第09章05_06多元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(1)

1、第5節(jié) 多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于一元函數(shù)，一階導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為原來函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；階導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為原來函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。對(duì)于多元函數(shù)，也可類似地定義高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)在區(qū)域內(nèi)可偏導(dǎo)，其偏導(dǎo)數(shù),仍是的二元函數(shù)，仍可以考慮求它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為原來函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)分別記作，或，；，或，；，或，；，或，其中也稱為函數(shù)關(guān)于的二階混合偏導(dǎo)數(shù)（符號(hào)游戲）一般地，階偏導(dǎo)函數(shù)的（偏）導(dǎo)數(shù)稱為原來函數(shù)的階（偏）導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)思考題：1與是否相同？與是否相同？（完全不一樣?。纠?.1】 設(shè)，求的所有二階偏導(dǎo)數(shù)解，；（請(qǐng)注意：此題中）【例5.2】 設(shè)證明：,均二階可導(dǎo),為常數(shù)解令，則有， ，從而

2、有【例5.3】 設(shè)，求，解時(shí)，有，時(shí)，有，不存在在例5.1中，在例5.3中，不存在，這說明，在某些情況下，二階混合偏導(dǎo)與求導(dǎo)次序無關(guān)，而在某些情況下，二階混合偏導(dǎo)與求導(dǎo)次序有關(guān)那么在什么情況下，二階混合偏導(dǎo)與求導(dǎo)次序無關(guān)呢？定理5.1如果函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)函數(shù)，在處連續(xù)，則證令設(shè)，則有，或，由一元函數(shù)的中值定理及關(guān)于的偏導(dǎo)函數(shù)存在，得又關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在，則由中值定理得，同理，即有，因?yàn)?在是連續(xù)，故，所以，高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下也與求導(dǎo)次序無關(guān)該結(jié)論可以推廣到一般多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)定理5.n如果函數(shù)的相應(yīng)混合偏導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則在處的混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)（如果求導(dǎo)次序無關(guān)

3、，我們就不用計(jì)較求導(dǎo)次序了。）【例5.4】 設(shè)，求的二階偏導(dǎo)數(shù)解 ,，,復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)：先求有關(guān)較低階偏導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)較低階偏導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)得到較高階偏導(dǎo)數(shù)。遇到低階偏導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)也要先畫出它的函數(shù)圖。幸好，各階偏導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)是一樣的，因此，各階偏導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)圖與原來函數(shù)的函數(shù)圖是一樣的。例如，在的函數(shù)圖中把換成就得到的函數(shù)圖?！纠?.5】 設(shè)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，解函數(shù)圖，注意此時(shí)仍是二元復(fù)合函數(shù)，仍然有函數(shù)圖，故有引用前面給出的記號(hào)，有（注意到，求導(dǎo)次序無關(guān)。）同理可得， (測(cè))【例5.6】 設(shè)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求的二階偏導(dǎo)數(shù)解令，則。函數(shù)圖，的函數(shù)圖， ，思考

4、題：2設(shè)，則，此解法是否正確？（第二式不對(duì)。應(yīng)該是，）習(xí)題9-5A類1求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 2設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求下列函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)(1) ，求，； *(2) ，求，；(3) ，求，；(4) ，求，；(5) ，求，；*(6) ，求，解 （3）3設(shè)，求*4設(shè)函數(shù)，證明滿足拉普拉斯方程式5設(shè)變換可將方程化為，求實(shí)數(shù)6設(shè)，其中，有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)試證：B類1設(shè)，求的二階偏導(dǎo)數(shù)*2證明：函數(shù)滿足熱傳導(dǎo)方程*3證明：若函數(shù)滿足拉普拉斯方程，則函數(shù)也滿足拉普拉斯方程4設(shè)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)試證：解 故。*5求方程滿足條件

5、，的解6設(shè),有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,為常數(shù)，(1)求；*(2)當(dāng)，且時(shí)，求7引入新的函數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)?，化簡(jiǎn)方程第6節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則在中學(xué)我們知道，一個(gè)方程解出一個(gè)未知數(shù)，兩、三個(gè)方程分別解出兩、三個(gè)未知數(shù)。因此，一個(gè)方程解出一個(gè)隱函數(shù)，個(gè)方程解出個(gè)隱函數(shù)。這一節(jié)我們討論：(1)在什么條件下，方程或能確定一個(gè)或個(gè)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的隱函數(shù)？(2)怎樣求或確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？第（1）個(gè)問題我們不太在意。我們的重點(diǎn)在第（2）個(gè)問題（考點(diǎn)）。對(duì)于方程組情形，課本使用了雅可比行列式。我們勿略困難、易錯(cuò)的雅可比行列式，只學(xué)方法。設(shè)是確定的隱函數(shù)；是確定的隱函數(shù)，則，。恒等式當(dāng)然可以兩邊求導(dǎo)。求隱函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)

6、方法：（1）把看作隱函數(shù)，則是恒等式；（2）恒等式兩邊對(duì)求導(dǎo)（注意：中有）得恒等式；（3）從恒等式解出。（1）看作隱函數(shù)，則是個(gè)恒等式；（2）個(gè)恒等式兩邊對(duì)求導(dǎo)（注意：中都有）得恒等式；（3）把當(dāng)作未知解方程組即得到要求的。求隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)方法有：（1）恒等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得含的恒等式，再把解出且代入；（2）由，再把代入即得。（1）恒等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得含的恒等式，再把解出且代入；（2）由再對(duì)求導(dǎo)即得（代入）。更高階的導(dǎo)數(shù)類似。我們應(yīng)當(dāng)反復(fù)練熟這套方法。6.1 一個(gè)方程的情形定理6.1(一元隱函數(shù)存在定理) 設(shè)二元函數(shù)滿足條件：, ，且在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程在的某一鄰域中唯一確定了一個(gè)具有

7、連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足及，且 (6.1)定理的結(jié)論只是在滿足條件的點(diǎn)的某鄰域內(nèi)成立例如：方程（黑板解釋）【例6.1】驗(yàn)證方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)能唯一地確定一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，并求解，故在的鄰域內(nèi)滿足定理6.1條件，所以在的鄰域內(nèi)能唯一地確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)滿足條件。把當(dāng)作的隱函數(shù)，是恒等式。兩邊對(duì)求導(dǎo)（中有！）得恒等式。解出，【例6.2】求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解1公式法令,因, ，則有解2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法注意是的函數(shù)，方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)地求導(dǎo)法則，得，故解3利用全微分形式不變性方程兩邊微分，有，即，于是有上述隱函數(shù)存在定理可以推廣到三元及三元以上方程的情形：定理6.2(多元隱函數(shù)

8、存在定理) 設(shè)三元函數(shù)滿足條件：，且在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，存在且連續(xù)，則方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)唯一確定一個(gè)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元隱函數(shù)，滿足，且，其偏導(dǎo)數(shù)為， (6.2)【例6.3】求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解1公式法設(shè)，則有，解2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法注意到是,的函數(shù)，方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)，解得；方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)，得，解得解3利用全微分形式不變性對(duì)方程兩邊微分，有，即，所以，思考題：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的方法有哪些？【例6.4】求方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，解1公式法設(shè)，有，得， ，解2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法注意到是,的函數(shù)，方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得， (6.3) (6.3)式兩邊再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得 (6.

9、5)(6.3)式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得 (6.6)由(6.3)式得，；方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得 (6.4)由(6.4)式得，分別代入(6.5)，(6.6)，得，（測(cè)）注利用公式法和利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法時(shí)，必須注意求導(dǎo)過程中變量間的關(guān)系利用公式時(shí)，在求的計(jì)算過程中，視為相互獨(dú)立的變量；而在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算時(shí)，是,的函數(shù)6.2 方程組的情形定理6.3(方程組情形下的隱函數(shù)存在定理) 設(shè)函數(shù)，滿足條件：(1)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， (2)，(3)由偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式（稱為雅可比行列式）則方程組,在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)唯一確定了兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元隱函數(shù),，它滿足條件，且，下面僅就上述公

10、式作如下推導(dǎo)：設(shè)(6.7)能唯一地確定一組有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)組,，對(duì)方程組(6.7)中的各方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)，得，即有， (6.8)方程組(6.8)是關(guān)于的線性方程組，如果其系數(shù)行列式，由解線性方程組的克萊姆法則，有，；同理，將方程組(6.7)中的各方程兩邊分別關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)，可得，定理6.3的結(jié)論還可推廣到個(gè)元方程組成的方程組的情形此結(jié)論雖然給出了方程組所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，但一般來說，此求導(dǎo)公式用起來并不太方便且容易出錯(cuò)，建議直接從方程組出發(fā)，將復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及解方程組的方法結(jié)合起來，求出方程組所確定的隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)【例6.5】設(shè)有方程組，求解方程組中的各方程兩邊分別關(guān)于求偏導(dǎo)

11、數(shù)，有，即，當(dāng)時(shí)，解出，；類似地，用同樣方法可得，【例6.6】設(shè)方程組為,，驗(yàn)證方程組在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)能唯一地確定有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組，并求解設(shè)，因?yàn)?，且，故在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)確定了一組有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組在方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，注意到均為的函數(shù)，有，解出，也可以通過求微分得到相應(yīng)的結(jié)果【例6.7】設(shè),，求解方程兩邊分別求微分，得，因，當(dāng)時(shí)，解出，故，【例6.8】設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且證明：方程組,在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)能唯一地確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)，并求反函數(shù)對(duì),的偏導(dǎo)數(shù)證(1) 將方程組改寫為，則有，因?yàn)樵诘哪赤徲騼?nèi)有，故由隱函數(shù)存在定理6.3知，方程組在的某鄰域內(nèi)能

12、唯一地確定連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組(2) ，各方程兩邊分別關(guān)于,求偏導(dǎo)數(shù)，得 , ,解上述方程組解得，（此例告訴我們：反函數(shù)可當(dāng)作隱函數(shù)?。┝?xí)題9-6A類1求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)*(1) ，求；(2) ，求；(3) ，求；(4) ，求，2求由下列方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)*(1) ，求，在處的導(dǎo)數(shù)值；(2) ，求，；*(3) ，求，；(4) ，求，；*3設(shè)為可微函數(shù)證明：由方程所確定的隱函數(shù)滿足方程4求解下列各題(1)設(shè)，求，；*(2)設(shè)，求，；(3)設(shè)，求，；(4)設(shè)，求，5設(shè)由方程確定，其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)證明：6設(shè)由方程所確定，其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求7設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，分別由下列兩式確定：；求解 把當(dāng)作的函數(shù)。方程組兩