高中數(shù)學(xué)一題多解

1、幾個一題多解的小例子對于一個題目多種解法很多同學(xué)往往不以為然，總是認(rèn)為我做出來就可以了，為什么非要用那么多種方法。其實(shí)我們做題的目的不應(yīng)該僅僅是把題目做出來，而是掌握隨時隨地把題目做出來的強(qiáng)大武器，一題多解的訓(xùn)練正是其一。1.一題多解可以極大的提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。坦白講對一題多解不以為然的同學(xué)其實(shí)因?yàn)樽约褐幌氲揭环N方法，如果自己也能想到這些方法，自然他也會為之興奮；2.一道數(shù)學(xué)題因思考的角度不同可得到多種不同的解法,這有助于拓寬解題思路,提高學(xué)生分析問題的能力；3.說的更直白一些，經(jīng)常訓(xùn)練一題多解可以提高學(xué)生解決綜合問題的能力，另外不同的思路解決同一個問題，有利于讓自己的知識體系更網(wǎng)絡(luò)化，從而

2、在考試之中利于不敗之地；下面大家具體看幾個例子，希望用心體會一下。例1.（2009全國1卷）若，則函數(shù)的最大值為 。法一：二次函數(shù)求最值令, 法二：二次除以一次，均值定理令當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立法三：導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性令則取到最大值為-8例2.（2010年高考全國卷第11題）已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為（ ） (A) (B) (C) (D)第7題圖法一：設(shè)PA、PB 的長度如圖所示：設(shè)PA=PB=,APO=，則APB=，PO=，=，令，則，令，則等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立。故.此時.，選擇答案D。法二：設(shè)OP的長度設(shè)OP=t(t>1), APO=，則A

3、PB=, PA=PB= , = 等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立法三：設(shè)角設(shè)APO=，則APB=, PA=PB= 。當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立例3.（2009年山東高考數(shù)學(xué)理科20題）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立解:因?yàn)閷θ我獾?點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時,當(dāng)時,又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時，, 則,所以法一：數(shù)學(xué)歸納法下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時,左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即成立.則當(dāng)時,左邊=所以當(dāng)時,不等式

4、也成立. 由、可得不等式恒成立.法二：構(gòu)造數(shù)列設(shè)數(shù)列滿足則所以原不等式等價于 顯然上式成立法三：構(gòu)造函數(shù)令則所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增所以原式成立法四：放縮法法五：均值定理例4.解不等式 法一：根據(jù)絕對值的定義，進(jìn)行分類討論求解（1）當(dāng)時，不等式可化為 （2）當(dāng)時，不等式可化為 綜上：解集為法二：轉(zhuǎn)化為不等式組求解原不等式等價于 綜上：解集為法三：利用等價命題法 原不等式等價于，即 解集為法四：利用絕對值的集合意義原不等式可化為，不等式的幾何意義時數(shù)軸上的點(diǎn)的距離大于，且小于，由圖得， 解集為例5.橢圓的焦點(diǎn)是，橢圓上一點(diǎn)P滿足，下面結(jié)論正確的是（ ）（A）P點(diǎn)有兩個 （B）P點(diǎn)有四個 （C）

5、P點(diǎn)不一定存在 （D）P點(diǎn)一定不存在法一：以為直徑構(gòu)圓，知：圓的半徑，即圓與橢圓不可能有交點(diǎn)。故選D法二：由題知，而在橢圓中：，不可能成立故選D法三：由題意知當(dāng)p點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處最大，設(shè)，此時為銳角，與題設(shè)矛盾。故選D法四：設(shè)，由知，而無解，故選D解法五：設(shè)，假設(shè)，則，而即：，不可能。故選D法六：，故不可能。故選D法七：設(shè)由焦半徑知：而在橢圓中而>,故不符合題意，故選D法八：設(shè)圓方程為： 橢圓方程為：兩者聯(lián)立解方程組得：不可能，故圓與橢圓無交點(diǎn)即 不可能垂直故選D小結(jié)一下，各位同學(xué)想一想有沒有過類似的經(jīng)歷比如講評試卷，只要是該題做對了，甭管老師講課時用什么方法都能難讓自己注意力集中，甚至有時候即使聽了老師講的方法也會固執(zhí)的認(rèn)為自己的方法是最好的。結(jié)果到最后自己會做的方法還是自己原來的那種。這種事情在我歷年的教學(xué)中屢見不鮮，但是真的是錯誤至極。一題多解首要的目的并不只是解決這道題目，我們想通過這道題目達(dá)到把各個知識