光線

8、與水平線的夾角相等，那么能否說甲樓的高度是乙樓的 2 倍？說說你的看法。4把線段 AB 延長到 C 使 BC=AB，這個(gè) C 點(diǎn)如何確定？如果用直尺和圓規(guī)畫圖是很容易找到 C 點(diǎn)的.現(xiàn)在小亮手中只有圓規(guī)，沒有直尺，并且也不準(zhǔn)用其它東西代替直尺，怎樣在 AB 延長線方向上找一點(diǎn) C， 使 BC=AB？小亮忙了半天也沒有解決，你能幫他想一想，該怎么作？練一練1、 要測(cè)量河岸相對(duì)的兩點(diǎn) A、B 的距離，先在 AB 的垂線 BF 上取兩點(diǎn)C、D，使 CDBC，再定出 BF 的垂線 DE，使 A、C、E 在一條直線上，測(cè)得DE的長就是AB的長， 為什么？學(xué)生舉牌回答選擇題，可分組討論，教師巡視學(xué)生完成情

9、況，并對(duì)個(gè)別掌握情況較差的學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)輔導(dǎo)。附：練一練 1 參考圖：練一練 2 參考圖：練一練 3 參考圖：5、 問6、 學(xué) 生 舉 牌 回答選擇題，7、8、 1 較直觀，學(xué)生獨(dú)立思考完成；2、對(duì)問題 2，學(xué)生分小組討論或獨(dú)立思考， 設(shè)計(jì)解決方案， 寫出解題過程， 并舉手用自己的語言敘述出來.FEBACDABC無2、 如圖，有一湖的湖岸在 A、B 之間呈一段圓弧狀，A、B 間的距離不能直接測(cè)得，你能用已學(xué)過的知識(shí)或方法設(shè)計(jì)測(cè)量方案，求出 A、B 間的距離嗎？問題 2如圖，要計(jì)算一個(gè)圓柱形容器的容積， 需要測(cè)量其內(nèi)徑. 由于瓶頸較小，無法直接測(cè)量，你能想出一種測(cè)量方案嗎？學(xué)生可分組討論，教師巡視

10、學(xué)生完成情況，并對(duì)個(gè)別掌握情況較差的學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)輔導(dǎo).附： 問題 2 參考圖：BA無課堂小結(jié)1、 本節(jié)課我們主要利用了三角形全等解決了一些與測(cè)量距離有關(guān)的實(shí)際問題，從中知道了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系.我們要善于利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法解決身邊的實(shí)際問題.2、本節(jié)課，我們?cè)诮鉀Q問題的過程中，主要采用了哪些方案使不能直接測(cè)量的物體間的距離轉(zhuǎn)化為可以測(cè)量的. 體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化思想.引導(dǎo)學(xué)生一起完成小結(jié).學(xué)生同教師一起完成課堂小結(jié).（著重思考如何把距離的測(cè)量問題轉(zhuǎn)化為三角形全等的問題）.活動(dòng)與探究請(qǐng)你找兩個(gè)被建筑物或河流等隔開的物體，然后想辦法測(cè)量這兩個(gè)物體之間的距離.并說明利用什么數(shù)學(xué)知識(shí)或

11、數(shù)學(xué)原理.學(xué)生通過戶外活動(dòng)，進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系.供學(xué)生課后完成四、教學(xué)設(shè)計(jì)說明四、教學(xué)設(shè)計(jì)說明1、教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，以生動(dòng)、有趣、現(xiàn)實(shí)的例子，激發(fā)學(xué)生的興趣。2、重視對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生積極思考、互相合作交流、主動(dòng)發(fā)言及動(dòng)手操作能力。3、學(xué)生在教師引導(dǎo)下，自主體驗(yàn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的再創(chuàng)造。4、學(xué)生通過小組活動(dòng)，在合作學(xué)習(xí)中增強(qiáng)與他人的合作意識(shí)。本節(jié)內(nèi)容是全等三角形的應(yīng)用，即用全等三角形來解決實(shí)際問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生將“實(shí)際問題建構(gòu)成數(shù)學(xué)模型”的數(shù)學(xué)思想，這是本節(jié)課的難點(diǎn)，使學(xué)生建立“對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊相等推斷兩三

12、角形全等找條件”的利用全等三角形解決實(shí)際問題的思維框架，是本節(jié)的重點(diǎn)，二者聯(lián)系的關(guān)鍵是將具體問題情境轉(zhuǎn)化為構(gòu)成幾何圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是本節(jié)的授課主線。1、能利用三角形的全等解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系。無2、能在解決問題的過程中進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)。三、教材說明：本節(jié)內(nèi)容是全等三角形的應(yīng)用，即用全等三角形來解決實(shí)際問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生將“實(shí)際問題建構(gòu)成數(shù)學(xué)模型”的數(shù)學(xué)思想，這是本節(jié)課的難點(diǎn)，使學(xué)生建立“對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊相等推斷兩三角形全等找條件”的利用全等三角形解決實(shí)際問題的思維框架，是本節(jié)的重點(diǎn)，二者聯(lián)系的關(guān)鍵是將具體問題情境轉(zhuǎn)化為構(gòu)成幾何圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是本節(jié)的授課主線。四、教

13、學(xué)過程：1、知識(shí)準(zhǔn)備（復(fù)習(xí)）1） 知識(shí)： 判斷兩個(gè)三角形全等必須尋找三個(gè)基本元素對(duì)應(yīng)相等 （途徑）二角及一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等二角及平邊對(duì)應(yīng)相等二邊及夾角對(duì)應(yīng)相等三邊對(duì)應(yīng)相等4321之一對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊相等兩三角形全等2）思維分析等來解決實(shí)際問題對(duì)應(yīng)角相等和對(duì)應(yīng)邊相利用全等三角形的性質(zhì)全等之一能判斷兩個(gè)三角形或或或據(jù)找出全等的條件問題構(gòu)筑幾何圖形將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成幾何4321SASAASASASSS2、新授實(shí)際問題情境一：在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望，為了炸掉這個(gè)碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地距離，在不能過河測(cè)量又沒有任何測(cè)量工具的情況下，一個(gè)戰(zhàn)士想出來這樣一個(gè)辦法，他面向碉堡的方向站好，然后

14、調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部，然后，他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保無持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上，接著他用步測(cè)的辦法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他民碉堡間的距離。解決過程：1、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形2、找全等條件，判斷兩三角形全等RTDEFACBDFABDFEABCDFEABC3、利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等來解決問題。量出 EF 的距離即是 CB 的距離。二、實(shí)際問題情境二。如圖，A、B 兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量 A、B間的距離，但繩子不夠長，一個(gè)叔叔幫他出了這樣一個(gè)主意，先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá) A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)的 C 點(diǎn)，連接 AC 并延

15、長到 D，使 CD=AC，連接 BC 并延長到 E，使 CE=BC，連接 DE，并測(cè)量出它的長度，DE 的長度就是 A、B 間的距離。仿照問題一，進(jìn)行解答。過程回到實(shí)際問題對(duì)應(yīng)邊相等判定三角形全等條件解答問題將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成幾何轉(zhuǎn)化作圖ABCDEFABC無三、課堂鞏固練習(xí)實(shí)際問題情境。1、現(xiàn)在要測(cè)量一個(gè)口小里大的容器的內(nèi)徑，請(qǐng)同學(xué)們自己設(shè)計(jì)一種工具度量容器的人徑，并說明工具的工作原理。2、有一水泊，如圖，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，測(cè)出 AB 的距離。（不能用尺子直接測(cè)量）利利 用用 三三 角角 形形 全全 等等 測(cè)測(cè) 量量 距距 離離班級(jí)姓名學(xué)號(hào)情境一情境一在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望，為

16、了炸掉這個(gè)碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地距離，在不能過河測(cè)量又沒有任何測(cè)量工具的情況下，一個(gè)戰(zhàn)士想出來這樣一個(gè)辦法，他面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部，然后，他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上，接著他用步測(cè)的辦法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他民碉堡間的距離。情境二情境二課間，小明和小聰在操場(chǎng)上突然爭論起來。他們都說自己比對(duì)方長得高，這時(shí)數(shù)學(xué)老師走過來，笑著對(duì)他們說：“你們不用爭了，其實(shí)你們一樣高，瞧瞧地上，你倆的影子一樣長！”（如圖） ，你知道數(shù)學(xué)老師為什么能從他們的影長相等就斷定它們的身高相同？你能運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知

17、識(shí)說明一下其中的道理嗎？（假定太陽光線是平行的）無想一想想一想如圖，A，B 兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量 A，B 間的距離，但繩子不夠長，你有辦法測(cè)量 A，B 兩點(diǎn)的距離嗎？有人這樣測(cè)量：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá) A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)的點(diǎn) C，連接 AC 并延長到 D，使 CD=AC；連接 BC 并延長到 E，使 CE=CB，連接 DE 并測(cè)量出它的長度，DE的長度就是 A，B 間的距離。你能說出原因嗎？練一練練一練3.如圖要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn) A、B 的距離，先在 AB 的垂線 BF 上取兩點(diǎn) C、D， 使 CD=BC， 再定出 BF 的垂線 DE，可以證明EDCABC， 得

18、 ED=AB，因此，測(cè)得 ED 的長就是 AB 的長判定EDCABC 的理由是()A、SSSB、ASAC、AASD、SAS4.如圖所示小明設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑 AB 的卡鉗，問：在卡鉗的設(shè)計(jì)中， 要使DC=AB，AO、BO、CO、DO 應(yīng)滿足下列的哪個(gè)條件？（）A、AO=COB、BO=DOC、AC=BDD、AO=CO 且 BO=DO5.如圖是掛在墻上的一面大鏡子，上面有兩點(diǎn) A、B。小麗想知道 A、B 兩點(diǎn)之間的距離，但鏡子掛得太高，無法直接測(cè)量，旁邊又沒有梯子，只有一根長度比圓的直徑稍長點(diǎn)的竹竿和一把卷尺。小麗做了如下操作：在她夠的著的圓上找到一點(diǎn) C ，接下去小麗卻忘了應(yīng)該怎么做？你能幫助她完成嗎？做一做做一做1 如圖，要計(jì)算這個(gè)花瓶的容積，需要測(cè)量其內(nèi)直徑