法向量的應用

1、法向量的應用概念：與平面垂直的向量就稱為平面的法向量。主要應用：證線面平行，證面面平行，證線面垂直，證面面垂直， 求線面角，二面角，求點到平面的距離，異面直線的距離等等。一 證線面平行方法：證直線上的一條方向向量與平面的一條法向量垂直。例題：如圖（2），已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面 互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，AyzxCDFE且BM=BD，AN=AE， 求證：MN平面CDE NMB證明：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,且設AB=3a,AD=3b,AF=3c,則有B（3a,0,0）,D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c)所以 =（

2、-3a,3b,0）,=(0,-3b,-3c)=(-a,b,0), =(0,-b,-c)所以 ,又平面CDE的一個法向量是=（0，3b，0）,由=（2a,0,-c）（0，3b，0）=0,所以又MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN平面CDECBAOC1B1O1A1EFyxzF1二 證面面平行E1方法：證兩個平面的法向量平行。例題：如圖，正方體中，是中點，求證：平面平面證明：設分別是平面，平面的一條法向量，設正方體的棱長是2則E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0），（2，2，2），（1，0，2）（0，1，2），所以 ， ，由和 求得 ， ， 所以 所以， 所以兩個平面平行。三 證線面垂直方法：證直線上的方向向

3、量與平面的法向量 平行。例題：如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，邊長AB=2，E，F(xiàn)分別是， DC的中點。求證：D1F平面AED；zxy證明：建立空間直角坐標系D-xyzABCDA1B1C1D1EF 則 A（2，0，0），E（2，2，1）， F（0，1，0），設是平面DAE的一條法向量則由 求得 因為，所以D1F平面AED四 證面面垂直方法：證兩個平面的法向量垂直。zPDCBA例題：如圖四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形， ABDC，PA底面ABCD， 且PA=AD=DC=AB=1y 求證：面PAD面PCDx 證明：建立空間直角坐標系A- xyz,因為PA=AD=DC=AB=1所以

4、B（0，2，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）則 ， ， 設是平面PCD的一條法向量則由 得 又容易證得是平面PAD的法向量又， 所以面PAD面PCD五 求線面角方法：設直線與平面成的角為，直線的方向向量與平面的法向量成的角為，則有 例題：如圖，正方體，求 所成的角。分析：建立空間直角坐標系, 求出平面的一條法向量，再求 ， 所以六 求二面角方法：設為兩個平面的法向量， 為二面角的平面角，則符號取決于是銳角還是鈍角。zxyFEA1O1B1C1OABC例題：如圖，正方體， 求二面角的大小。分析：建立空間直角坐標系O-xyz, 可求得平面 和平面的 法向量分別是（-1，1，

5、1）， 又由圖可知該平面角為銳角MN所以 七 求點到平面的距離方法：在平面內(nèi)取一點N，設平面的法向量為，則向量在方向上的射影的絕對值即為點M到平面的距離d=, 例題：如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC平面ABCD，且GC2，求點B到平面EFG的距離分析：由題設可知CG、CB、CD兩兩互相垂直，由此，建立空間直角坐標系Cxyz 則可寫出各點坐標，從而求得 平面GEF的一條法向量是=（1，1，3） =（0，-4，2），求得d=M八 求異面直線的距離方法： 在異面直線上取兩點M，N，是的法向量，則在方向上的投影N的絕對值即為異面直線的距離。 即 d=例2已知正方體ABCD的棱長為1，求直線與AC的距離分析：如圖，建立空間直角坐標系xyz，則有，設n是AC與的法向量，則又n，n，可求得n=(1,1,-1) , 所以 =即