小奧數(shù)論3-因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上3.數(shù)論因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)3.1因數(shù)、約數(shù)和倍數(shù)：如果如果數(shù)a與數(shù)b相乘的積是數(shù)c,a與b都是c的因數(shù)，c就是a或b的倍數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。因數(shù)相對(duì)乘法而言，不一定是整數(shù)，如0.9×87.2。如果數(shù)a能被數(shù)b（b0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的約數(shù)）。約數(shù)是建立在整除關(guān)系上的。一個(gè)數(shù)的約數(shù)是有限的，其中最小1，最大的約數(shù)是它本身。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是無(wú)限，其中最小的倍數(shù)是它本身。沒(méi)有最大倍數(shù)。3.2奇數(shù)和偶數(shù)及奇偶性問(wèn)題自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。 能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。不能被2

2、整除的數(shù)叫做奇數(shù)。0也是偶數(shù)。奇偶性問(wèn)題：奇奇=偶 奇×奇=奇奇偶=奇 奇×偶=偶偶偶=偶 偶×偶=偶3.3質(zhì)數(shù)和合數(shù)及分解質(zhì)因數(shù)：一個(gè)數(shù)，如果只有 1和它本身兩個(gè)約數(shù)能整除它，這樣的叫做質(zhì)數(shù)。 100 以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11 、13 、17 、 19 、23 、29 、31 、37 、41 、43 、47 、53 、59 、61 、67 、71 、73 、79 、83 、89 、97 。如果除了 1和它本身還有別的約數(shù)的整數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如， 4、6、8、9、12 都是合數(shù)。 1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。數(shù)論只是研究正整數(shù)，不包括0。兩個(gè)質(zhì)數(shù)只有1

3、這1個(gè)公因數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。天然互質(zhì)的情況：連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)；連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)；兩個(gè)質(zhì)數(shù)；1和任何一個(gè)大于1的自然數(shù)。每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。如28 分解質(zhì)因數(shù)：28=2×2×7。注意數(shù)論中，分解質(zhì)因數(shù)必須寫(xiě)成指數(shù)形式，如28=22×7。任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1× p2×.×pk，這被稱(chēng)為唯一分解定理。分解質(zhì)因數(shù)一般用短除法，一般先從最小的質(zhì)數(shù)到逐漸變大的質(zhì)數(shù)依次除，而且一般排除到不大于稍大

4、于余數(shù)的完全平方數(shù)的平方根就可。例如：3.4完全平方數(shù)：一個(gè)數(shù)，若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)數(shù)的平方的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)。即用一個(gè)整數(shù)乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此類(lèi)推。需記熟1-20的完全平方數(shù)為：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400。441,841,784,729,676484,784,729,676529,576,625,841,784,729,676484,529,576,625,841,784,729,676平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B，

5、 A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。平方和公式：a²+b²=(a+b)²-2ab =(a-b)²+2ab（完全平方公式的變形）； （各數(shù)的平方之和）。 另外：2次方數(shù)，所以指數(shù)是2的倍數(shù)，是偶數(shù)；3次方數(shù)，所以指數(shù)是3的倍數(shù)；4次方數(shù)，所以指數(shù)是4的倍數(shù)；3.5最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：【知識(shí)要點(diǎn)】幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。也即，一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的因數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)就是這若干個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)。其中最大的叫做幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，也稱(chēng)最大公約數(shù)，用(a,b)表示。最小的公因

6、數(shù)為1。公因數(shù)只有 1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。也即，一個(gè)自然數(shù)同是是若干個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，這個(gè)自然數(shù)就是這若干個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的叫做最小公倍數(shù)，用a,b。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法： 列舉法 分解質(zhì)因數(shù)法：三個(gè)數(shù)以上的最小公倍數(shù)的求法，列出所有的質(zhì)因數(shù)，有次方的選列最高次方的就可以； 短除法：兩個(gè)數(shù)時(shí)最大公約數(shù)乘半邊，最小公倍數(shù)乘半圈；三個(gè)以上的數(shù)時(shí)對(duì)其中任意兩個(gè)數(shù)存在的因數(shù)都要算出，其它沒(méi)有這個(gè)因數(shù)的數(shù)則原樣落下，直到剩下每?jī)蓚€(gè)都是互質(zhì)關(guān)系，最小公倍數(shù)還乘半圈，但最大公約不能乘半邊。 輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)；兩個(gè)數(shù)時(shí)再根據(jù)公式法可求出最小公倍數(shù)

7、；輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù),得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù),得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù),得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)數(shù)去除前一個(gè)余數(shù),直到余數(shù)是0為止。那么,最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)（如果最后的除數(shù)是1,那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)）。例如求1515和600的最大公約數(shù)，第一次：用600除1515,商2余315；第二次：用315除600,商1余285；第三次：用285除315,商1余30；第四次：用30除285,商9余15；第五次：用15除30,商2余0。1515和600的最大公約數(shù)是15。 公式法：a×b=(

8、a,b) ×a,b 特殊情況，如果一個(gè)數(shù)是另個(gè)的倍數(shù)，則最大公約數(shù)為其中的小的數(shù)，最小公倍數(shù)為較大的數(shù)；互質(zhì)的最大公約數(shù)為1，最小公倍數(shù)為這兩個(gè)數(shù)的積；【經(jīng)典例題】類(lèi)型1 【求公因數(shù)和最大公因數(shù)】例1 劉翰和李瑤班上有24名女生和30名男生參加植樹(shù)活動(dòng).如果男女分別進(jìn)行分組，每組人數(shù)一樣多，每組可以有幾人？最多有幾人？24的因數(shù)有：1,2,3,4,6,8,12，2430的因數(shù)有：1,2,3,5,6,10,15,30 答：每組可能是2人，3人，6人，最多是6人。例2 把1-9九個(gè)數(shù)字依不同的次序排列，可以得到個(gè)不同的九位數(shù)，求所有這些九位數(shù)的最大公因數(shù)。1+2+3+9=45,所以9是這

9、些數(shù)的公因數(shù)；又因?yàn)閮蓚€(gè)九位數(shù)的差最小為9，比如和；和；所以9是這些九位數(shù)的最大公因數(shù)。類(lèi)型2 【多退少補(bǔ)求最大公因數(shù)】例1 用一個(gè)數(shù)去除52,余4,再用這個(gè)數(shù)去除40,也余4,這個(gè)數(shù)最大是多少？例2 幼兒園到圖書(shū)館借書(shū)，如借35本，平均分給每個(gè)小朋友查1本；如借56本，平均分給小朋友后剩2本；如借69本，平均分給小朋友差3本，問(wèn)幼兒園最多有多少個(gè)小朋友？類(lèi)型3 【求最大公因數(shù)截長(zhǎng)短、正方形、正方體】例1 有兩根鋼管，一根長(zhǎng)25米，一根長(zhǎng)20米，把它們鋸成同樣長(zhǎng)的小段，使每根不許有剩余，每段最長(zhǎng)幾米？一共要鋸幾次？例2 有縫紉店有一塊長(zhǎng)40分米，寬25分米的布料，現(xiàn)在顧客要求把它裁成正方形小布

10、塊（不能有剩余），塊數(shù)又要求最少，那么裁成的正方形不布?jí)K面積有多大？例3 王師傅找到一塊長(zhǎng)72厘米，寬60厘米，高48厘米的長(zhǎng)方體木料，王師傅把它鋸成同樣大小的正方體木塊，木塊的體積最大，不能有剩余，算一算，可以鋸成多少塊？類(lèi)型4 【求最小公倍數(shù)】例1 張林、李強(qiáng)、趙希都愛(ài)在圖書(shū)館看書(shū)，張林每4天去一次，李強(qiáng)每5天去一次，趙希每6天去一次，上次他們是星期四在圖書(shū)館相遇的，問(wèn)還要多少天他們才在圖書(shū)館再次相遇？相遇時(shí)是星期幾？ 例2 某公共汽車(chē)站有三條不同線(xiàn)路，1路車(chē)每隔6分鐘發(fā)一輛，2路車(chē)每隔10分鐘發(fā)一輛，3路車(chē)每隔12分鐘發(fā)一輛，三路車(chē)在早上8點(diǎn)同時(shí)發(fā)車(chē)后，至少再到什么時(shí)候又可以同時(shí)發(fā)車(chē)？例

11、3 一箱乒乓球有若干只但不足400只，如果分別按2只或3只或4只或5只或6只一袋包裝，最后箱子里總剩下1只；如果按7只一袋包裝，箱子里1只也不剩，那么箱子里原來(lái)有乒乓球多少只？例4 有三個(gè)人在操場(chǎng)跑道上步行，A每分鐘走80米，B每分鐘走120米，C每分鐘走70米，已知操場(chǎng)跑道周長(zhǎng)為400米，如果三個(gè)人同時(shí)同向從同一地點(diǎn)出發(fā)，問(wèn)幾分鐘后三個(gè)人首次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)？類(lèi)型5 【利用最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)反求數(shù)】例1 a,b兩數(shù)的最大公約數(shù)為4，最小公倍數(shù)為120，問(wèn)a,b各是多少？寫(xiě)出所有答案？類(lèi)型6 【最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)與周期問(wèn)題】例1 有一個(gè)四邊形的廣場(chǎng)，四邊長(zhǎng)分別是60、72、96、84米，

12、現(xiàn)在要在四邊都種樹(shù)，如果四邊上每?jī)煽脴?shù)的間隔距離都相等，至少要種多少棵樹(shù)？例2 夜里下了場(chǎng)大雪，早上，小龍和爸爸一起步測(cè)花園里一條環(huán)形小路的長(zhǎng)度，他們從同一點(diǎn)同向行走，小龍每步長(zhǎng)54CM，爸爸每步長(zhǎng)72CM，兩人各走完一圈后又都回到出發(fā)點(diǎn)，這時(shí)雪地上只留下60個(gè)腳印，那么這條小路長(zhǎng)多少米？例3 有一些小朋友排成一行，從左面第一人開(kāi)始每隔2人發(fā)一個(gè)蘋(píng)果，從右面第一人開(kāi)始每隔4人發(fā)一個(gè)桔子，結(jié)果有10個(gè)小朋友蘋(píng)果和桔子都拿到，那么這些小朋友最多有多少人？例4 從運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的一端到另一端全長(zhǎng)120米，從一端起到另一端每隔4米插一面小紅旗，現(xiàn)例5 在要改成每隔6米插一面小紅旗，最多有多少面小紅旗不必移動(dòng)？例6 街道的一邊原有電線(xiàn)桿25根，每相鄰兩根間的距離都是45米，由于改建，要不每相鄰兩根電線(xiàn)桿間的距離改為60米，可以有幾根不需改動(dòng)？例7 一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)小孔（不到100個(gè)），如果小明像玩跳棋那樣，從A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針