最值問題3垂線段與輔助圓

1、 垂線段最短與輔助圓三大模型：1.垂線段最短：如圖，直線BC與直線外一點(diǎn)A，點(diǎn)A到直線BC的距離AD最短1.例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,4），直線與軸、軸分別交于A、B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，則PM長的最小值為 5.6 。2如圖，已知OABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【分析】當(dāng)B在x軸上時(shí)，對角線OB長的最小，由題意得出ADO=CEB=90°，OD=1，OE=4，由平行四邊形的性質(zhì)得出OABC，OA=BC，得出AOD=CBE，由AAS證明AODCBE，得出OD=BE=

2、1，即可得出結(jié)果【解答】解：當(dāng)B在x軸上時(shí)，對角線OB長的最小，如圖所示：直線x=1與x軸交于點(diǎn)D，直線x=4與x軸交于點(diǎn)E，根據(jù)題意得：ADO=CEB=90°，OD=1，OE=4，四邊形ABCD是平行四邊形，OABC，OA=BC，AOD=CBE，在AOD和CBE中，AODCBE（AAS），OD=BE=1，OB=OE+BE=5；故答案為：5方法二：OB2=OH2+HB2 OH=5,當(dāng)BH最小也就是等于0時(shí)OB最小=52.輔助圓1：直角三角形構(gòu)造以斜邊為直徑的外接圓2.例：如圖，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動點(diǎn)，且滿足PAB=PBC，則線段CP長的最

3、小值為（B）AB2CD答案：2【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；圓周角定理【分析】首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的O上，連接OC與O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題【解答】解：ABC=90°，ABP+PBC=90°，PAB=PBC，BAP+ABP=90°，APB=90°，點(diǎn)P在以AB為直徑的O上，連接OC交O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，在RTBCO中，OBC=90°，BC=4，OB=3，OC=5，PC=OC=OP=53=2PC最小值為2故選B3.輔助圓2：作以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓3.例：如圖，在RtABC中，C=90°，A

4、C=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是答案：3如圖，在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是1.2（構(gòu)造以F為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓，再過點(diǎn)F作AB的垂線段）【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）【分析】如圖，延長FP交AB于M，當(dāng)FPAB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小，利用AFMABC，得到=求出FM即可解決問題【解答】解：如圖，延長FP交AB于M，當(dāng)FPAB時(shí)，點(diǎn)P到AB的

5、距離最小A=A，AMF=C=90°，AFMABC，=，CF=2，AC=6，BC=8，AF=4，AB=10，=，F(xiàn)M=3.2，PF=CF=2，PM=1.2點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是1.2故答案為1.2【點(diǎn)評】本題考查翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)P位置，屬于中考?？碱}型相關(guān)練習(xí)：1如圖，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動點(diǎn)PEBC，PFCA，則線段EF長的最小值為 2如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為3如

6、圖所示，已知點(diǎn)N（1，0），直線y=x+2與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，M，P分別是線段OB，AB上的動點(diǎn)，則PM+MN的最小值是4（3分）（2015咸寧）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E是邊BC上的動點(diǎn)，BFAE交CD于點(diǎn)F，垂足為G，連結(jié)CG下列說法：AGGE；AE=BF；點(diǎn)G運(yùn)動的路徑長為；CG的最小值為1其中正確的說法是（把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上）5、如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動點(diǎn)，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連接BD，則BD的小值是（ ） A、 B、6 C、 D、46. 如圖，菱形ABCD的邊AB=8，B=60&#

7、176;，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)為A，當(dāng)CA的長度最小時(shí)，CQ的長為（ ）A. 5 B. 7 C. 8 D. 7.在RtABC中，C=90°，BC=6，AC=8，D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn)，且DE=6， 若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為（ ） A. B. C.D.8如圖4，已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上一動點(diǎn)，連結(jié)、.則面積的最大值是( ) 9、在ABC中，ABAC5，cosABC，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到A1B1C。（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長線上時(shí)。

8、求證：BB1CA1；求AB1C的面積；（2）如圖，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F1，求線段EF1長度的最大值與最小值的差。答案：2.【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)P，連接PQ與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知PQCD時(shí)PK+QK的最小值，然后求解即可【解答】解：如圖，AB=2，A=120°，點(diǎn)P到CD的距離為2×=，PK+QK的最小值為故答案為：【題后思考】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對稱性和利用軸對稱確

9、定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵4（3分）（2015咸寧）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E是邊BC上的動點(diǎn)，BFAE交CD于點(diǎn)F，垂足為G，連結(jié)CG下列說法：AGGE；AE=BF；點(diǎn)G運(yùn)動的路徑長為；CG的最小值為1其中正確的說法是?（把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上）（以AB為直徑作圓，圓心為O，連接CO與圓弧交于點(diǎn)G）（本人認(rèn)為此答案不對，應(yīng)該是2，4）考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)可得出當(dāng)E移動到與C重合時(shí)，AG=GE，故錯(cuò)誤；求得BAE=CBF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，ABC=C=90°，然后利用“角角邊”證明ABE和BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相

10、等可得AE=BF，判斷出正確；根據(jù)題意，G點(diǎn)的軌跡是以A為圓心以AB長為半徑的圓弧BD的長，然后求出弧BD的長度，判斷出正確；正方形的對角線減去圓弧的半徑就是CG的最小值，通過計(jì)算從而判斷出錯(cuò)誤解答：解：在正方形ABCD中，AE、BD垂直平分，當(dāng)E移動到與C重合時(shí)，AG=GE，故錯(cuò)誤；BFAE，AEB+CBF=90°，AEB+BAE=90°，BAE=CBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（AAS），故正確；根據(jù)題意，G點(diǎn)的軌跡是以A為圓心以AB長為半徑的圓弧BD的長，圓弧BD的長=，故正確；CG的最小值為ACAB=42，故錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論有故答案為點(diǎn)評：本題考查

11、了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，弧長的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并求出ABE和BCF全等是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀5.A 7.D 8.C6. 如圖，菱形ABCD的邊AB=8，B=60°，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)為A，當(dāng)CA的長度最小時(shí)，CQ的長為（ ）A. 5 B. 7 C. 8 D. 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，梯形，軸對稱（折疊），等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題【分析】如下圖所示，由題意可知，ABC為等邊三角形；過C作CHAB，則AH=HB；連接DH；要使CA的長度最小，則梯形APQD沿直線

12、PQ折疊后A的對應(yīng)點(diǎn)A應(yīng)落在CH上，且對稱軸PQ應(yīng)滿足PQDH；因?yàn)锽P=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7. 【解答】解：如圖，過C作CHAB，連接DH；ABCD是菱形，B=60°ABC為等邊三角形；AH=HB=4；BP=3，HP=1要使CA的長度最小，則梯形APQD沿直線PQ折疊后A的對應(yīng)點(diǎn)A應(yīng)落在CH上，且對稱軸PQ應(yīng)滿足PQDH；由作圖知，DHPQ為平行四邊形DQ=HP= 1，CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正確的答案為：B【點(diǎn)評】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，梯形，軸對稱（折疊），等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題本題作為選擇題，不必直接去計(jì)算，通過作圖得出答案是比較便捷的方法。弄清在什么情況下CA的長度最小（相當(dāng)于平移對稱軸）是解決本題的關(guān)鍵.答案：我認(rèn)為以上答案不對，點(diǎn)A應(yīng)該落在以點(diǎn)P為圓心PA長為半徑的一段圓弧上，所以當(dāng)A落在CP上時(shí)，CA的長度最小，PA沿線段PQ對折可得APQ=CPQ，再利用平行得內(nèi)錯(cuò)角相等及等角對等邊得出CQ=CP=79.解：（1）證明：ABAC，B1CBC 1B，BACB，2ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），12 BB1CA1過A作AFBC于F，過C作CEAB于E ABA