波利亞解題——案例分析0507

1、波利亞解題案例分析n 例題：給定正四棱臺的高，上底的一條邊長和下底的一條邊長，求正四棱臺的體積(學(xué)生已學(xué)過棱柱、棱錐的體積)n 波利亞解題：一、弄清問題（理解題目的未知和已知條件）本題的已知條件有哪些？ 本題的未知是什么？正四棱臺的高；上底邊長； ？ 正四棱臺的體積下底邊長2、 擬定計劃（找到已知條件和未知之間的聯(lián)系）1）怎樣才能求得？由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺的幾何結(jié)構(gòu)（棱臺的定義）告訴我們，棱臺是“用一個平行于底面的平面去截棱錐”，從一個大棱錐中截去一個小棱錐所生成的如果知道了相應(yīng)兩棱錐的體積和，我們就能求出棱臺的體積。這樣我們就引入兩個新的符號和，同時也找到了、三個量之

2、間的聯(lián)系，這就把求轉(zhuǎn)化為求和 2） 怎樣才能求得和？據(jù)棱錐的體積公式（），底面積可由已知條件直接求得，關(guān)鍵是如何求出兩個棱錐的高。并且，一旦求出小棱錐的高，大棱錐的高也就求出，為我們再次引入了一個新符號，于是根據(jù)棱錐的體積公式就有，這樣，問題就由求和轉(zhuǎn)化為了求。3） 怎樣才能求得？為了使未知數(shù)與已知數(shù)、聯(lián)系起來，建立起一個等量關(guān)系我們調(diào)動處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗，進行“平面化”的思考用一個通過高線以及底面一邊上中點（如下圖藍色線條所示）的平面去截兩個棱錐，在這個截面上有兩個相似三角形能把、聯(lián)系起來（轉(zhuǎn)化為平面幾何問題），由三角形相似的性質(zhì)得： 這就將一個幾何問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解解上述

3、方程，便可由、表示，至此，我們已在與已知數(shù)、之間建立起了一個不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通3、 實現(xiàn)計劃（利用找到的聯(lián)系進行解題）作輔助線，由相似三角形的性質(zhì)可得，解得。所以兩椎體的體積分別為有：，所以棱臺的體積：。 4、 回顧（1） 正面檢驗每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的。再作特殊性檢驗，令，由可得正四棱錐體的體積公式；令，由可得正四棱柱體的體積公式。這既反映了新知識與原有知識的相容性，又顯示出棱臺體積公式的一般性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間的知識聯(lián)系，又可增進三個體積公式的聯(lián)系記憶。（2）回顧這個解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信息(如圖所示，有棱臺、共5條信

4、息)，同時又要及時提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息(如回想：棱臺的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質(zhì)定理、反映幾何結(jié)構(gòu)的運算、調(diào)動求解立體幾何問題的經(jīng)驗積累等不下6條信息)，并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合這當(dāng)中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個成功的計劃（包括解題策略）。由這一案例，每一個解題者還可以根據(jù)自己的知識經(jīng)驗各自進一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計劃的普遍建議或模式。（3）在解題方法上，這個案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出發(fā)由后往前找成立的充分條件。為了求，我們只需求、（由棱臺體積到棱錐體積的轉(zhuǎn)化由未知到已知，化歸）；為了求、，我們只需求（由體積計算到線段計算的轉(zhuǎn)化由復(fù)雜到簡單，降維

5、）；為了求，我們只需建立關(guān)于的方程(由幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合)；最后，解方程求，解題的思路就暢通了，在當(dāng)初各自孤立而空曠的畫面上，形成了一個聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò)，書寫只不過是循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作一敘述。這個過程顯示了分析與綜合的關(guān)系，“分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定一個計劃，綜合是執(zhí)行這個計劃”。（4） 在思維策略上，這個案例是“三層次解決”的一次成功應(yīng)用。首先是一般性解決(策略水平上的解決)，把轉(zhuǎn)化為、的求解（），就明確了解題的總體方向；其次是功能性解決（方法水平的解決），發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決（技能水平的解決）

6、，比如按照棱臺的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對推理步驟和運算細節(jié)作實際完成。（5） 在心理機制上，這個案例呈現(xiàn)出“激活擴散”的基本過程。首先在正四棱臺（條件）求體積（結(jié)論）的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式；然后，沿著體積計算的接線向外擴散，依次激活截面知識、相似三角形知識、解方程知識，直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通這種“擴散激活”的觀點，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過程的一種解釋。（6） 在立體幾何學(xué)科方法上，這是“組合與分解”的一次成功應(yīng)用。首先把棱臺補充（組合）為棱錐，然后再把棱錐截成（分解）棱臺并作出截面，這種做法在求棱錐體積

7、時曾經(jīng)用過（先組合成一個棱柱、再分解為三個棱錐），它又一次向我們展示“能割善補”是解決立體幾何問題的一個訣竅，而“平面化”的思考則是溝通立體幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁。這些都可以用于求解其他立體幾何問題，并且作為一般化的思想（化歸、降維）還可以用于其他學(xué)科。（7） “你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果?”在信念上我們應(yīng)該永遠而堅定地做出肯定的回答，操作上未實現(xiàn)只是能力問題或暫時現(xiàn)象。（8）“你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問題?”能，至少我們可以由正四棱臺體積公式一般化為棱臺體積公式（方法是一樣的）。注意到：，可一般化猜想棱臺的體積公式為：附錄波利亞解題程序表弄清問題第一、你必須弄清問題 未知

8、是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆柊褩l件的各個部分分開你能否把它們寫下來？擬定計劃第二、找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了