求微分方程的通解_第1頁(yè)
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求微分方程的通解_第3頁(yè)
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1、例1求微分方程的通解。解：，分離變量，兩邊積分：記，方程通解為：。:注：事實(shí)上，積分后得：，。例2求微分方程滿足初始條件的特解。解：分離變量：，兩邊積分：，方程的通解為：。初始條件，則，所求特解：或例3設(shè)（）連續(xù)可微且，已知曲線、軸、軸上過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)的兩條垂線所圍成的圖形的面積值與曲線的一段弧長(zhǎng)相等，求。解：由條件：，兩邊求導(dǎo)得，即，或可分離變量的微分方程 積分得：又，則；所求特解為：，或或例4求微分方程的通解。解：齊次方程，令：，帶入方程，積分得， ，將代回，得原方程的通解：，即。例5求微分方程滿足的特解。解：齊次微分方程，代換，可分離變量的微分方程； ；即原方程的通解：。 利用初始條件，可得

2、，所求特解為：。例7求微分方程的通解。解：令：，則，帶入方程：，積分得：，通解。例8求微分方程的通解。解：，令：，則，即：齊次方程，令：，代入方程：，可分離變量，積分得：，原方程的通解為：例9求微分方程的通解。解：將方程變形為：，即，即若采用帶換，則方程變形為：，積分得：，或，即為通解。例1求微分方程的通解。解：方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：；，則方程的通解為例2求微分方程在時(shí)的特解。解：將原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：線性非齊次方程。其中，由初始條件，滿足初始條件的特解為。注：對(duì)于方程，其線性齊次方程的通解為；觀察可得線性非齊次方程的一個(gè)解為，從而可以直接得到線性非齊次方程的通解：。例3求解微分方程。解：顯然此方程關(guān)于不是線性的，若將方程改寫為：或，或關(guān)于是線性的，此時(shí)未知函數(shù)為。利用例2的結(jié)論可知方程的通解為：。注：在一階微分方程中，和的地位是對(duì)等的，通常視為未知函數(shù)，為自變量；為求解方便，有時(shí)也視為未知函數(shù)，而為自變量。求解某些微分方程時(shí)，需要特別注意。例4設(shè)是微分方程的一個(gè)解，求此微分方程滿足初始條件的特解。解：將代入方程，得

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