2019-2020學(xué)年新必修二余弦定理、正弦定理教案

1、解：T725232，即a2b2c2ABC 是鈍角三角形教學(xué)目標(biāo)1 知識(shí)與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。2.過(guò)程與方法：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析， 解答三個(gè)典型例子， 使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、 余弦定理, 三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問(wèn)題。3情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)正、余弦定理，在解三角形問(wèn)題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三

2、角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。學(xué)法：通過(guò)一些典型的實(shí)例來(lái)拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法。教學(xué)設(shè)想：創(chuàng)設(shè)情景：思考：在 ABC 中，已知a22cm，b25cm，A1330，解三角形。 從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形。下面進(jìn)一步來(lái)研究這種情形下解三角形的問(wèn)題。探索研究:例 1在 ABC 中，已知a,b,A，討論三角形解的情況bsinAasinCsin B -廠“cO/八o c -分析：先由a可進(jìn)一步求出 B ；則C 180(A B)從而A1.當(dāng) A 為鈍角或

3、直角時(shí)，必須a b才能有且只有一解；否則無(wú)解。2當(dāng) A 為銳角時(shí)，如果ab，那么只有一解；如果a b，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：(1 )若a bsi nA，則有兩解；(2)若a bsinA,則只有一解；(3)若a bsinA,則無(wú)解。評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A 為銳角且bsinA a b時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解。隨堂練習(xí) 1a2b2c2A是直角 AB(是直角三角形a2b2c2A是鈍角 AB(是鈍角三角形a2b2c2A是銳角.AB(是銳角三角形(注意：A是銳 AB 是銳角三角形)(1) 在ABC中，已知a80,b100,1c(2) 在ABC

4、 中，若a12C(3) 在ABC 中,axcmb2cm求 X的取冷值范圍C)(答案:(1 )有兩解;例 2. 在ABC 中， 已知a7,b5,c分析:由余弦定理可知nA45，試判斷此三角形的解的情況。4O0，則符合題意的 b 的值有_個(gè)。B 45，如果利用正弦定理解三角形有兩解,(2) 0 ； (3)2X2 2)3，判斷 ABC 的類(lèi)型。隨堂練習(xí) 2(1 )在 ABC 中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判斷 ABC 的類(lèi)型。(2)已知 ABC 滿足條件acosA bcosB，判斷ABC的類(lèi)型。(答案：(1)ABC是鈍角三角形；(2) ABC 是等腰或直角三角形)3a bc例 3.

5、 在 ABC 中，A600,b1,面積為2，求sinAsinBsinC的值分析：S可利用三角形面積定理absinC21acsinB2】bcsin2A以及正弦定理abca b csinAsinBsinCsinAsinBsinC解：由1SbcsinA22得c2,(答案:(1)60或1200；( 2)450)課堂小結(jié)(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；(2 )三角形各種類(lèi)型的判定方法；(3)三角形面積定理的應(yīng)用。(五)課時(shí)作業(yè)：(1 )在 ABC 中，已知b4，c10，B30，試判斷此三角形的解的情況。(2) 設(shè) x、x+1、x+2 是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求

6、實(shí)數(shù) x 的取值范圍。(3) 在 ABC 中，A60，a 1，b c 2，判斷 ABC 的形狀。2(4) 三角形的兩邊分別為 3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程5x 7x 6 0的根，求 這個(gè)三角形的面積。正弦定理、余弦定理的應(yīng)用教學(xué)目的：1 進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2 能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；b2則a2隨堂練習(xí)2bccosA=3，即3，從而sinAsincBsinCa2 sinA3(1 )在ABC 中，若a55，b16，且此三角形的面積220 3，求角 C(2 )在ABC 中，其三邊分別為a、b、c,三角形的面積a2b242c_，求角 C3 能夠利用正、余弦定理

7、判斷三角形的形狀；4 能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向6 22教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式1 啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問(wèn)題或者三角恒等式時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與 所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余 弦值互為相反數(shù)等；2 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：abc2R正弦定理：sin A sinBsinC.2 2 2典b ca2, 22cos A余弦定理：a b c2

8、bccos A,2bc2 2 . 2cab.2 2b ca22ca cosB,cOsB2ca2 . 2 2a b c222cOsC -cab2abcosC,2ab二、講解范例：例 1 在任一 ABC 中求證：a(si nB si nC) b(si nC si nA) c(si nA sin B) 0證.左邊=2Rs in A(si nB si nC) 2Rsi nB(s inC sin A) 2Rsi nC(si nA sinB)例 2 在厶 ABC 中，已知a 3,b 2, B=45 求 A、C 及 c解一：由正弦定理得:/ B=45 90 即 b 150,貝UB + A 180 與題意不符

9、 0vBv30 cosB =133 12 4 16 cos (A + B) = cosA cosB si nA si nB =5 1351365又 C = 180 ( A + B)16 cosC = cos 180 ( A + B)= cos (A + B)=65評(píng)述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、 余弦平方關(guān)系時(shí)， 應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定 角的范圍，以便對(duì)正負(fù)進(jìn)行取舍， 在確定角的范圍時(shí)， 通常是與已知角接近的特殊角的三角 函數(shù)值進(jìn)行比較四、小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問(wèn)題，要求大家注意常見(jiàn)解題方法與解題技巧

10、的總結(jié)，不斷提高三角形問(wèn)題的求解能力五、 課后作業(yè)：課后記：1 正、余弦定理的綜合運(yùn)用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：si n2A = si n2B + si n2C 2si nBs in CcosA這是只含有三角形三個(gè)角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡(jiǎn)捷明快，舉例：例 1在厶 ABC 中，已知 sin2B sin2C sin2A =3sinAsinC ,求 B 的度數(shù)解：由定理得 sin2B = sin2A + sin2C 2sinAsinCcosB , 2sinAsinCcosB =3sinAsinC/ sinAsinC豐0cosB = 2B=150例 2求 s

11、in210+ cos240+ sin 10 cos40 的值解：原式=sin210+ sin250+ sin 10 sin50在 sin2A = sin2B + sin2C 2sinBsinCcosA，令 B = 10, C= 50，貝 U A = 120sin2120 = sin210 + sin250 2sin 10 sin50 cos12023=sin210+ sin250+ sin10 sin50 = (2)2 =4例 3在厶 ABC 中，已知 2cosBsinC = sinA ,試判定 ABC 的形狀解：在原等式兩邊同乘以si nA 得：2cosBsi nAsi nC = si n2

12、A，由定理得 si n2A + si n2C si n2B 45vAv90, si nA=54=sin2A , sin2C = sin2B B = C 故厶 ABC 是等腰三角形化簡(jiǎn)后得 b2= c2 - b = cABC 是等腰三角形2 一題多證：例 4在厶 ABC 中已知 a= 2bcosC,求證： ABC 為等腰三角形 證法一：欲證 ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素,bsin A使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a=si nBbsin A/ 2bcosC =si nB，即 2cosC sinB = si nA = sin (B+ C)即 sin ( BC)=0,-BC=nn(n B = C,即三角形為等腰三角形a= bcosC + ccosB,cosB又c sinC sinC cosC即 tanB = tanC/ B、C 在厶 ABC 中， B = CABC 為等腰三角形2,2 2 2,2 2又Ta=2bcosC 2bco