正余弦定理知識點及題型歸納

1、 解三角形1 正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圓半徑.正弦定理的如下變形常在解題中用到1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R3.a：b：c=sinA：sinB:sinC二余弦定理：1. a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cosA 2. b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cosB 3. c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cosC 余弦定理的如下變形常在解

2、題中用到1. cosC = (a2 + b2 - c2) / (2·a·b) 2. cosB = (a2 + c2 - b2) / (2·a·c) 3. cosA = (c2 + b2 - a2) / (2·b·c）3 余弦定理和正弦定理的面積公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB（常用類型：已知三角形兩邊及其夾角）判斷三角形的形狀有兩種途徑：（1） 將已知的條件統(tǒng)一化成邊的關系，用代數(shù)求和法求解（2） 將已知的條件統(tǒng)一化成角的關系，用三角函數(shù)法求解 三解三角形的實際應用測量中相關的名稱術語仰角：視線在水平線以上時，在

3、視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫做仰角。俯角： 視線在水平線以下時，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫俯角方向角：從指定方向線到目標方向的水平角(一)已知兩角及一邊解三角形例1已知在ABC中，c10，A45°，C30°，求a、b和B.（二）已知兩邊和其中一邊對角解三角形例2在ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，C，若a=23，b=6，A=45°，求邊長C（三）已知兩邊及夾角，解三角形例3ABC中，已知b3，c3，B30°，求角A，角C和邊a.例四：在ABC中，若B=30°, AB=2, AC=2, 則ABC的

4、面積是         例五.判斷三角形的形狀（1）正弦定理判斷在ABC中，若a2tanBb2tanA，試判斷ABC的形狀（2）余弦定理判斷在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，試判斷三角形的形狀例六 判斷解得個數(shù)不解三角形，判斷下列三角形的解的個數(shù)：（1）a=5,b=4,A=120度（2）a=7,b=14,A=150度（3）a=9,b=10,A=60度（4）c=50,b=72,C=135度考試類型一、求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問

5、題，進而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題1、中，BC3，則的周長為（ ）A B C D2、 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值3、在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C=120°，c=a，則A.ab B.ab C. ab D.a與b的大小關系不能確定4、在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=（A） （B） （C） （D）5、在中，a=15,b=10,A=60°，則=A B C D 6、在ABC中，若b = 1，c =，則a = 。7、在ABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點，

6、AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長.8、在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 . 9、中，所對的邊分別為，,.（1）求； （2）若,求. 二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀1、在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形2、18.若的三個內(nèi)角滿足，則（A）一定是銳角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形. (D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.三、 解決與面積有關問題：主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題1、在中，若，則的面積S_四、求值問題1、在中，所對的邊長分別為，設滿

7、足條件和，求和的值2、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，則=_。3、 在ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且 （）求A的大??；（）求的最大值.五、正余弦定理解三角形的實際應用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：圖1ABCD（一.）測量問題1、如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸標記物C，測得CAB=30°，CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。（二.）遇險問題西北南東ABC30°15°圖22、某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？圖3ABC北45°15°（三.）追擊