2020屆上海市普陀區(qū)高考一模數學試題(解析版)

1、第1頁共 18 頁2020屆上海市普陀區(qū)高考一模數學試題一、單選題1.“m 1,2是In m 1”成立的（）A 充分非必要條件B.必要非充分條件C充要條件D 既非充分也非必要條件【答案】A【解析】先求出命題所對應的集合，討論集合之間的包含關系，得出結論.【詳解】解：Q lnm 1 ,0 m eQ1,2u（0,e）,m 1,2”是“nm 1 ”成立的充分非必要條件，故選：A.【點睛】本題考查解不等式，簡易邏輯，屬于基礎題.2.設集合A x|x a 1 ,B1, 3,b，若A?B，則對應的實數對（a,b）有（）A .1對B.2對C .3對D .4對【答案】D【解析】 先解出A，再討論包含關系（注意

2、集合元素互異性），解出數對.【詳解】解：因為集合 A x|x a| 1,所以 A a 1, a 1,因為 B 1 ,3, b , AB ,所以a 11，或 a 13，或a 1 b,當a1 1時，即a 2, A1,3,此時可知 B 1 ,3,3，成立,即a2,b 3；當 a13 時,即a 2,A 3 ,0，此時可知 B1 ,3,0， 成立即a2,b 1;當a 1 b時，則a 11或 3:第2頁共 18 頁當a 11時， 即a0, A 1,1, 此時可知 B 1 ,3,1，成立,即a0,當a 13時，即a4, A 5 ,3，此時可知 B 1,3, 5，成立，即a 4,b 5；綜上所述：a 2,b

3、3，或a 2,b 1，或a 0,b 1，或a 4,b 5,共 4 對.故選：D.【點睛】本題考查集合關系，綜合集合元素互異性，屬于基礎題.3 .已知兩個不同平面，和三條不重合的直線a,b,c，則下列命題中正確的是()A .若a/,I b，則a/bB .若a,b在平面 內，且c a,c b，則cC .若a,b,c是兩兩互相異面的直線，則只存在有限條直線與a,b,c都相交D .若 ，分別經過兩異面直線a,b，且c，則c必與a或b相交【答案】D【解析】直接利用定義和判定定理的應用求出結果.【詳解】解：對于選項A:若a/,I b，則直線a也可能與直線b異面，故錯誤.對于選項B:只有直線a和b為相交直線

4、時，若c a,c b，則c.故錯誤對于選項C:若a,b,c是兩兩互相異面的直線，則要么存在一條直線或不存在直線與a,b,c都相交.故錯誤對于選項D：若 ，分別經過兩異面直線a,b，且c，則c必與a或b相交，正確.故選：D.【點睛】本題考查的知識要點： 立體幾何中的定義和判定的定理的應用，主要考查學生對定義的理解能力，屬于基礎題.2xy114.若直線I:1經過第一象限內的點P(),則ab的最大值為()2b a a ba b第3頁共 18 頁B. 42.2C.5 2、.3D.6 3,2【答案】【解析】直線l:2?-丄 1 經過第一象限內的點a a bP(!,a2a(2b a)1b(a b)1 .

5、ab ab(-)a (2b a) b(a b)g(t) -2t12t(t0）再利用基本不等式計算可得.【詳解】解：直線2x1：2b a1經過第一象限內的點0， a(2b2a)1b(ab)1.ab2ab(a(2b a)b(a b)2b2b2 ba_b1bt 0, g(t)2t2t 12t1 2t 12t221 4t2t23t 1t2t23t 12t因為 2t2.2，當且僅當2t1一即tt時取最小值;2t 3max4 22故選:【點睛】本題考查了直線方程、換元法、基本不等式的應用, 考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.2第 4 頁共 18 頁、填空題215若拋物線y2mx的焦點坐標為（,0），則

6、實數m的值為2【答案】2【解析】直接由拋物線方程寫出焦點坐標，由題意得求出【詳解】解：由拋物線方程得：焦點坐標-,0 ,4故答案為：2.【點睛】本題考查拋物線方程求出焦點坐標，屬于基礎題.【答案】【詳解】故答案為：3【點睛】 本題考查數列極限的運算法則的應用，屬于基礎題.17 .不等式一1的解集是X【詳解】11 x依題意丄10,0 x x 10，解得0Xx0,1.【點睛】 本題主要考查分式不等式的解法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題18.設i是虛數單位，若Z肓ai是實數，則實數a1【答案】丄【答案】(0,1)【解析】將分式不等式轉化為一元二次不等式來求解m的值.6.limn3n12n

7、3n1【解利用數列的極限的運算法則化簡求解即可.解：limnn 1 n32n313lim -n1x1，故原不等式的解集為第5頁共 18 頁【解析】 將 Z 化簡為x yi的形式，根據 z 為實數，求得a的值.【詳解】.11. . 1 aii ai22 20,a【點睛】 本小題主要考查復數的除法運算，考查復數為實數的條件，屬于基礎題9 設函數f(x) loga(x 4)(a 0且a 1)，若其反函數的零點為2，則a _【答案】2【解析】 根據反函數的性質可得，函數f (x)過(0,2)代入求出即可.【詳解】解：函數 f (x) loga(x 4)(a0 且a 1)，若其反函數的零點為 2,即函數

8、 f (x)過(0,2),代入 2 loga(0 4) , a24 解得 a 2(a0),故答案為：2 【點睛】考查函數與反函數的關系，對數的運算，屬于基礎題.1 -10 (13)(1 x)展開式中含x2項的系數為 _ (結果用數值表示)x【答案】9【解析】求出(1 x)6展開式中的常數項和含X2項，利用多項式乘多項式得答案.【詳解】解:Q(1 2)(1 x)6(1 x)64(1 x)6xx二項式(1 x)6的展開式中，通項公式為 Tr 1c6ax)rC6g 1)rgxr,16分別取r = 2, 5,可得(13)(1 x)6展開式中含x2項的系數為：x2255(1)g6( 1)gC69 故答案

9、為：9 【點睛】本題考查了二項式展開式通項公式的應用問題，屬于基礎題.依題意za - i，由于 z 為實數，故2第6頁共 18 頁*211.各項都不為零的等差數列an(n N)滿足a22as3a100，數列bn是等比數列，且a8bs，則bqbgbii【答案】83b4bgb11bss.故答案為：&【點睛】于中檔題.【解析】由已知等式結合等差數列的通項公式求得as，再由等比數列的通項公式結合asbs求解 b4b9bn的值.【詳解：各項均不為 0 的等差數列an滿足 a22as23aio2a d 2(a17d)3 佝 9d)0，化為：37d2 as,Q數列bn是等比數列，且 bsas2 ,本題考查了

10、等考查了推理能力與計算能力，屬12 設橢圓2-2y21 a 1，直線l過a的左頂點A交y軸于點P，交 于點Q，若AOP是等腰三角形(0為坐標原點)，ULUUlT【答案】2、.5【解析】如uurUITA( a,0), P(0, a) 根據PQ2QA,可得xo,y。.代入橢圓 方程解得a，即可得出.【詳解：如圖所示，設Q(Xo, yo)，由題意可得：A( a,o), P(0, a).uuuQPQuir2QA，(X),yoa) 2( a xo,yo),Xo2a3ay03第7頁共 18 頁代入橢圓 方程可得：4-1，解得a 5.99的長軸長2,5故答案為：2 5【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質

11、、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.13.記a,b,c,d,e, f為1,2,3,4,5,6的任意一個排列，則a b c d e f為偶數的排列的個數共有_.【答案】432【解析】 若(a b)(c d)(e f)為偶數的對立事件為“a b)(c d)(e f)為奇數”即(a b)、(c d)、(e f)全部為奇數，根據計數原理計算其個數，由a,b,c,d,e ,f為 1 , 2, 3, 4, 5, 6 的任意一個排列，共有A種，進而可得所求.【詳解】解：根據題意，a,b,c,d, e,f為 1, 2, 3, 4, 5 , 6 的任意一個排列，6則共有A720個排列，若(

12、a b)(c d)(e f)為偶數的對立事件為(a b)(c d)(e f)為奇數”(a b)、(c d)、(e f)全部為奇數，有 6 3 4 2 2 1 288 ,故則(a b)(c d)(e f)為偶數的排列的個數共有 720 288 432 .故答案為：432.【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，考查分析解決問題的能力，屬 于中檔題.第8頁共 18 頁2 214已知函數f x X +8x 15 ax bx c a,b,c R是偶函數，若方程ax2bx c 1在區(qū)間1,2上有解，則實數a的取值范圍是 _.1 1【答案】，8 3【解析】由 f (x)是偶函數，圖象關于

13、y軸對稱，可知，3， 5 是ax2bx c 0的兩個 根，根據方程的根與系數關系可求得a，b，c的關系，然后結合二次函數的性質可求a的范圍.【詳解】2 2解：Qf(x) (x 8x 15)(ax bx c)是偶函數，圖象關于y軸對稱，令x28x 15 0可得，x 3或x 5,根據偶函數圖象的對稱性可知，3, 5 是ax2bx c 0的兩個根，8bc 15aa15cb 8aa由ax2bx c1可得，ax28ax 15a1,Q x1,2時, x28x 153,8 ,a11 12x28x 158 31 1故答案為：8,1【點睛】本題主要考查函數解析式的求解以及不等式的求解,解析式是解決本題的關鍵.1

14、5.設P是邊長為2 2的正六邊形A1A2A3AHA5A6的邊上的任意一點，長度為4的線段UUUU UULT ，+卄* ,MN是該正六邊形外接圓的一條動弦，則PM PN的取值范圍為 _ .【答案】6 4 ,6,8+8、一2根據函【解亠UUUL UUIT關鍵把PM gPN轉化為含定值的形式，取MN的中點，再由Q的軌跡，可求第9頁共 18 頁UUU得PQ的最大值與最小值，進而可求得取值范圍.【詳解】第10頁共 18 頁解：設正六邊形外接圓的圓心為0,正六邊形A1A2A3A4A5A6的邊長為2 2,所以半徑為2,2，設MN的中點為Q，貝UULLU1UUUPMgPNUJU UIUU UUUUUr (PQ

15、QM)gPQ QN)JUU2PQuurUUUUPQg(QMuurQN)UUUuuirQMgQN，UJUUUUUUUTUULUuurUJUUuur因為QM與QN為相反向量，所以PQQQMQN)0 , QM gQN4 ,所以PMlgpN PQ24，因為|0Q|2. 2 2 222，所以Q在以0為圓心，以 2 為| PQ |max2 22，|PQ|min、62，故答案為：6 42,8 8/2【點睛】本題主要考查平面向量數量積的性質及其運算，屬于中檔題.16 若M、N兩點分別在函數y f x與y g x的圖像上，且關于直線x 1對稱，則稱M、N是y f x與y g x的一對 伴點”(M、N與N、M視為

16、相寸2 x x 2同的一對)已知f X：-2，g x x a 1，若yfx與(4 x 4 x 2y g x存在兩對 伴點”,則實數a的取值范圍為 _ .【答案】3 2 .2/1+2、一2【解析】 求出 f(x)關于直線x 1的對稱圖象所對應的函數解析式h(x)，畫出圖形，UUUIDUUU11112PQ4的最大值為88、2，最小值為6 4、.2，UUUn ULLT所以PM gPN的取值范圍為6 4.2,88.2半徑的圓上，第11頁共 18 頁再由函數圖象的平移結合新定義求解實數a的取值范圍.第12頁共 18 頁【詳解】 解：設曲線y f(x)關于x 1的對稱圖象上的點為(x,y) , (x,y)

17、關于x 1的對稱點為(x,y),由圖可知，要使y f (x)與y g(x)存在兩對 伴點”需要把 g(x) |x a| 1 向左平 移.則a 0，設直線 y (x a) 1，即 x y a 10 ,由圓心(2,0)到直線的距離為2,得1 2：1|2，解得 a 3 2 2 或a 3 2.2(舍)；設直線 y (x a) 1，即 x y a 10 ,由圓心(2,0)到直線的距離為 2,得12:1|2，解得 a 12 2 或 a 1 2 2 (舍)要使y f (x)與y g(x)存在兩對 伴點”則實數a的取值范圍為32、，2,+2、2故答案為：3 2、一2,+2、2【點睛】h(x)x， y y，代入

18、f (x).x(x 0),4 (x 2)2(x, 0)2)，得4 (x 4)2(x-2)0)或向右(a 0)平移|a|個單位得到第13頁共 18 頁三、解答題17 .如圖所示的三棱錐P ABC的三條棱PA,AB,AC兩兩互相垂直,uur uuurAB AC 2PA 2,點D在棱AC上，且AD= AC(0).2(2)當三棱錐D PBC的體積為2時，求 的值.9(1)PDE 323(1)作DE /CB，交AB于E，連結PE，則異面直線PD與BC所成角為1由此能求出當時，異面直線PD與BC所成角的大小.21(2) 由VDPBCVPh，能求出結果.3【詳解】1解：(1)當=時，ADDC，取棱AB的中點

19、E，連接ED、EP,2則 ED/BC，即PDE是異面直線PD與BC所成角或其補角，又PA,AB,AC兩兩互相垂直，則PD DE EP 2，即PDE是正三角形，則PDE.則異面直線PD與BC所成角的大小為33本題主要考查對新定義函數的圖象和性質應用,中檔題.考查數形結合和轉化的數學思想，屬于【答案】(2)【解析】第14頁共 18 頁令t 2x，則t25t 40，即1 t 4, 即0 x 2，則所求的不等式的解為(0,2).(2)任取2 Xix2，因為函數f (x) 2x2xa在區(qū)間2,+上單調遞增，(2)因為PA,AB,AC兩兩互相垂直,PA平面PAC,AC平面PAC,PAI AC A所以AB平

20、面PAC,則VD PBCVB PDC3AB SPDC1PADC21DC -,39口2uuiruur2即DC,又AD = AC(0),AC 2，貝y33【點睛】本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查實數值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.18 設函數f x(1)當a4時，解不等式f x 5；(2)若函數f x在區(qū)間2,+上是增函數，求實數a的取值范圍【答案】(1)(0,2)(2)16,)(2)禾U用函數的單調性的證明過程， 設任取2x-iX2所以f(xj2,+上恒成立，則2x12x1a 2x2+2x2a0恒成立，參變分離即可求解【詳(1)當

21、a4時，由2x5得2x4 2x5 0,第15頁共 18 頁所以f(xi) f(X2)0在2,+上恒成立，則2xi21a 2x2+2x2a 0恒成立，Qx1Qx2a即2為2x+a2?r|-0，22x21 +廠0，又 xix2，則2xi2，即a 2廠2對2 x,X2恒成立，又2xi x216，即a 16，則所求的實數a的取值范圍為16,).【點睛】本題考查的知識要點： 不等式的解法及應用， 換元法的應用，函數的性質單調性的應用， 主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題.19某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內一塊扇形空地AOB進行改建.如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域為停車

22、場，其余部分建成綠地，點P在圍墻AB弧上，點M和點N分別在道路OA和道路OB上，且OA=60米，AOB=60，設(1)求停車場面積 S 關于 的函數關系式，并指出的取值范圍；(2)當 為何值時，停車場面積S最大，并求出最大值(精確到0.1平方米)【答案】(1)S 2400.3 sin sin(600),0o60o(2)當30o時，停車場最大面積為1039.2平方米【解析】(1)由正弦定理求得ON，再計算停車場面積S關于 的函數關系式;(2)化簡函數解析式S，求出S的最大值以及取最大值時對應的值.【詳解】第16頁共 18 頁解：(1)由平行四邊形OMPN得，在OPN中，ONP 120,OPN 6

23、0即ON 40、3 sin(60),PN=40.、3sin,則停車場面積S ON PN sin ONP 2400、3sin sin(60),即S 2400.3 sin sin(60)，其中060.i(2)由(O得S 2400、.3sin sin(60) 2400.3sin ( cs sin ),即S 3600sin cs 1200、一3sin2=1800sin 2600、3cos2 600、3，則S 1200一3 sin(230) 600、3.因為060，所以302 30150，則2 3090 時，Smax1200、3 1 600、3 600,3 1039.2平方米.故當30時，停車場最大面積

24、為1039.2平方米.【點睛】本題考查了三角函數模型的應用問題，也考查了運算求解能力，屬于中檔題.2 220.已知雙曲線：篤占1(a 0,b 0)的焦距為4，直線l :x my 4 0a b(m R)與 交于兩個不同的點D、E，且m 0時直線l與 的兩條漸近線所圍 成的三角形恰為等邊三角形 .(1) 求雙曲線 的方程；(2) 若坐標原點O在以線段DE為直徑的圓的內部，求實數m的取值范圍；(3) 設A、B分別是 的左、右兩頂點，線段BD的垂直平分線交直線BD于點P, 交直線AD于點Q，求證：線段PQ在x軸上的射影長為定值.2【答案】(1) y213(2)( .3,主)u(衛(wèi)八3)33(3)證明見

25、解析ONsin OPNOPsin ONPPNsin PONON，即sin(6060 PNsin 120sin第17頁共 18 頁【解析】（1）求得雙曲線的c 2,由等邊三角形的性質可得a,b的方程，結合a,b,c的關系求得a，b，進而得到雙曲線的方程；（2） 設 D（x，yi），Eg，y2），聯(lián)立直線x my 4 0和x23y23，應用韋達1定理和弦長公式，設DE的中點為F，求得F的坐標，由題意可得|0F | |DE |，應2用兩點的距離公式，解不等式可得所求范圍；（3）求得A，B的坐標和P的坐標，求得BD的垂直平分線方程和AD的方程，聯(lián)立 解得Q的坐標，求出|XPXQ|，即可得證.【詳解】解

26、：（1）當m 0直線I : x 4與C的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形,x my由根據雙曲線的性質得，占tan230oa21，又焦距為4，則3b24，解得a. 3,b 1，則所求雙曲線2的方程為3(2)設D(x1, y1),E(x2, y2)，由得（m23)y28my130,則y1y28m3 m2132m3，且64m252( m223)12(m13)0,又坐標原點O在以線段DE為直徑的圓內，則ujurODuuuOE 0，即x2y“2即(my14)( my24)y“20，即4m(y1丫2）(m21陽16 0,2 2則13m13 8mm23m216 0,2即3m 5m230，則.3,即實數m

27、的取值范圍(.3,u（3）（3）線段PQ在x軸上的射影長是XPXq.設D(x,y)，由(1)得點B(J3,0),第18頁共 18 頁又點P是線段BD的中點，則點P（X03,北）,2 2(3)1和 2第19頁共 18 頁即x 3(x ,3)，即點Q的橫坐標為2xo3，【點睛】本題考查雙曲線的方程和應用，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，應用韋達定理和弦長公式，以及直線方程聯(lián)立求交點，考查化簡運算能力，屬于中檔題.直線BD的斜率為Xoyo,3yo，直線AD的斜率為-=，又 BD PQ，Xo3則直線PQ的方程為yo23Xo(xXoYOr1)，即y3xowxo3-x -Yo2yoyo1，又直線AD的方程為yy(x-、3)，聯(lián)立方程Xo”3:;3 xoxo3Xyo2 yoYO2消去y化簡整理，得_23(3 Xo)x2YO2代入消去yo?，得(、_3xo)x2(x。23)33(xoyo(3x(x-3xo(x , 3)，又.3)(x .,3),2yo2Xo則XpXqXo3 2x032.故線段PQ在x軸上的射影長為定值4(3)1和 2第20頁共 18 頁21.數列an與bn滿足a!a ,bnan 1an,Sn是數列