曲線和方程練習題集

1、曲線與方程一、選擇題1已知兩定點A(1,1)，B(1，1)，動點P滿足·，則點P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線解析 設點P(x，y)，則(1x,1y)，(1x，1y)，所以·(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，即1，所以點P的軌跡為橢圓答案B2已知點F，直線l：x，點B是l上的動點若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是()A雙曲線 B橢圓 C圓 D拋物線解析由已知：|MF|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，故選D.答案D3長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，2

2、，則點C的軌跡是()A線段 B圓C橢圓 D雙曲線解析 設C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.答案 C4設圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內一定點，Q為圓周上任一點線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡為橢圓，a，c1，則b2a2c2，橢圓的標準方程為1.答案D5已知二面角l的平面角為，點P在二面角內，PA，PB，A，B為垂足，且PA4，PB5，設A，B到

3、棱l的距離分別為x，y，當變化時，點(x，y)的軌跡方程是()Ax2y29(x0)Bx2y29(x0，y0)Cy2x29(y0)Dy2x29(x0，y0)解析 實際上就是求x，y所滿足的一個等式，設平面PAB與二面角的棱的交點是C，則ACx，BCy，在兩個直角三角形RtPAC，RtPBC中其斜邊相等，根據勾股定理即可得到x，y所滿足的關系式如圖，x242y252，即x2y29(x0，y0)答案B6ABC的頂點A(5,0)、B(5,0)，ABC的內切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是()A.1 B.1C.1(x>3) D.1(x>4)解析如圖|AD|AE|8，|BF|BE|2，

4、|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)答案C7|y|1表示的曲線是()A拋物線 B一個圓C兩個圓 D兩個半圓解析原方程等價于或答案D二、填空題8. 在平面直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點在 軸上，離心率為。過的直線 交于兩點，且的周長為16，那么的方程為 。答案 9在ABC中，A為動點，B、C為定點，B，C(a>0)，且滿足條件sin Csin Bsin A，則動點A的軌跡方程是_解析由正弦定理：×，|AB|AC|BC|，且為雙曲線右支答案1(x>0且y0)10已知圓的方程

5、為x2y24，若拋物線過點A(1,0)、B(1,0)且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程是_解析 設拋物線焦點為F，過A、B、O作準線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1|BB1|2|OO1|4，由拋物線定義得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F點的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點)答案 1(y0)11已知P是橢圓1上的任意一點，F1、F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，則動點Q的軌跡方程是_解析由，又22，設Q(x，y)，則(x，y)，即P點坐標為，又P在橢圓上，則有1，即1.答案112. 曲線C是平面內與兩個定點F1(1,0)和F2(1,0)

6、的距離的積等于常數a2(a>1)的點的軌跡，給出下列三個結論：曲線C過坐標原點；曲線C關于坐標原點對稱；若點P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結論的序號是_解析 曲線C經過原點，這點不難驗證是錯誤的，如果經過原點，那么a1，與條件不符；曲線C關于原點對稱，這點顯然正確，如果在某點處|PF1|PF2|a2，關于原點的對稱點處也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面積SF1F2P2，很顯然SF1F2P|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|.所以正確答案 三、解答題13.如圖，已知F(1,0)，直線l：x1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點

7、Q，且· ·.求動點P的軌跡C的方程解析 法一：設點P(x，y)，則Q(1，y)，由··，得(x1,0)·(2，y)(x1，y)·(2，y)，化簡得C：y24x.法二：由··，得·()0，()·()0，220.|.點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為y24x.14已知定點F(0,1)和直線l1：y1，過定點F與直線l1相切的動圓的圓心為點C.(1)求動點C的軌跡方程；(2)過點F的直線l2交軌跡于兩點P、Q，交直線l1于點R，求·的最小值解析(1)由題設知點C到點F的距離等于它

8、到l1的距離， 點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線，動點C的軌跡方程為x24y.(2)由題意知，直線l2方程可設為ykx1(k0)，與拋物線方程聯立消去y，得x24kx40.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24.又易得點R的坐標為，··(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，當且僅當k21時取等號，·4×2816，即·的最小值為16.15已知雙曲線y21的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，y1)是雙曲線上不同的兩個動點(1)求直線A1P與

9、A2Q交點的軌跡E的方程；(2)若過點H(0，h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1l2，求h的值解析(1)由題設知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y(x)，直線A2Q的方程為y(x)聯立解得交點坐標為x，y，即x1，y1，則x0，|x|.而點P(x1，y1)在雙曲線y21上，y211.將代入上式，整理得所求軌跡E的方程為y21，x0且x±.(2)設過點H(0，h)的直線為ykxh(h1)，聯立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0得h212k20，解得k1 ，k2 .由于l1l2，則

10、k1k21，故h.過點A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由×1，得h.此時，l1，l2的方程分別為yx與yx，它們與軌跡E分別僅有一個交點與.所以，符合條件的h的值為或.16設橢圓方程為x21，過點M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點，O為坐標原點，點P滿足()，點N的坐標為，當直線l繞點M旋轉時，求：(1)動點P的軌跡方程；(2)|的最大值，最小值解析(1)直線l過定點M(0,1)，設其斜率為k，則l的方程為ykx1.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A、B的坐標滿足方程組消去y得(4k2)x22kx30.則4k212(4k2)>0.x1x2，x1x2.設P(x，y)是AB的中點，則()，得消去k得4x2y2y0.當斜率k不存在時，AB的