高三數(shù)學(xué)解斜三角形

1、課時(shí)考點(diǎn)9 解斜三角形高考要求 三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 重難點(diǎn)歸納 (1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問(wèn)題，注意隱含條件的挖掘 熱點(diǎn)題型1 判斷ABC的形狀例1 在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c, b=acosC,且ABC的最大邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦值為。（1） 判斷ABC的形狀；（2） 求ABC的面積。解：（1） b=a

2、cosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sinB=sin(A+C),從而（#）式變?yōu)閟in(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大邊長(zhǎng)為12，由（1）知斜邊=12，又ABC最小角的正弦值為，RtABC的最短直角邊為12=4，另一條直角邊為SABC=16啟示：對(duì)于涉及三角形的三角函數(shù)變換非常重要,如: A+B+C=,(; ), =sin(B+C),CosA=, , 等.另外靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理，要注意邊角互換.變式1：在ABC中，若tanAtanB，試判斷ABC的形狀分析：三角形分類(lèi)是

3、按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a2b2c2，a2b2>c2（銳角三角形），a2b2c2（鈍角三角形）或sin(AB)0，sinAsinB，sinC1或cosC0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，A、B為三角形的內(nèi)角，sinA0，sinB02A2B或2A2B，AB或AB所以ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a4a2c2b2c2b40，即（a2b2）（a2b2c2）0，于是a2b2或a2b2c20，ab或a2b2c2AB

4、C是等腰三角形或直角三角形熱點(diǎn)題型2 與數(shù)列及平面向量的數(shù)量積的綜合例2 中，內(nèi)角.的對(duì)邊分別為.，已知.成等比數(shù)列，且（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）由得：由及正弦定理得：于是：（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得：于是：故：變式2：在中，.的對(duì)邊分別為.。（1） 若a,b,c 成等比數(shù)列，求f(B)=sinB+cosB的值域。（2） 若a,b,c 成等差數(shù)列，且A-C=，求cosB的值。解: (1) , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), f(B)=sinB+cosB= 的值域?yàn)?2) sinA+sinC=2sinB C= sin()+sin()=2sinB展開(kāi),化簡(jiǎn),得 , , cosB=

5、熱點(diǎn)題型3 正弦定理、余弦定理在解三角形中的綜合運(yùn)用例3 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BE=x在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正向建立直角坐標(biāo)指法，且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限由，則，設(shè)=（x，0），則由條件得從而x=2，（舍去）故于是解法三：過(guò)A作AHBC交BC于H，延長(zhǎng)BD到P使BP=DP，連接AP、PC過(guò)窗PNBC交BC的延長(zhǎng)線于N，則，而，BC=BN=CN=2，故由正弦定理得，變式3：在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c, ABC

6、的外接圓半徑R=，且滿(mǎn)足.(1) 求角B和邊b的大??；(2) 求ABC的面積的最大值。解: (1) 由整理得 sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBsin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B= b=2RsinB b=3(2) = 當(dāng)A=時(shí), 的最大值是熱點(diǎn)題型4 (備選) 綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題 例4在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30°東，俯角為30°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60°西、俯角為60°的C處。(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；(2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問(wèn)此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？解 (1)在RtPAB中，APB=60° PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30°，AC= (千米)在ACB中，CAB=30°+60°=90°(2)DAC=90°60°=30°sinDCA=sin(180°AC